1、7.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 基础练水平一 一、选择题 1.在复平面内，复数 z=2i-i2对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 z=a+bi，a，bR 对应的点在虚轴右侧，则( ) A.a0，b0 B.a0，b0，aR D.a0，bR 3.已知 z1=5+3i，z2=5+4i，下列选项中正确的是( ) A.z1z2 B.z1|z2| D.|z1|z2| 4.向量OAuu u r对应的复数为 z1=-3+2i，OBuuu r对应的复数为 z2=1-i，则|OAuu u r+OBuuu r|为( ) A.5 B.3 C.2 D.10 5.若
2、 i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是 1，复平面内点 Z 表示复数 z，则z等于( ) A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 【补偿训练】 在复平面内，ABuuu r对应的复数是 2+i，CBuuu r对应的复数是-1-3i，则CAuur对应的复数为( ) A.1-2i B.-1+2i C.3+4i D.-3-4i 6.(多选题)下列关于复数 z=a+bi，a，bR 的说法正确的是( ) A.z=a-bi B.若z=z，则 b=0 C.若|z|=0，则 z=0 D.若|z|0，则 ab0 二、填空题 7.已知复平面内，点(2cos 300 ，2sin 300 )对应的复
3、数为 z，则 z=_，|z|=_. 8.复平面上，实轴上的点 A(3，0)与虚轴上的点 B(0，-4)，则向量ABuuu r对应的复数的实部为_，虚部为_. 三、解答题 9.已知 z=x+yi，x，yR，若 2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i. (1)求实数 x，y 的值； (2)求z. 10.已知复数 z 满足|z+1-i|=1，求|z|的最大值和最小值. 提升练水平二 一、选择题 1.过原点和3-i 对应的点的直线的倾斜角是( ) A.6 B.6 C.3 D.6 2.欧拉公式 eix=cos x+isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩
4、大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e-2i表示的复数在复平面中位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【补偿训练】 已知复数 z=(a2-2a)+(a2-a-2)i 对应的点在虚轴上，且 z0，则( ) A.a2 或 a1 B.a2 且 a1 C.a=0 D.a=2 或 a=0 3.(多选题)复平面内，下列关于复数的叙述正确的是( ) A.原点对应的复数是 0 B.纯虚数对应的点在虚轴上 C.实轴上的点对应的复数是实数 D.虚轴上的点对应的复数是虚数 4.若在复平面内，复数 z
5、=2+mi(mR)对应的点位于第四象限，且|z|=4，则 m=( ) A.-23 B.43 C.2 D.23 【补偿训练】 设A， B为锐角三角形的两个内角， 则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题 5.复平面内，点(2，3)对应的复数的共轭复数为_. 6.复数 z1=3 与 z2=2- 3i 对应的两点间的距离为_. 7.已知 z-|z|=-1+i，则复数 z=_. 8.设(1+i)sin -(1+icos )对应的点在直线 x+y+1=0 上，则 tan 的值为_. 三、解答题 9.如
6、果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(mR)对应的点在第一象限，求实数 m 的取值范围. 10.已知 O 为坐标原点，1OZuuur对应的复数为-3+4i，2OZuuuu r对应的复数为 2a+i(aR).若1OZ与2OZuuuu r共线，求 a 的值. 11.设复数 z=(2x+a)+(2-x+a)i，x，aR，当 x 在(,) 内变化时，求|z|的最小值 g(a). 参考答案 基础练水平一 一、选择题 1.【答案】A 【解析】复数 z=2i-i2=1+2i 对应的点(1，2)，在第一象限. 2.【答案】D 【解析】复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实
7、数. 3.【答案】D 【解析】因为复数不能比较大小，所以 A，B 不正确，又|z1|=225 +3=34，|z2|=225 +4=41， 所以|z1|z2|，故 C 不正确，D 正确. 4.【答案】A 【解析】因为 z1=-3+2i，z2=1-i， 所以OAuuu r=(-3，2)，OBuuu r=(1，-1)， 则OAuu u r+OBuuu r=(-2，1)， 所以|OAuu u r+OBuuu r|=22( 2) +1=5. 5.【答案】B 【解析】点 Z(2，1)对应复数 z=2+i，z与 z 互为共轭复数，对应的两点关于实轴对称， 所以z=2-i. 【补偿训练】 【答案】D 【解析】
8、由题意知ABuuu r=(2，1)，CBuuu r=(-1，-3). CAuur= CBuuu r+BAuu u r=(-1，-3)+(-2，-1)=(-3，-4)，所以CAuur对应的复数为-3-4i. 6.【答案】ABC 【解析】由复数 z=a+bi，a，bR，得z=a-bi，选项 A 正确；若z=z，则 a+bi=a-bi，b=-b，所以 b=0，选项 B 正确；若|z|=0，则 a2+b2=0，所以 a=b=0，z=0，选项 C 正确；若|z|0，则a2+b20，所以 a，b 至少有一个不为 0，选项 D 不正确. 二、填空题 7.【答案】1-3i 2 【解析】由点的坐标(2cos 3
9、00 ，2sin 300 )， 得(1，-3)，对应的复数为 z=1-3i，|z|=2. 8.【答案】-3 -4 【解析】复平面上，实轴上的点 A(3，0)与虚轴上的点 B(0，-4)，则ABuuu r=(-3，-4)，对应的复数 z=-3-4i 的实部为-3，虚部为-4. 三、解答题 9.解：(1)因为 x，y 为实数，所以 2x-1，y+1，x-y，-x-y 都为实数， 由复数相等的充要条件得21,1,xxyyxy 解得3,2.xy (2)z=x-yi=3+2i. 10.解：设复数 z 对应向量OZuuu r，复数 z1=-1+i 对应向量1OZuuur，由|z+1-i|=|z-(-1+i
10、)|=1， 得|OZuuu r-1OZuuur|=|1Z Zuuur|=1， 所以动点 Z 的轨迹是以 C(-1， 1)为圆心， 半径为 1 的圆， 所以复数 z 对应的点的轨迹是以-1+i对应的点 C 为圆心，以 1 为半径的圆，画出方程|z+1-i|=1 表示的轨迹， 如图， 而|z|则表示该圆上的点到原点 O 的距离， 由平面几何知识可知， 使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线 OC 与圆的交点处. 所以|z|最大值为|OC|+r=2+1， 最小值为|OC|-r=2-1. 提升练水平二 一、选择题 1.【答案】D 【解析】因为3-i 在复平面上的对应点是(3，-1)， 所以 t
11、an =-(0)， 所以 = . 2.【答案】C 【解析】e-2i=cos(-2)+isin(-2)，对应点为(cos(-2)，sin(-2)， 由于-2-2， 因此 cos(-2)0，sin(-2)0， 所以点(cos(-2)，sin(-2)在第三象限. 【补偿训练】 【答案】C 【解析】由题意，得 a2-2a=0， 得 a=0 或 a=2. 当 a=2 时 z=0，与题意不符，故选 C. 3.【答案】ABC 【解析】复平面内，原点对应的复数是 0，选项 A 正确.纯虚数对应的点在虚轴上，选项 B正确.实轴上的点对应的复数是实数， 选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数，选项 D
12、错误. 4.【答案】A 【解析】依题意，24+m=4， 解得 m= 23， 而在复平面内，z 所对应的点位于第四象限， 故 m2， 即 A2-B，sin Acos B.cos B-tan A =cos BsincosABcos B-sin A0， 所以点(cos B-tan A，tan B)在第二象限. 二、填空题 5.【答案】2-3i 【解析】复平面内，点(2，3)对应的复数 z=2+3i，共轭复数为z=2-3i. 6.【答案】2 【解析】复数 z1=3 与 z2=2-3i 对应的两点 Z1(3，0)，Z2(2，-3)间的距离为|Z1Z2|=22(32) +( 3)=2. 7.【答案】i 【
13、解析】设 z=x+yi(x，yR)， 由题意得 x+yi-22+xy=-1+i， 即(x-22+xy)+yi=-1+i， 所以22+1,1.xxyy 解得0,1,xy 所以 z=i. 8.【答案】12 【解析】(1+i)sin -(1+icos ) =(sin -1)+(sin -cos )i， 对应点为(sin -1，sin -cos )， 由点(sin -1，sin -cos )在直线 x+y+1=0 上， 得 sin -1+sin -cos +1=0， 即 2sin =cos ， 所以 tan =12. 三、解答题 9.解：因为复数 z 对应的点在第一象限. 所以2210,4830,mm
14、mm 解得 m . 所以实数 m 的取值范围为. 10.解：因为1OZuuur对应的复数为-3+4i，2OZuuuu r对应的复数为 2a+i， 所以1OZuuur=(-3，4)，2OZuuuu r=(2a，1). 因为1OZuuur与2OZuuuu r共线， 所以存在实数 k 使2OZuuuu r=k1OZuuur， 即(2a，1)=k(-3，4)=(-3k，4k)， 所以23 ,14 ,akk 所以1,43,8ka 即 a 的值为38. 11.解：|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2 =22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2. 令 t=2x+2-x，则 t2，且 22x+2-2x=t2-2. 从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2， 当-a2，即 a-2 时，g(a)= 22a ； 当-a-2 时， g(a)= 22(2)2aa= 2|a+1|. 综上可知 g(a)= 22(2),2 |1|(2).aaaa
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