1、7.1.27.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 1.已知复数 z12i，z2i，则|z1|z2|等于( ) A.55 B.15 C. 5 D.5 答案 C 解析 依题意|z1|2212 5，|z2| 121，所以|z1|z2| 5. 2.向量OZ1对应的复数是 54i，向量OZ2对应的复数是54i，则OZ1OZ2对应的复数是( ) A.108i B.108i C.0 D.108i 答案 C 解析 由复数的几何意义， 可得OZ1(5，4)，OZ2(5,4)， 所以OZ1OZ2(5，4)(5,4)(0,0)， 所以OZ1OZ2对应的复数为 0. 3.在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分
2、别为 A，B，若 C 为线段 AB 的中点，则点 C对应的复数是( ) A.48i B.82i C.24i D.4i 答案 C 解析 因为复数 65i，23i 对应的点分别为 A，B， 所以 A(6,5)，B(2,3)， 又 C 为线段 AB 的中点， 所以 C(2,4)，所以点 C 对应的复数是 24i. 4.已知复数 za 3i(aR)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数 z 等于( ) A.1 3i B.1 3i C.1 3i 或 1 3i D.2 3i 答案 A 解析 因为 z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 a0，则 z 在复平面内对应的点一定在实轴上方. 6.
3、复数 zx2(3x)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 x 的取值范围是_. 答案 (3，) 解析 复数 z 在复平面内对应的点在第四象限， x20，3x3. 7.若复数 z(m2)(m1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中 mR，则|z|_. 答案 3 解析 复数 z(m2)(m1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)， 所以 m20 且 m10，解得 m2，所以 z3i， 所以|z|3. 8.复数 43i 与25i 分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是_. 答案 68i 解析 因为复数 43i 与25i 分别表示向量OA与OB， 所以OA(4,3)，OB(2，5)， 又ABOB
4、OA(2，5)(4,3)(6，8)， 所以向量AB表示的复数是68i. 9.在复平面内，O 是原点，向量OA对应的复数为 2i. (1)如果点 A 关于实轴的对称点为点 B，求向量OB对应的复数； (2)如果(1)中的点 B 关于虚轴的对称点为点 C，求点 C 对应的复数. 解 (1)设向量OB对应的复数为 z1x1y1i(x1，y1R)， 则点 B 的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点 A 的坐标为(2,1). 根据对称性可知，x12，y11， 故 z12i. (2)设点 C 对应的复数为 z2x2y2i(x2，y2R)， 则点 C 的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x22，y21
5、， 故 z22i. 10.设 zxyi(x，yR)，若 1|z| 2，判断复数 wxy(xy)i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积. 解 |w|xy2xy2 2x2y2 2|z|，而 1|z| 2，故 2|w|2.所以 w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为 2和 2 的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积 S22( 2)22. 11.已知 a 为实数，若复数 z(a23a4)(a4)i 为纯虚数，则复数 aai 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 若复数 z(a23a4)(a4)i 是纯虚数， 则 a23a40，a
6、40，得 a4或a1，a4，即 a1， 则复数 aai1i 对应的点为(1,1)，位于第二象限. 12.在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是( ) A.2 3 B.2 3i C. 33i D.3 3i 答案 B 解析 复数对应的点为(3， 3)， 对应的向量按顺时针方向旋转3， 则对应的点为(0， 2 3)，所得向量对应的复数为2 3i. 13.设 A，B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z(cos Btan A)itan B 对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 因为 A，B 为锐角三角
7、形的两个内角，所以 AB2，即 A2B，sin Acos B，cos Btan Acos Bsin Acos Acos Bsin A0， 所以点(cos Btan A， tan B)在第二象限，故选 B. 14.若复数 35i,1i 和2ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数 a 的值为_. 答案 5 解析 由点(3，5)，(1，1)，(2，a)共线可知 a5. 15.已知复数 z 满足|z|23|z|20，则复数 z 对应点的轨迹是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.两点 D.线段 答案 B 解析 由|z|23|z|20，得(|z|1) (|z|2)0， 所以|z|1 或|z|2. 由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆. 16.已知O为坐标原点， OZ1对应的复数为34i， OZ2对应的复数为2ai(aR).若OZ1与OZ2共线，求 a 的值. 解 因为OZ1对应的复数为34i， OZ2对应的复数为 2ai， 所以OZ1(3,4)，OZ2(2a,1). 因为OZ1与OZ2共线，所以存在实数 k 使OZ2kOZ1， 即(2a,1)k(3,4)(3k,4k)， 所以 2a3k，14k，所以 k14，a38. 即 a 的值为38.
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