1、7.1.27.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 基础达标 一、选择题 1.设 z34i,则复数 z1z|z|(1i)在复平面内的对应点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 z34i,|z|32425, z134i5(1i)(351)(41)i35i. 复数 z1在复平面内的对应点在第二象限. 答案 B 2.当23m1 时,复数 z(3m2)(m1)i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 复数 z 在复平面内对应的点为 Z(3m2,m1). 由23m0,m10.所以点 Z 位于第四象限.故选 D. 答案
2、 D 3.在复平面内,O 为原点,向量OA对应的复数为12i,若点 A 关于直线 yx 的对称点为 B,则向量OB对应的复数为( ) A.2i B.2i C.12i D.12i 解析 A(1,2)关于直线 yx 的对称点为 B(2,1),向量OB对应的复数为2i. 答案 B 4.设 A,B 为锐角三角形的两个内角,则复数 z(cos Btan A)itan B 对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 因 A,B 为锐角三角形的两个内角,所以 AB2,即 A2B,sin Acos B.cos Btan Acos Bsin Acos Acos Bs
3、in A0,又 tan B0,所以点(cos Btan A,tan B)在第二象限,故选 B. 答案 B 5.已知 z153i,z254i,下列选项中正确的是( ) A.z1z2 B.z1z2 C.|z1|z2| D.|z1|z2| 解析 |z1|53i|5232 34, |z2|54i| 5242 41, 34 41,|z1|z2|. 答案 D 二、填空题 6.若复数 z11i,z235i,则复平面上与 z1,z2对应的点 Z1与 Z2的距离为_. 解析 z11i 对应的点为 Z1(1,1),z235i 对应的点为 Z2(3,5),由两点间距离公式得 (31)2(51)22 5. 答案 2
4、5 7.若复数(6k2)(k24)i(kR)所对应的点在第三象限,则 k 的取值范围是_. 解析 复数对应的点位于第三象限, k260,4k20,2k 6或 6k2. 答案 ( 6,2)(2, 6) 8.复数 z1a2i,z22i,如果|z1|z2|,那么实数 a 的取值范围是_. 解析 因为|z1| a24,|z2| (2)212 5. 又因|z1|z2|,所以a24 5,解得1a1. 答案 (1,1) 三、解答题 9.设复数 zlg(m22m14)(m2m6)i,求当实数 m 为何值时: (1)z 为实数; (2)z 对应的点位于复平面内的第二象限. 解 (1)由题意得m2m60,m22m
5、140, 解得 m3(m2 舍去).故当 m3 时,z 是实数. (2)由题意得lg(m22m14)0,m2m60, 即0m22m141,m2m60. 即m22m140,m22m150,m2m60, 得m1 15或m1 15,5m3,m2或m3. 解得5m1 15. 故当5m1 15时,z 对应的点位于复平面内的第二象限. 10.已知 z134i,|z|2,求|zz1|的最大值和最小值. 解 如图,|z|2 表示复数 z 对应的点在以(0,0)为圆心,2 为半径的圆上,而 z1在坐标系中的对应点的坐标为(3,4),|zz1|可看作是点(3,4)到圆上的点的距离. 由图可知,点(3,4)到圆心(
6、即原点)的距离为(3)2425,故|zz1|max527,|zz1|min523. 能力提升 11.若复数 35i, 1i 和2ai 在复平面上对应的点在同一条直线上, 则实数 a的值为_. 解析 由题意知点(3,5),(1,1),(2,a)共线,可得 a5. 答案 5 12.已知 x 为实数,复数 zx2(x2)i. (1)当 x 为何值时,复数 z 的模最小? (2)当复数 z 的模最小时,复数 z 在复平面内对应的点 Z 位于函数 ymxn 的图象上,其中 m0,n0,求1m1n的最小值及取得最小值时 m,n 的值. 解 (1)|z|(x2)2(x2)2 2x282 2, 当且仅当 x0
7、 时,复数 z 的模最小,为 2 2. (2)当复数 z 的模最小时,Z(2,2). 又点 Z 位于函数 ymxn 的图象上,所以 2mn2. 又 m0,n0,所以1m1n1m1n mn232mnn2m32 2,当且仅当 n22m2时等号成立. 又 2mn2,m0,n0,所以 m2 2,n2 22. 所以1m1n的最小值为32 2,此时 m2 2,n2 22. 创新猜想 13.(多选题)已知 z1,z2是复数,以下结论错误的是( ) A.若 z1z20,则 z10,且 z20 B.若|z1|z2|0,则 z10,且 z20 C.若|z1|z2|,则向量OZ1和OZ2重合 D.若|z1z2|0,则z1z2 解析 A 中 z1z20 只能说明 z1z2;B 中|z1|z2|0,说明|z1|z2|0,即z1z20;C 中|z1|z2|,说明|OZ1|OZ2|,但OZ1与OZ2方向不一定相同;D 中|z1z2|0,则 z1z2,故z1z2;故错误的为 A,C 选项. 答案 AC 14.(多空题)复数 za21(a1)i(aR)是纯虚数,则 a_,|z|_. 解析 复数 za21(a1)i 是纯虚数, a210,a10,解得 a1, z2i,|z|2. 答案 1 2