1、8 8. .4.24.2 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 基础达标 一、选择题 1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 解析 可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾). 答案 D 2.如果直线 a平面 ,那么直线 a 与平面 内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 解析 直线 a平面 ,则 a 与 无公共点,与 内的直线当然均无公共点. 答案 D 3.两平面 , 平行,a,下列四个命题: a 与 内的所有直线平行;a 与
2、 内无数条直线平行; 直线 a 与 内任何一条直线都不垂直;a 与 没有公共点. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 错误,a 不是与 内的所有直线平行,而是与 内的无数条直线平行,有一些是异面;正确;错误,直线 a 与 内无数条直线垂直;根据定义,a 与 没有公共点,正确. 答案 B 4.若直线 a 不平行于平面 ,则下列结论成立的是( ) A. 内的所有直线均与 a 异面 B. 内不存在与 a 平行的直线 C. 内的直线均与 a 相交 D.直线 a 与平面 有公共点 解析 若直线 a 不平行于平面 ,则 aA 或 a,故 D 项正确. 答案 D 5.与两个相交平面
3、的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A.都平行 B.都相交 C.在两个平面内 D.至少与其中一个平面平行 解析 一条直线与两个平面的交线平行,有两种情形,其一是分别与这两个平面平行; 其二是在一个平面内且平行于另一个平面, 符合至少与其中一个平面平行. 答案 D 二、填空题 6.在四棱锥 PABCD 中,各棱所在的直线互相异面的有_对. 解析 以底边所在直线为准进行考察,因为四边形 ABCD 是平面图形,4 条边在同一平面内,不可能组成异面直线,而每一边所在直线能与 2 条侧棱组成 2 对异面直线,所以共有 428(对)异面直线. 答案 8 7.下列命题: 两个平面有无数个公共点,
4、则这两个平面重合; 若 l,m 是异面直线,l,m,则 . 其中错误命题的序号为_. 解析 对于, 两个平面相交, 则有一条交线, 也有无数多个公共点, 故错误;对于, 借助于正方体 ABCDA1B1C1D1, AB平面 DCC1D1, B1C1平面 AA1D1D,又 AB 与 B1C1异面,而平面 DCC1D1与平面 AA1D1D 相交,故错误. 答案 8.如果空间的三个平面两两相交,则下列判断正确的是_(填序号). 不可能只有两条交线;必相交于一点;必相交于一条直线;必相交于三条平行线. 解析 空间的三个平面两两相交,可能只有一条交线,也可能有三条交线,这三条交线可能交于一点. 答案 三、
5、解答题 9.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么 AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对?分别是哪几对? 解 还原的正方体如图所示: 根据异面直线的判定方法知共有三对,分别为 AB 与 CD,AB 与 GH,EF 与 GH. 10.如图,平面 , 满足 ,a,b,判断 a 与 b、a 与 的位置关系并证明你的结论. 解 ab,a.证明如下: 由 a 知 a且 a, 由 b 知 b且 b, ,a,b,a,b 无公共点. 又a且 b,ab. ,与 无公共点. 又 a,a 与 无公共点,a. 能力提升 11.已知下列说法: 若两个平面 ,a,b,则 ab; 若两个
6、平面 ,a,b,则 a 与 b 是异面直线; 若两个平面 ,a,b,则 a 与 b 一定不相交; 若两个平面 ,a,b,则 a 与 b 平行或异面; 若两个平面 b,a,则 a 与 一定相交. 其中正确的序号是_(将你认为正确的序号都填上). 解析 错,a 与 b 也可能异面;错,a 与 b 也可能平行;对,与 无公共点,又a,b,a 与 b 无公共点;对,由已知及知:a与 b 无公共点,那么 ab 或 a 与 b 异面;错,a 与 也可能平行. 答案 12.如图,ABCDA1B1C1D1是正方体,在图 1 中,E,F 分别是 C1D1,BB1的中点,画出图 1,图 2 中有阴影的平面与平面
7、ABCD 的交线,并给出证明. 解 在图 1 中,设 N 为 CD 的中点,连接 NE,NB,则 ENBF,B,N,E,F四点共面.EF与NB的延长线相交, 设交点为M, 连接AM.MEF, 且MNB,EF平面 AEF,NB平面 ABCD,M 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共点,又点 A 是平面 ABCD 和平面 AEF 的公共点,AM 为两平面的交线. 在图 2 中, 延长 DC 到点 M, 使 CMDC, 连接 BM, C1M, 则 C1MD1CA1B,M 在平面 A1BC1内. 又M 在平面 ABCD 内,M 是平面 A1BC1与平面 ABCD 的公共点,又点 B 是平面 A1B
8、C1与平面 ABCD 的公共点,BM 是平面 A1BC1与平面 ABCD 的交线. 创新猜想 13.(多选题)下列命题中的真命题是( ) A.若直线 a 不在平面内,则 a B.若直线 l 上有无数个点不在平面 内,则 l C.若 l,则直线 l 与平面 内任何一条直线都没有公共点 D.平行于同一平面的两直线可以相交 解析 A 中,直线 a 也可能与平面 相交,故 A 是假命题;B 中,直线 l 与平面 相交时,l 上也有无数个点不在平面 内,故 B 是假命题;C 中,l 时,l与 没有公共点,所以 l 与 内任何一条直线都没有公共点,故 C 是真命题;D中,长方体 ABCDA1B1C1D1中,A1C1与 B1D1都与平面 ABCD 平行,且 A1C1与 B1D1相交,故 D 是真命题. 答案 CD 14.(多选题)如图是一个正方体的展开图,则在原正方体中( ) A.CDGH B.AB 与 EF 异面 C.ADEF D.AB 与 CD 相交 解析 把展开图还原成正方体,如图所示.由正方体的性质得 CDGH,AB 与EF 异面,AD 与 EF 异面,AB 与 CD 相交,故选 ABD. 答案 ABD