1、第二课时第二课时 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 基础达标 一、选择题 1.若直线 a 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 a 垂直的直线( ) A.只有一条 B.有无数条 C.是平面内的所有直线 D.不存在 解析 当 a平面 时，在平面 内有无数条直线与直线 a 是异面垂直直线；当a时，在 内有无数条平行直线与直线 a 相交且垂直；当直线 a 与平面 相交但不垂直时，在平面 内有无数条平行直线与直线 a 垂直，故选 B. 答案 B 2.直线 l 垂直于平面 ，m，则有( ) A.lm B.l 和 m 异面 C.l 和 m 相交 D.l 和 m 不平行 解析 因为 l，m，所以 l
2、m，则 l 和 m 可能相交，也可能异面，即 l 和m 不平行. 答案 D 3.地面上有两根相距 a 米的旗杆，它们的高分别是 b 米和 c 米(bc)，则它们上端的距离为( ) A. a2b2 B.b2c2 C. a2b2c2 D. a2（bc）2 解析 如图，由线面垂直的性质定理可知 ABCD，作 AECD 于 E，则 DEbc，故 ADa2（bc）2. 答案 D 4.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面.下列说法正确的是( ) A.若 m，n，则 mn B.若 m，n，则 mn C.若 m，n，则 mn D.若 m，mn，则 n 解析 由题可知，若 m，n，则 m 与 n 平行、相
3、交或异面，所以 A 错误；若 m，n，则 mn，故 B 正确；若 m，n，则 mn，故 C 错误；若 m，mn，则 n 或 n或 n 与 相交或 n，故 D 错误. 答案 B 5.PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 的任意一点，则下列关系不正确的是( ) A.PABC B.BC平面 PAC C.ACPB D.PCBC 解析 PA平面 ABC， BC平面 ABC， PABC， A 选项正确； 又BCAC，PAACA，BC平面 PAC，又 PC平面 PAC，BCPC，B，D 选项均正确.故选 C. 答案 C 二、填空题 6.已知 A，B 两点在平面 的同侧，且它们与
4、平面 的距离相等，则直线 AB 与平面 的位置关系是_. 答案 平行 7.如图，已知平面 平面 l，EA，垂足为 A，EB，垂足为 B，直线 a，aAB，则直线 a 与直线 l 的位置关系是_. 解析 EA，平面 平面 l， 即 l，lEA.同理 lEB. 又 EAEBE，EA，EB平面 EAB， l平面 EAB.EB，a平面 ，EBa. 又 aAB，EBABB，EB，AB平面 EAB， a平面 EAB，al. 答案 平行 8.一条与平面 相交的线段 AB，其长度为 10 cm，两端点 A，B 到平面 的距离分别是 3 cm，2 cm，则线段 AB 与平面 所成的角大小是_. 解析 如图，作
5、AC，BD，垂足分别为 C，D，则 ACBD，AC，BD 确定的平面与平面 交于 CD，且 CD 与 AB 相交于 O，AB10 cm，AC3 cm，BD2 cm，则 AO6 cm，BO4 cm，AOCBOD30 ，即线段 AB 与平面 所成的角的大小为 30 . 答案 30 三、解答题 9.如图， PA平面 ABD， PC平面 BCD， E， F 分别为 BC， CD 上的点， 且 EFAC. 求证：CFDCCEBC. 证明 PA平面 ABD，PC平面 BCD，BD平面 ABD，BD平面 BCD，EF平面 BCD， PABD，PCBD，PCEF. 又 PAPCP，PA，PC平面 PAC，BD
6、平面 PAC. 又 EFAC，PCACC，PC，AC平面 PAC， EF平面 PAC.EFBD，CFDCCEBC. 10.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，D，E 分别为 AA1，B1C 的中点，DE平面 BCC1B1，求证：ABAC. 证明 取 BC 的中点 F，连接 EF，AF. 则 EFB1B 且 EF12B1B. 从而 EFDA 且 EFDA， 则四边形 ADEF 为平行四边形，从而 AFDE. 又 DE平面 BCC1B1，故 AF平面 BCC1B1. 从而 AFBC，即 AF 为 BC 的垂直平分线，故 ABAC. 能力提升 11.在ABC 中，ACB90 ，AB8，B
7、AC60 ，PC平面 ABC，PC4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为( ) A.2 7 B.7 C. 19 D. 5 解析 如图所示， 因为 PC平面 ABC， 所以 PCCM， 则PCM 是直角三角形，故 PM2PC2CM2，所以当 CMAB 时，CM 最小，此时 PM 也最小.由条件知AC4，BC4 3，故 CM 的最小值为 2 3， 又 PC4，则 PM 的最小值为42（2 3）22 7. 答案 A 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，M，N分别是 AB，PC 的中点. (1)求证：MN平面 PAD； (2)求证：ABMN.
8、 证明 (1)取 PD 中点 Q，连接 AQ，NQ. N 是 PC 中点， NQ 綉12DC， 又M 是 AB 中点， AM 綉12DC，AM 綉 NQ， 四边形 AQNM 是平行四边形.MNAQ. MN平面 PAD，AQ平面 PAD， MN平面 PAD. (2)PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又底面 ABCD 为矩形， ABAD.又 PAADA，PA，AD平面 PAD， AB平面 PAD，又 AQ平面 PAD， ABAQ. 又AQMN，ABMN. 创新猜想 13.(多选题)如图所示，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上异于 A，B 的一点，E，
9、F 分别是点 A 在 PB，PC 上的投影，则( ) A.AFPB B.EFPB C.AFBC D.AE平面 PBC 解析 对于 A， 因为 PA平面 ABC， 故 PABC， 又 BCAC， 故 BC平面 PAC，从而 BCAF，又 AFPC，故 AF平面 PBC，所以 AFPB，AFBC，故 A，C 正确；对于 B，由选项 A 知 AFPB，而 AEPB，从而 PB平面 AEF，故EFPB，故 B 正确；对于 D，由上面过程可知，AE 与平面 PBC 不垂直，故 D不正确. 答案 ABC 14.(多选题)如图，等边三角形 ABC 的边长为 1，BC 边上的高为 AD，沿 AD 把三角形 A
10、BC 折起来，则( ) A.在折起的过程中始终有 AD平面 DBC B.三棱锥 ADBC 的体积的最大值为348 C.当BDC60 时，点 A 到 BC 的距离为154 D.当BDC90 时，点 C 到平面 ADB的距离为12 解析 因为 ADDC，ADDB，且 DCDBD，DC，DB平面 DBC，所以AD平面 DBC，故 A 正确；当 DBDC 时，DBC 的面积最大，此时三棱锥ADBC 的体积也最大，最大值为1332121212348，故 B 正确；当BDC60 时， DBC 是等边三角形， 设 BC 的中点为 E， 连接 AE， DE， 则 AEBC，即 AE 为点 A 到 BC 的距离， AE322342154， 故 C 正确； 当BDC90 时， CDDB， CDAD， 故 CD平面 ADB， 则 CD 就是点 C 到平面 ADB的距离，则 CD12，故 D 正确. 答案 ABCD
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