1、第二课时第二课时 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 基础达标 一、选择题 1.已知平面 平面 ，则下列命题中真命题的个数是( ) 内的任意直线必垂直于 内的无数条直线； 在 内垂直于 与 的交线的直线必垂直于 内的任意一条直线； 内的任意一条直线必垂直于 ； 过 内的任意一点作 与 交线的垂线，则这条直线必垂直于 . A.4 B.3 C.2 D.1 解析 设 l，a，b，bl，则 ab，故 内与 b 平行的无数条直线均垂直于 内的任意直线，为真命题； 内垂直于与交线的直线垂直于平面，则它垂直于内的任意直线，为真命题；内不与交线垂直的直线不垂直于，为假命题；垂直于交线的直线必须在平面内才
2、与平面垂直，否则不垂直，为假命题. 答案 C 2.在长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB 上任取一点 E， 作 EFA1B1于 F， 则 EF 与平面 A1B1C1D1的关系是( ) A.平行 B.EF平面 A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 解析 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 A1ABB1平面 A1B1C1D1且平面A1ABB1平面 A1B1C1D1A1B1，又 EF面 A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案 D 正确. 答案 D 3.如图所示， 三棱锥 PABC 中， 平面 ABC平面 PAB， PAPB， ADDB， 则( ) A.
3、PD平面 ABC B.PD平面 ABC C.PD 与平面 ABC 相交但不垂直 D.PD平面 ABC 解析 PAPB，ADDB， PDAB. 又平面 ABC平面 PAB， 平面 ABC平面 PABAB，PD平面 PAB， PD平面 ABC. 答案 B 4.如图所示，三棱锥 PABC 的底面在平面 内，且 ACPC，平面 PAC平面PBC，点 P，A，B 是定点，则动点 C 的轨迹是( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点 解析 平面 PAC平面 PBC，ACPC，平面 PAC平面 PBCPC，AC平面PAC， AC平面 PBC. 又BC平面 PBC， ACBC
4、， ACB90 . 动点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆，除去 A 和 B 两点. 答案 D 5.如图，平面 平面 ，A，B，AB 与两平面 ， 所成的角分别为4和6.过 A，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A，B，则 ABAB等于( ) A.21 B.31 C.32 D.43 解析 由已知条件可知BAB4，ABA6， 设 AB2a，则 BB2asin 4 2a， AB2acos 6 3a，在 RtBBA中，得 ABa， ABAB21. 答案 A 二、填空题 6.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E平面 ABCD，F平面 A1B1C1D1，且 EF平面 ABCD，则 EF 与 AA1
5、的位置关系是_. 解析 AA1平面 ABCD，EF平面 ABCD， AA1EF. 答案 平行 7.已知 a， b 为直线，为平面.在下列四个命题中， 正确的命题是_(填序号). 若 a，b，则 ab； 若 a，b，则 ab； 若 a，a，则 ； 若 b，b，则 . 解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假. 答案 8.如图，在三棱锥 PABC 中，侧面 PAC底面 ABC，且PAC90 ，PA1，AB2，则 PB_. 解析 侧面 PAC底面 ABC，交线为 AC，PAC90 (即 PAAC)，PA
6、平面PAC， PA平面 ABC， 又 AB平面 ABC， PAAB， PB PA2AB2 14 5. 答案 5 三、解答题 9.已知平面 ABC平面 ACD，AB平面 BCD，BEAC 于点 E. (1)判断 DC 与 BE 的关系； (2)求证：DCBC. (1)解 DCBE，理由如下： 平面 ABC平面 ACD，BEAC 于点 E，平面 ABC平面 ACDAC，BE平面 ABC， BE平面 ACD，又 DC平面 ACD，BEDC. (2)证明 AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD. BECD，ABBEB，AB，BE平面 ABC， CD平面 ABC，又 BC平面 ABC， CDBC.
7、 10.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD2AB2a，BD 3a，ACBDE，将其沿对角线 BD 折成直二面角. 求证：(1)AB平面 BCD； (2)平面 ACD平面 ABD. 证明 (1)在ABD 中，ABa，AD2a，BD 3a， AB2BD2AD2，ABD90 ，ABBD. 又平面 ABD平面 BCD， 平面 ABD平面 BCDBD，AB平面 ABD， AB平面 BCD. (2)折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 ABBD， CDBD.AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD. ABBDB，AB，BD平面 ABD， CD平面 ABD. 又CD平面 ACD， 平面
8、 ACD平面 ABD. 能力提升 11.如图所示，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为AB， DF的中点.若CD2， 平面ABCD平面DCEF， 则线段MN的长等于_. 解析 取 CD 的中点 G，连接 MG，NG.因为 ABCD，DCEF 为正方形，且边长为2， 所以 MGCD，MG2，NG 2. 因为平面 ABCD平面 DCEF， 平面 ABCD平面 DCEFCD， MG平面 ABCD， 所以 MG平面 DCEF，又 NG平面 DCEF. 可得 MGNG， 所以 MN MG2NG2 6. 答案 6 12.如图， ABC和BCD所在平面互相垂直， 且ABBC
9、BD2.ABCDBC120 ，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点. (1)求证：EF平面 BCG； (2)求三棱锥 DBCG 的体积. (1)证明 ABBCBD2，ABCDBC120 ， ABCDBC， ACDC. G 为 AD 的中点，CGAD. 同理 BGAD， CGBGG，CG，BG平面 BGC， AD平面 BGC. 又 E，F 分别是 AC，CD 的中点， EFAD，EF平面 BCG. (2)解 在平面 ABC 内，作 AOCB，交 CB 的延长线于 O， ABC 和BCD 所在平面互相垂直，平面 ABC平面 BCDBC，且 AO平面ABC， AO平面 BCD. G 为 AD
10、 的中点， G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在AOB 中，AOAB sin 60 3，h32. 在BCD 中，BFBD cos 60 2121， DFBD sin 60 3，DC2 3， 故 SDCB12BF DC1212 3 3. VDBCGVGBCD13SDCB h13 33212. 创新猜想 13.(多选题)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 给出如下命题，其中正确的是( ) A.若 ，m，n，nm，则 n B.若 ，且 n，nm，则 m C.若 ，m，m，则 m D.若 ，m，则 m 解析 根据平面与平面垂直的性质知 A 正确；B 中，m
11、还可能在 内或 m 或m 与 斜交，不正确；C 中，m，m时，只可能有 m，正确；D中，m 与 的位置关系可能是 m 或 m或 m 与 相交，不正确.故选 AC. 答案 AC 14.(多选题)如图，正方形 SG1G2G3中，E，F 分别是 G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3重合，重合后的点记为 G.给出下列关系成立的有( ) A.SG平面 EFG B.SE平面 EFG C.GFSE D.EF平面 SEG 解析 由 SGGE，SGGF，得 SG平面 EFG，同理可证 GF平面 GSE，所以平面 EFG，SFG，SEG 两两垂直，所以选项 A，C 正确；若 SE平面 EFG，则 SEEG，这与 SGEG 矛盾，同理可知 EF平面 SEG 不正确，所以 B，D 不正确. 答案 AC
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