1、8.68.6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8.6.18.6.1 直线与直线垂直直线与直线垂直 1若空间三条直线 a，b，c 满足 ab，bc，则直线 a 与 c( ) A一定平行 B一定垂直 C一定是异面直线 D一定相交 答案 B 解析 ab，bc，ac. 2.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( ) A直线 AA1 B直线 A1B1 C直线 A1D1 D直线 B1C1 答案 D 解析 根据异面直线的概念可看出直线 AA1，A1B1，A1D1都和直线 EF 为异面直线；B1C1和EF 在同一平面内，且这
2、两直线不平行 直线 B1C1和直线 EF 相交，即选项 D 正确 3在空间四边形 ABCD 中，AB，BC，CD 的中点分别是 P，Q，R，且 PQ2，QR 5，PR3，那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是( ) A90 B60 C45 D30 答案 A 解析 PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知PQR90 . 4如图所示，在等边三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD， BE， DE 的中点 将ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥后， GH 与 IJ 所成角的度数为( ) A90 B60 C45 D0 答案 B 解析 将三角形
3、折成三棱锥， 如图所示， GH 与 IJ 为异面直线， 在三棱锥 ADEF 中， IJAD，GHDF，所以ADF 即为所求， 因此 GH 与 IJ 所成角为 60 . 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( ) A.22 B.32 C.52 D.72 答案 C 解析 如图，连接 BE，ABCD， 异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角，即EAB(或其补角) 不妨设正方体的棱长为 2，则 CE1，BC2，由勾股定理得 BE 5，AC2 2，AE3. AB2BE2AE2，ABBE， tanEA
4、BBEAB52. 6.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AC 与 B1D1所成的角为_，AC 与 D1C1所成的角为_ 答案 90 45 解析 B1D1与 AC 是异面直线，连接 BD，交 AC 于点 O，易知 BDB1D1， 所以DOC 或其补角为 B1D1与 AC 所成的角 因为 BDAC，所以DOC90 ， 所以 B1D1与 AC 所成的角是 90 . 因为 DCD1C1，所以ACD 是 AC 与 D1C1所成的角， 又ACD45 ，所以 AC 与 D1C1所成的角是 45 . 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 C1D1的中点，则异面直线 AE 与 A1B1所
5、成角的余弦值为_ 答案 13 解析 设棱长为 1，连接 AD1，A1B1C1D1， AED1(或其补角)就是异面直线 AE 与 A1B1所成的角 AD1 2，AE32， 在 RtAED1中，cosAED1D1EAE123213. 8.如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC8，BD6，M，N 分别为 AB，CD 的中点，并且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90 ，则 MN_. 答案 5 解析 如图，取 AD 的中点 P，连接 PM，PN， 则 BDPM，ACPN， MPN 或其补角即为异面直线 AC 与 BD 所成的角， MPN90 ， PN12AC4，PM12BD3， MN5. 9.
6、如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90 ，BC 2，DAAC，DAAB，若DA1，且 E 为 DA 的中点，求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 解 如图，取 AC 的中点 F，连接 EF，BF. 在ACD 中，E，F 分别是 AD，AC 的中点，EFCD， BEF(或其补角)即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角 在 RtABC 中，BC 2，ABAC，ABAC1. 在 RtEAB 中，AB1， AE12AD12，BE52. 在 RtAEF 中，AF12AC12，AE12，EF22. 在 RtABF 中，AB1，AF12，BF52. 在等腰三角形 EBF 中，cosF
7、EB12EFBE24521010， 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为1010. 10.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F 分别是 BD1和 AD 的中点求证：CD1EF. 证明 如图，取 CD1的中点 G，连接 EG，DG. E 是 BD1的中点， EGBC，EG12BC， F 是 AD 的中点，且 ADBC，ADBC， DFBC，DF12BC， EGDF，EGDF，四边形 EFDG 是平行四边形， EFDG， DGD1(或其补角)是异面直线 CD1与 EF 所成的角 又A1AAB， 四边形 ABB1A1，四边形 CDD1C1都是正方形， 又 G 为 CD
8、1的中点， DGCD1，D1GD90 ， 异面直线 CD1与 EF 所成的角为 90 ， CD1EF. 11.如图，在三棱锥 DABC 中，ACBD，且 ACBD，E，F 分别是棱 DC，AB 的中点，则EF 和 AC 所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 答案 B 解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 FG，EG. E，F 分别是 CD，AB 的中点， FGAC，EGBD， 且 FG12AC，EG12BD. EFG 为 EF 与 AC 所成的角(或其补角) 又ACBD，FGEG. 又ACBD，FGEG，FGE90 ， EFG 为等腰直角三角形， EFG45 ，即 EF 与
9、 AC 所成的角为 45 . 12当动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DC 上运动时，异面直线 D1P 与 BC1所成角的取值范围是( ) A.6，4 B.6，3 C.4，3 D.3，2 答案 C 解析 设正方体棱长为 1，DPx，则 x0，1，连接 AD1，AP， 由 AD1BC1可知，AD1P(或其补角)即为异面直线 D1P 与 BC1所成角， 在AD1P 中，AD1 2，APD1P 1x2， 故 cosAD1P221x2， 又x0，1， cos AD1P221x212，22， 又AD1P(0，)，AD1P4，3，故选 C. 13.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原
10、正方体纸盒中有如下结论，正确的是( ) AABEF BAB 与 CM 所成的角为 60 CEF 与 MN 是异面直线 DMNCD 答案 AC 解析 把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，ABEF，EF 与 MN 是异面直线，ABCM，MNCD，只有 AC 正确 14在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB 的中点为 M，DD1的中点为 N，则异面直线 B1M 与CN 所成的角为_ 答案 90 解析 如图，取 AA1的中点 E，连接 EN，BE， 设 BE 交 B1M 于点 O，易知 ENBC，且 ENBC， 四边形 BCNE 是平行四边形， BECN， BOM 或其补角即为异面直线 B
11、1M 与 CN 所成的角 由 BB1AB，AEBM，EABMBB1， 得 RtBB1MRtABE， BMB1AEB，BOM90 . 15.如图所示，圆锥的底面直径 AB4，高 OC2 2，D 为底面圆周上的一点，且AOD120 ，则直线 AD 与 BC 所成的角为_ 答案 60 解析 如图， 延长 DO 交底面圆于点 E， 连接 BE， CE， 由 AB， DE 均为圆的直径知 ADBE，且 ADBE， 所以CBE 即为异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角 在AOD 中，AD2OAsin 60 2 3， 在CBE 中，CBCEBE2 3，所以CBE 为正三角形， 所以CBE60 . 16
12、在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是菱形，且 AB2 3，ABC120 ，若A1BAD1，求 AA1的长 解 如图所示，连接 CD1，AC. 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC2 3， 四边形 A1BCD1是平行四边形，A1BCD1， AD1C(或其补角)为异面直线 A1B 和 AD1所成的角， A1BAD1，即异面直线 A1B 和 AD1所成的角为 90 ， AD1C90 . 又易知 AD1D1C，ACD1是等腰直角三角形， AD122AC. ABBC2 3，ABC120 ， AC2 3sin 60 26， AD122AC3 2， AA1 AD21A1D21 6.
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