1、大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 1 页 共 12 页 大庆市高三年级第一次教学质量检测大庆市高三年级第一次教学质量检测数学数学试题（文）试题（文） 第卷（选择题第卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. . 1. 设集合31Axx ，0Bx x，则AB U A01xx B0 x x C31xx D3x x 2. 若复数22izi，则z的虚部为 A45i
2、B45i C45 D45 3. 命题“1x ，210 x ”的否定是 A1x ，210 x B1x ，210 x C1x ，210 x D1x ，210 x 4. 某团支部随机抽取甲乙两位同学连续 9 期“青年大学习”的成绩（单位：分） ，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这 9 期的成绩，则下列说法正确的是 A甲成绩的中位数为 32 B乙成绩的极差为 40 C甲乙两人成绩的众数相等 D甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数 5. 已知平面向量1,2a r，2,byr，且a brr，则2abrr A5, 6 B3,6 C5,4 D5,10 6. 已知nS是等比数列na的前n项和，若公比2q ，则1356
3、aaaS A23 B17 C13 D37 大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 2 页 共 12 页 7. 函数( )sin()sin3f xxx的最大值为 A2 B3 C232 D32 8. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是 A21yx Byx x Cxxyee D2lg1yxx 9. 设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A若l，l，则 B若l，l ，则 C若，l，则l D若，l，则l 10. 已知定义在R上的奇函数 yf x满足 2fxfx ，若12,0,1x x且12xx 时，都有 11222112x f xx f xx f xx f x，则下列结
4、论正确的是 A yf x图象关于直线2020 x对称 B yf x在2019,2021上为减函数 C yf x图象关于点2020,0中心对称 D yf x在2020,2022上为增函数 11. 已知直线: l ykx与圆22:650C xyx交于A，B两点，若ABC为等腰直角三 角形，则k的值为 A147 B147 C142 D142 12. 已知函数 2xf xaexaR有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 A. 240,e B. 20e， C. 220e， D. 40,e 第卷（非选择题第卷（非选择题 共共 9090 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.
5、.第第 1313 题题2121 题为必考题， 每个试题考生都必须做答题为必考题， 每个试题考生都必须做答. .第第 2222 题、第题、第 2323 题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答. . 大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 3 页 共 12 页 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题；每小题小题；每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 抛物线220ypx p的焦点坐标为3,0,则p的值为 . 14. 若实数, x y满足不等式组21000 xyxyy ，则zxy的最大值为 . 15. 锐角ABC中，角, ,A B C所
6、对边的长分别为, ,a b c，若2 sin3aBb，则3cos2A . 16. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，1ABBM，将ABM沿直线AM翻折成1ABM（1B不在平面AMCD内） ， 连结1B D，N为1B D的中点， 则在翻折过程中，下列说法中正确的是 . /CN平面1ABM 存在某个位置，使得CNAD 当三棱锥1BAMD的体积最大时，三棱锥1BAMD的外接球的表面积是4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤步骤. . 17.（本小题满分 12
7、 分） 已知数列na是等差数列，13a ，37a （）求数列na的通项公式； （）若2nannba，求数列 nb的前n项和nT 18.（本小题满分 12 分） 随着经济模式的改变， 微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台. 已知经销某种商品的电商在任何一个销售周期内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 4 页 共 12 页 每吨亏损0.3万元根据已往的销售经验，得到下一个销售周期的市场需求量的频率分布直方图如图所示已知某电商为下一个销售周期筹备了130吨该商品. 现以x（单位：吨，100150 x）表示下一个销售周期的市场需求
8、量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售周期内经销该商品获得的利润 （）将T表示为x的函数，求出该函数解析式； （）根据直方图估计利润T不少于 57 万元的概率； （III）根据频率分布直方图，估计这个销售周期的市场需求量x的平均数与中位数的大小（结果保留到小数点后一位） 19.（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA 底面111ABC，90BAC，4AB ，12ACAA，M是AB中点，N是11AB中点，P是1BC与1BC的交点. （）求证：平面1BC N平面1ACM； （）求点P到平面1ACM的距离. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆2222:10 xy
9、Cabab的离心率为12，1F、2F分别是椭圆的左、 右焦点，P是椭圆上一点，且12PFF的周长是6. 需求量/t 0 0.025 0.020 0.015 0.010 150 140 130 120 110 100 0.030 大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 5 页 共 12 页 （）求椭圆C的方程； （）设直线l经过椭圆的右焦点2F且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q， 使得直线QM与直线QN斜率的和为定值？若存在， 请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数2( )sin1()f xaxxaR （） 当1a 时，
10、求曲线( )yf x在点,22f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （）若对于任意的实数x恒有( )sincosf xxx，求实数a的取值范围 请考生在第请考生在第 2222、2323 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. .做答时，做答时，用用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. . 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线1C的参数方程为2cos2sinxy（为参数） ，曲线2C的参数方程为22222xtyt（t为参数）. 以坐标原点O为极
11、点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系. （）求曲线1C与曲线2C公共点的极坐标； （）若点A的极坐标为2,，设曲线2C与y轴相交于点B，点P在曲线1C上，满足PAPB，求出点P的直角坐标. 23. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 2123f xxx （）求不等式 6f x 的解集； （）设函数 f x的最小值为m，若实数a，b，c满足22223abcm，求23abc的最大值 大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 6 页 共 12 页 参考答案参考答案 一一,DCAAD CBDBC BA 二二13136 14142 151532 1616 1717解：解：
12、 （1）由由 na成等差数列成等差数列，设公差为，设公差为d,则则3122aad3 3 分分 1121naandn；6 分分 （2）由（）由（1）可得）可得2122212 421nannnnbann ，8 分分 124 1 43212 44.435.2n121 42nnnnnT 10 分分 284123nnn 12 分 1818 解解： （： （1 1） 当） 当100,130 x时，时，0.839Tx； 当当130,150 x时，时，0.5 13065T 所以，所以，0.839,10013065,130150 xxTx4 分 （2 2）根据频率分布直方图及（）根据频率分布直方图及（1 1）知
13、，）知， 当当100,130 x时，由时，由0.83957Tx，得，得120130 x，当，当130,150 x时，由时，由6557T 所以利润所以利润T不少于不少于57万元当且仅当万元当且仅当120150 x，.6.6分分 于 是 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 市 场 需 求 量于 是 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 市 场 需 求 量120,150 x的 频 率 为的 频 率 为003 0.025 0.015100.7， 所 以 下 一 个 销 售 周 期 内 的 利 润所 以 下 一 个 销 售 周 期 内 的 利 润T不 少 于不 少 于57万 元 的 概 率 的 估
14、 计 值 为万 元 的 概 率 的 估 计 值 为0.7 8 分 （3 3）估计一个销售周期内市场需求量）估计一个销售周期内市场需求量x的平均数为的平均数为 大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 7 页 共 12 页 105 0.1 115 0.2 125 0.3 135 0.25 145 0.15126.5x （吨）；（吨）；10 分 由频率分布直方图易知，由于由频率分布直方图易知，由于100,120 x时，对应的频率为时，对应的频率为0.01 0.02100.30.5， 而而100,130 x时，对应的频率为时，对应的频率为0.01 0.020.03100.60.5， 因此一个
15、销售周期内市场需求量因此一个销售周期内市场需求量x的中位数应属于区间的中位数应属于区间120,130， 于是估计中位数应为于是估计中位数应为0.50.1 0.2120126.70.03（吨）（吨）12 分 1919解（解（1） QM是是AB中点，中点，N是是11AB中点，且几何体为三棱柱，中点，且几何体为三棱柱， 1/ /CCMN，则四边形则四边形1CC NM是平行四边形是平行四边形，则则1/ /C NCM， 又又Q1C N 平面平面1ACM，CM 平面平面1ACM， 1/ /C N平面平面1ACM；2 分 又又Q1ANBM且且1/ /ANBM， 四边形四边形1ANBM是平行四边形，是平行四边
16、形，则则1/ /AMBN， 又又QBN 平面平面1ACM，1AM 平面平面1ACM， /BN平面平面1ACM；4 分 由由1C NBNNI，1,C N BN 平面平面1BC N，则则平面平面1/ /ACM平面平面1BC N，6 分 （2）由（）由（1）知平面）知平面1/ /ACM平面平面1BC N，则则点点P到平面到平面1ACM的距离的距离等于等于点点B到平面到平面1ACM的距离，的距离， 设设点点B到平面到平面1ACM的距离为的距离为h， 由由11B ACMABCMVV，即即111133ACMBCMShAAS，8 分 PCABC1A1B1MN大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第
17、8 页 共 12 页 Q12AMACAA，90BAC且侧棱且侧棱1AA 底面底面111ABC， 2211222 2MCAMAC，则则1232 22 34ACMS， 10 分 又又Q12 222BCMS ，则则112 32 233h ，解得解得2 33h ，11 分 点点P到平面到平面1ACM的距离为的距离为2 33.12 分 2020解解（1）由椭圆的定义知）由椭圆的定义知12PFF的周长为的周长为22ac，所以，所以226ac，1 1 分分 又因为椭圆又因为椭圆2222:10 xyCabab的离心率的离心率12cea， 所以所以2ac，联立解得，联立解得2a，1c，所以，所以223bac，3
18、 3 分分 所求椭圆方程为所求椭圆方程为22143xy.4 4 分分 （2）若存在满足条件的点）若存在满足条件的点,0Q t. 当直线当直线l的斜率的斜率k存在时，设存在时，设1yk x，5 5 分分 联立联立22143xy，消，消y得得22223484120kxk xk. 设设11,M x y，22,N x y，则，则2122834kxxk，21 2241234kx xk，6 6 分分 122112121211QMQNk xxtk xxtyykkxtxtxtxt .7大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 9 页 共 12 页 分分 222212122222121222818242
19、212343441283434ktktkx xktxxktkkkkkx xt xxtttkk 222222222282481234644128344134kkttkk tkkk ttktkt，9 9 分分 要使对任意实数要使对任意实数k，QMQNkk为定值，则只有为定值，则只有4t ，此时，此时，0QMQNkk. 1010 分分 当直线当直线l与与x轴垂直时，若轴垂直时，若4t ，也有，也有0QMQNkk.1111 分分 在在x轴上存在点轴上存在点4,0Q，使得直线，使得直线QM与直线与直线QN的斜率的和为定值的斜率的和为定值 0. 1212 分分 21.21. 解： （解： （1）当）当1a
20、 时，时，2( )sin1f xxx，则，则( )2cosfxxx 因为因为2,242ff，2 分分 所以所以( )yf x在点在点,22f处的切线方程为处的切线方程为242yx，即，即204xy3 分分 令令20,4xy ，令，令0,4yx， 则该切线与两坐标轴围成的三角形面积为则该切线与两坐标轴围成的三角形面积为23124432 4 分分 （2）设）设2( )( )sincoscos1g xf xxxaxx，则，则( )2sin , ( )g xaxx g x是偶函是偶函数数 设设( )( )2sinh xg xaxx，则则( )2cosh xax5 分分 大庆市高三年级第一次教学质量检测
21、文科数学试题 第 10 页 共 12 页 当当12a 时，时，( )2cos0h xax，所以，所以( )h x是增函数，即是增函数，即( )g x是增函数是增函数 又又(0)0g，所以，所以( )g x在在0,)上是增函数，上是增函数， 因为因为(0)0, ( )gg x是偶函数，故是偶函数，故( )0g x 恒成立，即恒成立，即12a 符合题符合题意意 7 分分 当当12a 时，时，( )2cos0 xahx，所以，所以( )h x是减函数，即是减函数，即( )g x是减函数是减函数 因为因为(0)0g，所以所以( )g x在在(0,)上是减函数，上是减函数， 因为因为(0)0g，所以当，
22、所以当0 x时，时，( )0g x ，则，则12a 不符合题不符合题意意 9 分分 当当1122a时，存在唯一时，存在唯一0(0, )x，使得，使得00h x， 因为因为( )2cosh xax在在0, 上是增函数，上是增函数， 所以当所以当00,xx时，时，( )0h x，即，即( )g x在在00,x上为减函数上为减函数 因为因为(0)0g，所以当所以当00,xx时，时，( )0g x，即，即( )g x在在00,x上为减函数，上为减函数， 因为因为(0)0g，所以当，所以当00,xx时，时，( )0g x ，则，则1122a不符合题不符合题意意 11 分分 综上，综上，a的取值范围是的取
23、值范围是1,2 12 分分 2222、解：、解： （1）由题知，曲线）由题知，曲线1C消去参数消去参数得到曲线得到曲线1C的直角坐标方程为的直角坐标方程为222yy， 曲线曲线2C消去参数消去参数t得到曲线得到曲线2C的直角坐标方程为的直角坐标方程为2yx，.2 分分 联立联立1C与与2C的直角坐标方程的直角坐标方程2222xyyx解得解得20 xy 或或02xy， 故两曲线的公共点的直角坐标为故两曲线的公共点的直角坐标为(2,0)和和(0, 2)， 3 分 大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 11 页 共 12 页 曲线曲线1C与曲线与曲线2C的公共点的极坐标为的公共点的极坐标
24、为( 2, )，2,2； 5 分 （2）点）点A的直角坐标为的直角坐标为( 2,0)，点，点B的直角坐标为的直角坐标为(0, 2)， 假设存在点假设存在点P满足条件，不妨设点满足条件，不妨设点( 2cos ,2sin )P， 则则( 2cos2, 2sin )APuuu r，( 2cos , 2sin2)BPuuu r，7 分 因为因为PAPB，所以，所以APBPuuu ruuu r，即，即0AP BPuuu r uuu r，且，且0BPuuu rr， 得得( 2cos2)2cos2sin( 2sin2)0， 化简得， 化简得2cossin1， 联立联立22cos2cossis1n1ni ，得
25、，得2 2cos31sin3 或或cos0sin1， 所以点所以点42,33P或或0, 2P（舍）（舍） 9分 即在曲线即在曲线1C上存在点上存在点42,33P，使得，使得PAPB10 分 2323、解、解： （： （1）由题意，函数）由题意，函数 2123f xxx ， 由由不等式不等式 6f x ，即不等式，即不等式21236xx 当当32x 时，时，21 236xx ，解得，解得322x ； 当当3122x时，时，21 236xx ，解得，解得3122x； 当当12x 时，时，21 236xx ，解得，解得大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学试题 第 12 页 共 12 页 112x， 3 分 综上可得，原不等式的解集为综上可得，原不等式的解集为21xx 5 分 （2）由）由 212321234fxxxxx， 当且仅当当且仅当21 230 xx，即，即3122x时等号成立，所以时等号成立，所以4m6 分 由由222234abc， 则则利用柯西不等式得利用柯西不等式得22222222312323abcabc ，8 分 则则232 6abc， 当且仅当当且仅当63abc时，时，23abc的最大值为的最大值为2 610 分
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