1、10.1.2 事件的关系和运算事件的关系和运算 基础通关水平一 1.一个射手进行一次射击，事件 A：命中环数大于 8；事件 B：命中环数大于 5，则 ( ) A.A 与 B 是互斥事件 B.A 与 B 是对立事件 C.AB D.AB 2.抽查 10 件产品，设“至少抽到 2 件次品”为事件 A，则 A 的对立事件是 ( ) A.至多抽到 2 件次品 B.至多抽到 2 件正品 C.至少抽到 2 件正品 D.至多抽到 1 件次品 【补偿训练】 从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球， 下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( ) A.至少有一个红球；至少有一个白球 B.恰有一个红球；都是白球 C
2、.至少有一个红球；都是白球 D.至多有一个红球；都是红球 3.从 1，2，9 中任取两数，其中： 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数； 至少有一个奇数和两个数都是偶数； 至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述各对事件中，是对立事件的是 ( ) A. B. C. D. 4.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书，从中任取 1 本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E，则事件取出的是理科书可记为 . 5.在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A=出现 1 点，B=出现 3点或 4 点，C=出现的点数是奇数，D=出现的点数
3、是偶数. 求以上 4 个事件两两运算的结果. 能力进阶水平二 一、单选题 1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设 A=三件产品全不是次品，B=三件产品全是次品，C=三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中错误的是 ( ) A.A 与 C 互斥 B.B 与 C 互斥 C.任何两个都互斥 D.任何两个都不互斥 2.打靶 3 次，事件 Ai表示“击中 i 发”，其中 i=0，1，2，3.那么 A=A1A2A3表示 ( ) A.全部击中 B.至少击中 1 发 C.至少击中 2 发 D.以上均不正确 3.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是 5 点且不是 6 点”的对立事件为 ( ) A
4、.一个是 5 点，另一个是 6 点 B.一个是 5 点，另一个是 4 点 C.至少有一个是 5 点或 6 点 D.至多有一个是 5 点或 6 点 【补偿训练】 抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件 C 为“落地时向上的点数是 3 的倍数”，事件 D 为“落地时向上的点数是 6 或 4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是 ( ) A.A 与 B B.B 与 C C.A 与 D D.C 与 D 4.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A=两次都击中飞机，B=两次都没击中飞机，C=恰有一炮弹击中飞机，D=至少有
5、一炮弹击中飞机，下列关系不正确的是 ( ) A.AD B.BD= C.AC=D D.AB=BD 二、多选题 5.一批产品共有 100 件，其中 5 件是次品，95 件是合格品.从这批产品中任意抽取 5 件，现给出以下四个事件： 事件 A：“恰有一件次品”； 事件 B：“至少有两件次品”； 事件 C：“至少有一件次品”； 事件 D：“至多有一件次品”. 则选项中结论正确的是 ( ) A.AB=C B.DB 是必然事件 C.AB=B D.AD=C 6.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是 ( ) A.两球都不是白球 B.两球恰有一
6、个白球 C.两球至少有一个白球 D.两球都是黑球 三、填空题 7.下列各对事件： 运动员甲射击一次，“射中 9 环”与“射中 8 环”； 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”； 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”； 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”. 其中是互斥事件的有 ，是包含关系的有 . 8.已知 100 件产品中有 5 件次品，从这 100 件产品中任意取出 3 件，设 E 表示事件“3 件产品全不是次品”， F 表示事件“3 件产品全是次品”， G 表示事件“3 件产品中
7、至少有 1 件次品”，则下列四个结论正确的是 .(填序号) F 与 G 互斥 E 与 G 互斥但不对立 E，F，G 任意两个事件均互斥 E 与 G 对立 四、解答题 9.在掷骰子的试验中， 可以定义许多事件.例如， 事件 C1=出现 1 点， 事件 C2=出现 2 点，事件 C3=出现 3 点，事件 C4=出现 4 点，事件 C5=出现 5 点，事件 C6=出现 6 点，事件 D1=出现的点数不大于 1，事件 D2=出现的点数大于 3，事件 D3=出现的点数小于5，事件 E=出现的点数小于 7，事件 F=出现的点数为偶数，事件 G=出现的点数为奇数，请根据上述定义的事件，回答下列问题. (1)
8、请举出符合包含关系、相等关系的事件. (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. 10.某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件. (1)恰有 1 名男生与恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生与全是男生； (3)至少有 1 名男生与全是女生； (4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生. 创新迁移 1.如果事件 A，B 互斥，那么 ( ) A. AB 是必然事件 B.是必然事件 C.与一定互斥 D.与一定不互斥 2.从学号为 1，2，3，4，5，6 的六名同学中选出一名同学担任班长，
9、其中 1，3，5 号同学为男生，2，4，6 号同学为女生，记：C1=“选出 1 号同学”，C2=“选出 2 号同学”，C3=“选出3 号同学”，C4=“选出 4 号同学”，C5=“选出 5 号同学”，C6=“选出 6 号同学”，D1=“选出的同学学号不大于 1”，D2=“选出的同学学号大于 4”，D3=“选出的同学学号小于 6”，E=“选出的同学学号小于 7”，F=“选出的同学学号大于 6”，G=“选出的同学学号为偶数”，H=“选出的同学学号为奇数”.据此回答下列问题： (1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件? (2)如果事件 C1发生，则一定有哪些事件发生? (3)
10、两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中有这样的例子吗? 参考答案 基础通关水平一 1.【答案】C 【解析】事件 A：命中环数大于 8 即命中 9 或 10 环；事件 B：命中环数大于 5 即命中 6 或 7或 8 或 9 或 10 环，故 AB. 2.【答案】D 【解析】因为“至少抽到 2 件次品”就是说抽查 10 件产品中次品的数目至少有 2 件，所以 A的对立事件是抽查 10 件产品中次品的数目最多有 1 件. 【补偿训练】 【答案】B 【解析】对于 A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件
11、；对于 B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取 2 个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于 C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于 D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件. 3.【答案】C 【解析】从 1，2，9 中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立事件. 4.【答案】BDE 【解析】由题意可知事件“取到理科书”的可记为 BDE. 5.解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有 6 种基本事件， 记作 Ai=出现的点数为 i(其中
12、i=1，2，6).则 A=A1，B=A3A4，C=A1A3A5，D=A2A4A6. AB=，AC=A，AD=. AB=A1A3A4=出现的点数为 1 或 3 或 4， AC=C=出现的点数为 1 或 3 或 5， AD=A1A2A4A6=出现的点数为 1 或 2 或 4 或 6.BC=A3=出现的点数为 3， BD=A4=出现的点数为 4. BC=A1A3A4A5=出现的点数为1 或 3或 4 或5.BD=A2A3A4A6=出现的点数为 2 或 3 或 4 或 6. CD=，CD=A1A2A3A4A5A6=出现的点数为 1，2，3，4，5，6. 能力进阶水平二 一、单选题 1.【答案】D 【解
13、析】由题意知事件 A，B，C 两两不可能同时发生，因此两两互斥. 2.【答案】B 【解析】A1A2A3所表示的含义是 A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中 1 发、2 发或 3 发. 3.【答案】C 【解析】设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数的可能值包括以下四种可能：甲是 5 点且乙是6 点，甲是 5 点且乙不是 6 点，甲不是 5 点且乙是 6 点，甲不是 5 点且乙不是 6 点，事件“都不是 5 点且不是 6 点”为第四种情况，故其对立事件是前三种情况. 【误区警示】 解答本题容易忽视根据两个骰子是否为 5 点或 6 点对所有可能出现的结果进行分析，导致错误. 【补偿训练】
14、 【答案】C 【解析】A 与 B 互斥且对立；B 与 C 有可能同时发生，即出现 6，从而不互斥；A 与 D 不会同时发生，从而 A 与 D 互斥，又因为还可能出现 2，故 A 与 D 不对立；C 与 D 有可能同时发生，从而不互斥. 4.【答案】D 【解析】“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，所以 ABBD. 二、多选题 5.【答案】AB 【解析】AB 表示的事件为至少有一件次品，即事件 C，所以 A 正确，C 不正确； DB 表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有
15、情况，所以 B 正确； AD 表示的事件为至多有一件次品，即事件 D，所以 D 不正确. 6.【答案】ABD 【解析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，选项 A，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件.但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件.选项 B，事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件.选项 C， 事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件；选项 D，事件“两球都为白球”和事件“两球都是黑球”是互斥而非对立事件. 三、填空题 7.【答案】 【解析】甲射击一次“射中
16、 9 环”与“射中 8 环”不能同时发生，是互斥事件；甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”不是同一试验的结果，不研究包含或互斥关系；甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不能同时发生，是互斥事件；甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”，即“甲射中目标但乙没有射中目标”或“乙射中目标但甲没有射中目标”或“甲、乙都射中目标”，具有包含关系. 8.【答案】 【解析】由题意得事件 E 与事件 F 不可能同时发生，是互斥事件； 事件 E 与事件 G 不可能同时发生，是互斥事件； 当事件 F 发生时，事件 G 一定发生，所以事件 F
17、 与事件 G 不是互斥事件.故，错.事件 E与事件 G 中必有一个发生，所以事件 E 与事件 G 对立，所以错误，正确. 四、解答题 9.解：(1)因为事件 C1，C2，C3，C4发生，则事件 D3必发生，所以 C1D3，C2D3，C3D3，C4D3. 同理可得，事件 E 包含事件 C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件 D2包含事件 C4，C5，C6；事件 F 包含事件 C2，C4，C6；事件 G 包含事件 C1，C3，C5. 且易知事件 C1与事件 D1相等，即 C1=D1. (2)因为事件 D2=出现的点数大于 3=出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点，所以 D2=C4C5C6(或
18、 D2=C4+C5+C6). 同理可得， D3=C1+C2+C3+C4， E=C1+C2+C3+C4+C5+C6， F=C2+C4+C6， G=C1+C3+C5， E=F+G， E=D2+D3. 10.解：(1)因为“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有 2 名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件. (2)因为恰有 2 名男生时“至少有 1 名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件. (3)因为“至少有 1 名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立. (4)由于选出的是 1 名男生 1 名女生时“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”同时发生， 所以它们不是互斥事件. 创新迁移 1.【答案】B 【解析】用集合表示法中的“Venn 图”解决比较直观，如图所示，=I 是必然事件. 2.解：(1)必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；不可能事件有：F. (2)如果事件 C1发生，则事件 D1，D3，E，H 一定发生. (3)有，如：C1和 C2；C3和 C4等.
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