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    2.2.2直线的两点式方程 分层训练(含答案)

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    2.2.2直线的两点式方程 分层训练(含答案)

    1、2.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 一、选择题 1.经过两点(5,0),(2,5)的直线方程为( ) A.5x3y250 B.5x3y250 C.3x5y250 D.5x3y250 答案 B 解析 经过两点(5,0),(2,5)的直线方程为: y050 x525,整理,得 5x3y250. 故选 B. 2.已知直线 l:axy20 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则实数 a 的值是( ) A.1 B.1 C.2 或1 D.2 或 1 答案 A 解析 显然 a0.把直线 l:axy20 化为x2ay21. 直线 l:axy20 在 x 轴和 y 轴上的截距相等, 2a2,解得 a1,

    2、故选 A. 3.(多选题)下列命题中不正确的是( ) A.经过点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示 B.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 ykxb 表示 C.经过任意两个不同点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线都可用方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程xayb1 表示 答案 ABD 解析 A 中当直线的斜率不存在时, 其方程只能表示为 xx0; B 中经过定点 A(0,b)的直线 x0 无法用 ykxb 表示; D 中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程xayb1 表示.只有

    3、 C 正确.故选 A、B、D. 4.经过点 A(2,5),B(3,6)的直线在 x 轴上的截距为( ) A.2 B.3 C.27 D.27 答案 D 解析 由两点式得直线方程为y656x323, 即 x5y270,令 y0,得 x27. 5.(多选题)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3),则其斜率的取值范围可以是( ) A.1,15 B.(),1 C.15, D.12, 答案 BD 解析 设直线的斜率为 k,如图,过定点 A 的直线经过点B(3,0)时,直线 l 在 x 轴上的截距为 3,此时 k1;过定点 A 的直线经过点 C(3,0)时,直线 l 在 x

    4、 轴的截距为3,此时 k12,满足条件的直线 l 的斜率范围是(,1)12, . 二、填空题 6.已知 A(2,1),B(6,1),则在 y 轴上的截距是3,且经过线段 AB 中点的直线方程为_. 答案 3x4y120 解析 由于 A(2,1),B(6,1),故线段 AB 中点的坐标为(4,0), 又直线在 y 轴上的截距是3, 直线方程为x4y31,即 3x4y120. 7.垂直于直线 3x4y70, 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线 l 在 x轴上的截距是_. 答案 3 或3 解析 由 3x4y70 知其斜率为34,故 l 的斜率为43,设 l 的方程为 y43xb,则 l 在

    5、 x,y 轴上的截距分别为34b,b,1234b |b|6,b 4,则直线 l在 x 轴上的截距为 3 或3. 8.过点 P(3,2),且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是_. 答案 2x3y0 或 xy50 解析 当直线过原点时,斜率等于203023, 故直线的方程为 y23x,即 2x3y0. 当直线不过原点时,设直线的方程为xmym1, 把 P(3,2)代入直线的方程得 m5, 故求得的直线方程为 xy50, 综上,满足条件的直线方程为 2x3y0 或 xy50. 三、解答题 9.求经过点 A(2, 3),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程. 解 (1)当横

    6、截距、纵截距都是零时, 设所求的直线方程为 ykx, 将(2,3)代入 ykx 中,得 k32, 此时,直线方程为 y32x, 即 3x2y0. (2)当横截距、纵截距都不是零时, 设所求直线方程式为x2aya1, 将(2,3)代入所设方程,解得 a2, 此时,直线方程为 x2y40. 综上所述,所求直线方程为 x2y40 或 3x2y0. 10.求经过点 A(2,3),B(4,1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 解 过 A,B 两点的直线的两点式方程是y131x424. 化为点斜式为:y123(x4), 斜截式为:y23x53, 截距式为:x52y531. 11.(多

    7、选题)下列命题不正确的是( ) A.过任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程可以写成yy1y2y1xx1x2x1 B.直线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则直线斜率为1 C.若直线的斜率为 1,则直线在 x 轴和 y 轴上的截距之和为 0 D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线的斜率为 1 答案 ABD 解析 当 x1x2或 y1y2时,直线方程不能写成yy1y2y1xx1x2x1,故 A 错误;当直线过原点时,在 x 轴和 y 轴上的截距相等,但斜率不一定为1,故 B 错误;设直线在 y 轴上的截距为 b,则直线方程为 yxb.令 y0,得直线在 x 轴上的

    8、截距为 xb,于是 b(b)0,故 C 正确;若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线的斜率为 1,故 D 错误. 12.两条直线 l1:xayb1 和 l2:xbya1 在同一直角坐标系中的图象可以是( ) 答案 A 解析 将两方程化为截距式 l1:xayb1,l2:xbya1. 假定 l1的位置,判断 a,b 的正负,从而确定 l2的位置,知 A 项符合. 13.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上有一动点 P(x,y),求 xy 的最大值. 解 由直线方程的截距式知直线 AB 的方程为x3y41, 设 P(x,y),则 x334y, xy3y34y234(y24y)

    9、34(y2)243, 当且仅当 y2 时“”成立, 即当 P 点坐标为32,2 时,xy 取得最大值 3. 14.一河流同侧有两个村庄 A,B,两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用,已知 A, B 两村到河边的垂直距离分别为 300 m 和 700 m, 且两村相距 500 m, 问:水电站建于何处送电到两村的电线用料最省? 解 如图,以河流所在直线为 x 轴,y 轴通过点 A,建立直角坐标系, 则点 A(0, 300), B(x, 700), 设 B 点在 y 轴上的射影为 H, 则 x|BH| |AB|2|AH|2300,故点 B(300,700), 设点 A 关于 x 轴的对称点 A(0,300),则直线 AB 的斜率 k103,直线 AB 的方程为 y103x300. 令 y0 得 x90,得点 P(90,0), 故水电站建在河边 P(90,0)处电线用料最省.


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