1、第第 2 2 课时课时 直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程的实际应用 课时课时对点对点练练 1如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|12 米，拱高|CD|4 米，则拱桥的直径为( ) A15 米 B13 米 C9 米 D6.5 米 答案 B 解析 如图，设圆心为 O，半径为 r， 则由勾股定理得|OB|2|OD|2|BD|2， 即 r2(r4)262， 解得 r132， 所以拱桥的直径为 13 米 2已知点 A(1,1)和圆 C：(x5)2(y7)24，一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆 C 上的最短路程是( ) A6 22 B8 C4 6 D10 答案 B 解析 点 A 关于 x 轴的对称点
2、A(1，1)，A与圆心(5,7)的距离为 51271210. 所求最短路程为 1028. 3.如图所示，A，B 是直线 l 上的两点，且 AB2.两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A，B点，C 是两个圆的公共点，则圆弧 AC，CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围为( ) A.0，2 B(0， C.0，22 D(0,2 答案 C 解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积 S 取得最大值， 此时四边形 ABO2O1为矩形， 且 Smax21122 12222. 4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 k
3、m是储备基地的边界上的点A， 接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，则 DE 的最短距离为( ) A6 km B(4 21)km C(4 21)km D4 km 答案 B 解析 以 O 为坐标原点， 过 OB， OC 的直线分别为 x 轴和 y 轴， 建立平面直角坐标系(图略)， 则圆 O 的方程为 x2y21， 因为点 B(8,0)，C(0,8)， 所以直线 BC 的方程为 xy8.当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆相切
4、所成切点处时，DE 为最短距离，此时 DE 的最小值为|008|21(4 21)km. 5 设某公园外围成圆形， 其所在曲线的方程可用x2y22x0表示， 在公园外两点A(2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( ) A3 2 B3 2 C322 D.3 22 答案 A 解析 lAB：xy20，圆心(1,0)到 l 的距离 d|3|232， 所以 AB 边上的高的最小值为321. 所以 Smin122 23213 2. 6(多选)从点 A(3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射后，照射到圆 C：x2y24x4y70 上，则下列结论正确的是( )
5、 A若反射光线与圆 C 相切，则切线方程为 3x4y30 B若反射光线穿过圆 C 的圆心，则反射光线方程为 xy0 C若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是 5 21 D若反射光线反射后被圆 C 遮挡，则在 x 轴上被挡住的范围是34，1 答案 BCD 解析 点 A(3,3)关于 x 轴的对称点为 A(3，3)圆的方程为(x2)2(y2)21，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为 y3k(x3)，即 kxy3k30.由相切知|2k23k3|k211， 解得 k43或 k34. 反射光线方程为 y343(x3)或 y334(x3) 即 4x3y30 或 3x4y30，故 A
6、 错误 又 A(3，3)，C(2,2)的方程为 yx，故 B 正确； 因为|AC| 2322325 2，所以直线的最短路程为 5 21，故 C 正确 由于两条与圆 C 相切的反射光线与 x 轴的交点为(1,0)和34，0 ，所以被挡住的范围是34，1 ，故 D 正确 7 某圆弧形拱桥的水面跨度是 20 m， 拱高为 4 m 现有一船宽 9 m， 在水面以上部分高 3 m，通行无阻 近日水位暴涨了 1.5 m， 为此， 必须加重船载， 降低船身， 当船身至少降低_m时，船才能安全通过桥洞(结果精确到 0.01 m) 答案 1.22 解析 以水位未涨前的水面 AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系
7、，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为 x2(yb)2r2， 圆经过点 B(10,0)，C(0,4)， 100b2r2，4b2r2，解得 b10.5，r14.5. 圆的方程是 x2(y10.5)214.52(0y4)， 令 x4.5，得 y3.28， 故当水位暴涨 1.5 m 后，船身至少应降低 1.5(3.283)1.22 (m)，船才能安全通过桥洞 8 台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动， 离台风中心30 km内的地区为危险区，城市 B 在 A 地正东 40 km 处，则城市 B 处于危险区的时间为_h. 答案 1 解析 如图，以 A 地为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建
8、立平面直角坐标系， 则台风中心经过以 B(40,0)为圆心，30 为半径的圆内时城市 B 处于危险区， 即 B 处于危险区时，台风中心在线段 MN 上，可求得|MN|20， 所以时间为 1 h. 9设有半径长为 3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为 31，问：甲、乙两人在何处相遇？ 解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴，南北方向为 y 轴建立平面直角坐标系 设甲向东走到 D 转向到 C 恰好与乙相遇，设 D 点坐标为(a,
9、0)，C 点坐标为(0，b)，则 CD 所在直线的方程为xayb1(a3，b3)，乙的速度为 v，则甲的速度为 3v.依题意，有 |ab|a2b23，a2b2a3vbv. 解得 a5，b3.75. 所以乙向北前进 3.75 km 时甲、乙两人相遇 10.如图，已知一艘海监船 O 上配有雷达，其监测范围是半径为 25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发，径直驶向位于海监船正北 30 km 的 B 处岛屿，速度为 28 km/h.问： 这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能， 持续时间多长？(要求用坐标法) 解 如图，以 O 为坐标原点，东西方向为 x 轴建立
10、平面直角坐标系， 则 A(40,0)，B(0,30)， 圆 O 的方程为 x2y2252. 直线 AB 的方程为x40y301， 即 3x4y1200. 设点 O 到直线 AB 的距离为 d， 则 d|120|52425， 所以外籍轮船能被海监船监测到 设监测时间为 t， 则 t2 252242280.5(h) 11(多选)如图所示，已知直线 l 的方程是 y43x4，并且与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，一个半径为 1.5 的圆 C，圆心 C 从点(0,1.5)开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动，当圆 C 与直线 l 相切时，该圆运动的时间可以为( ) A6 秒 B
11、8 秒 C10 秒 D16 秒 答案 AD 解析 设当圆与直线 l 相切时，圆心坐标为(0，m)， 则圆心到直线 l 的距离为|m4|143232， 得 m32或 m132， 所以该圆运动的时间为32320.56(秒)或321320.516(秒) 12某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度 AB 是 36 m，拱高 OP 是 6 m，在建造时，每隔 3 m 需用一个支柱支撑，则支柱 A2P2的长为( ) A(12 624)m B(12 624)m C(2412 6)m D不确定 答案 A 解析 如图，以线段 AB 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么
12、点 A，B，P 的坐标分别为(18,0)，(18,0)，(0,6) 设圆拱所在的圆的方程是 x2y2DxEyF0. 因为 A，B，P 在此圆上，故有 18218DF0，18218DF0，626EF0，解得 D0，E48，F324. 故圆拱所在圆的方程是 x2y248y3240. 将点 P2的横坐标 x6 代入上式， 结合图形解得 y2412 6. 故支柱 A2P2的长为(12 624)m. 13.如图是一公路隧道截面图，下方 ABCD 是矩形，且 AB4 m，BC8 m，隧道顶 APD 是一圆弧，拱高 OP2 m，隧道有两车道 EF 和 FG，每车道宽 3.5 m，车道两边留有 0.5 m 人
13、行道 BE 和 GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有 0.6 m 的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是_m(精确到 0.01 m， 517.141) 答案 3.97 解析 建立如图所示的平面直角坐标系 xOy， 设弧 APD 所在圆的圆心坐标为 O1(0，b)，半径为 r，则其方程为 x2(yb)2r2. 将 P(0,2)，D(4,0)的坐标代入以上方程， 解得 b3，r5， 故圆 O1的方程为 x2(y3)225. 过点 E 作 AD 的垂线交 AD 于点 M，延长交弧 AD 于点 N， 将 N(3.5，h)代入圆 O1的方程， 解得 h0.571，即|MN|0.571， 则|EN|40
14、.5714.571， 从而车辆的限高为 4.5710.63.97 (m) 14自圆外一点 P 作圆 O：x2y21 的两条切线 PM，PN(M，N 为切点)，若MPN90 ，则动点 P 的轨迹方程是_ 答案 x2y22 解析 设点 P 的坐标为(x，y)， 则|PO|x2y2. MPN90 ，四边形 OMPN 为正方形， |PO| 2|OM| 2， x2y2 2，即 x2y22. 15一辆货车宽 1.6 米，要经过一个半径为 3.6 米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( ) A2.4 米 B3.5 米 C3.6 米 D2.0 米 答案 B 解析 以半圆所在直径为
15、 x 轴，过圆心且与 x 轴垂直的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 易知半圆所在的圆的方程为 x2y23.62(y0)， 由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高， 此时 x0.8 或 x0.8，代入 x2y23.62， 得 y3.5(负值舍去) 16.如图所示，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A 位于点O 正北方向60 m处，点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(O
16、C 为河岸)，tan BCO43. (1)求新桥 BC 的长； (2)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解 (1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy. 由条件知，A(0,60)，C(170,0)， 直线 BC 的斜率 kBCtan BCO43. 又因为 ABBC， 所以直线 AB 的斜率 kAB34. 设点 B 的坐标为(a，b)， 则 kBCb0a17043， kABb60a034， 联立解得 a80，b120. 所以|BC| 17080201202150. 因此新桥 BC 的长为 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m，|OM|d m(0d60) 由条件知，直线 BC 的方程为 y43(x170)， 即 4x3y6800. 由于圆 M 与直线 BC 相切， 故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r， 即 r|3d680|42326803d5. 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m， 所以 rd80，r60d80， 即 6803d5d80，6803d560d80， 解得 10d35. 故当 d10 时，r6803d5最大，即圆的面积最大 所以当|OM|10 m 时，圆形保护区的面积最大
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