1、2.52.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2 25.15.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第第 1 1 课时课时 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 课时课时对点对点练练 1直线 3x4y120 与圆(x1)2(y1)29 的位置关系是( ) A过圆心 B相切 C相离 D相交但不过圆心 答案 D 解析 圆心(1，1)到直线 3x4y120 的距离 d|314112|3242115，0dr， 所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心 2已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确
2、定 答案 B 解析 点 M(a，b)在圆 x2y21 外，a2b21. 圆心(0,0)到直线 axby1 的距离 d1a2b21r， 则直线与圆的位置关系是相交 3(多选)若直线 xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为( ) A0 B4 C2 D. 3 答案 AB 解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径 r2. 又直线被圆截得的弦长为 2 2， 所以圆心到直线的距离 d222 222 2. 又 d|a2|2， 所以|a2|2， 解得 a4 或 a0. 4已知圆 x2y29 的弦过点 P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为( ) Ay20 B
3、x2y50 C2xy0 Dx10 答案 B 解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点 P(1,2)的直径垂直已知圆心 O(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率 k20102，故所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为 y212(x1)，即 x2y50. 5直线 ykx3 被圆(x2)2(y3)24 截得的弦长为 2 3，则直线的斜率为( ) A. 3 B 3 C.33 D33 答案 D 解析 因为直线 ykx3 被圆(x2)2(y3)24 截得的弦长为 2 3， 所以圆心 C(2,3)到直线的距离 d4 321， 所以|2k33|k21|2k|k211， 解得 k33. 6一条光线
4、从点(2,3)射出，经 x 轴反射后与圆 x2y26x4y120 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A.65或56 B.45或54 C.43或34 D.32或23 答案 C 解析 点(2,3)关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为(2，3)， 圆 x2y26x4y120 的圆心为(3,2)，半径 r1. 设过点(2，3)且与已知圆相切的直线的斜率为 k， 则切线方程为 yk(x2)3，即 kxy2k30， 所以圆心(3,2)到切线的距离 d|5k5|1k2r1， 解得 k43或 k34. 7直线 l 与圆 x2y22x4ya0(a0)， 由题意，得 a12012|a4|2， 解得 a6(舍)
5、或 a2， 所以圆的半径为 r|24|2 2， 则圆 C 的标准方程为(x2)2y22. (2)若斜率不存在，则直线方程为 x1，弦心距 d1，半径为 2， 则|AB|2r2d22，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为 y3k(x1)， 即 kxyk30. 弦心距 d|k3|1k2，得|AB|22k321k22， 解得 k43，直线方程为 y43x133. 综上所述，直线 l 的方程为 x1 或 y43x133. 11已知圆 C 与直线 xy30 相切，直线 mxy10 始终平分圆 C 的面积，则圆 C 的方程为( ) Ax2y22y2 Bx2y22y2 Cx2y22y1 Dx2y22y1 答
6、案 D 解析 在直线 mxy10 的方程中， 令 x0，则 y1， 则直线 mxy10 过定点(0，1) 由于直线 mxy10 始终平分圆 C 的面积， 则点(0，1)是圆 C 的圆心， 又圆 C 与直线 xy30 相切， 则圆 C 的半径 r|13|2 2. 因此，圆 C 的方程为 x2(y1)22，即 x2y22y1. 12(多选)直线 l 过点 P(1,3)且与圆(x2)2y24 交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则直线 l的方程为( ) A4x3y130 B3x4y150 C3x4y150 Dx1 答案 AD 解析 由题意知圆心 C 的坐标为(2,0)，半径为 r2， 当直线 l
7、的斜率不存在时，即 x1，代入圆的方程可得 y23，解得 y 3， 所以弦长|AB|2 3，符合条件 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y3k(x1)， 即 kxyk30， 所以圆心到直线的距离 d|2kk3|1k2|k3|1k2， 所以由题意，可知 2 32 r2d224k31k22， 解得 k43， 所以这时直线方程为 y343(x1)， 即 4x3y130. 13若直线 2mxny2(m0，n0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则4m1n的最小值是( ) A9 B4 C.12 D.14 答案 A 解析 圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为 C(1,2
8、)，半径为 r2，直线被圆截得的弦长为 4，则圆心在直线上，所以2m2n2，mn1.又 m0，n0，所以4m1n(mn)4m1n54nmmn524nmmn9，当且仅当4nmmn，即 m23，n13时等号成立，所以4m1n的最小值是 9. 14在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形ABCD 的面积为_ 答案 10 2 解析 圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，易知点 E 在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|2 10，最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中点，且与 AC 垂直， 设点 F 为其圆心，坐标为(1,3) 故|EF| 5
9、，所以|BD|210 522 5， 则 S四边形ABCD12|AC| |BD|10 2. 15直线 yxb 与曲线 x 1y2有且只有一个交点，则 b 满足( ) A|b| 2 B1b1 或 b 2 C1b1 D非以上答案 答案 B 解析 曲线 x 1y2含有限制条件，即 x0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在 y 轴右侧(含与 y 轴的交点)的部分 在同一平面直角坐标系中，画出 yxb 与曲线 x 1y2(就是 x2y21，x0)的图象，如图所示 相切时，b 2，其他位置符合条件时需1b1. 16已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，半径为 2.且被直线 l：4x3y30 截得的
10、弦长为2 3. (1)求圆 C 的方程； (2)设 P 是直线 xy40 上的动点，过点 P 作圆 C 的切线 PA，切点为 A，证明：经过 A，P，C 三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标 解 (1)设圆心(a,0)(a0)，则圆心到直线 l：4x3y30 的距离 d|4a3|5， 由题意可得，d2( 3)222，即4a322534， 解得 a2 或 a12(舍去) 圆 C 的方程为(x2)2y24. (2)P 是直线 xy40 上一点 设 P(m，m4)， PA 为圆 C 的切线，PAAC， 即过 A，P，C 三点的圆是以 PC 为直径的圆 设圆上任一点 Q(x，y)， 则PQ CQ0， PQ(xm，ym4)，CQ(x2，y)， PQ CQ(xm)(x2)y(ym4)0， 即 x2y22x4ym(xy2)0， 令 x2y22x4y0，xy20 解得 x1，y3或 x2，y0. 经过 A，P，C 三点的圆必过定点(1，3)和(2,0)
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