1、 2021-2022 学年度学年度八年级八年级第一学期期中考试数学试题第一学期期中考试数学试题 （考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分）分） 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，在每小题所给出的四个选项中，恰分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数，可作为直角三角形三边长的是 A. 45
2、6cm cm cm、 、 B. 123cm cm cm、 C. 234cm cm cm、 、 D. 123cmcmcm、 3. 如图，兔子的三个洞口 A、B、C构成ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 4. 如图，ABCDEC，点 B，C，D在同一条直线上，且 CE2，CD4，则 BD 的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 4.5 D. 6 5. 估计77的值在（ ） A 2 到 3 之间 B. 3 到 4 之间 C. 4 到 5 之间
3、D. 5 到 6之间 6. 如图，已知O为ABC三边垂直平分线的交点，且50A ，则BOC的度数为（ ） A. 80 B. 100 C. 105 D. 120 二、 填空题 （本大题共有二、 填空题 （本大题共有 10 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 30 分， 请把答案直楼填写在答题相位置上）分， 请把答案直楼填写在答题相位置上） 7. 计算：16=_ 8. 等腰三角形有一个内角等于 80，则它的顶角等于_度 9. 如图，正方形 ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点 A 表示的数是_ 10. 在ABC中, 13ACBC, 10AB ,则ABC面积为_ 11. 在等
4、腰三角形 ABC中，A3B，则C 的度数为_. 12. 如图，RtABC中，C90 ，AD 是BAC的平分线，CD3，AB8，则ABD 的面积等于_ 13. 在一棵树5 米高 B 处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到 A 处（离树 10米）的池塘边另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米. 14. 在一个长 3.5米，宽为 1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽 AD，木块的主视图是边长 0.5 米的等边三角形，一只蚂蚁从点 A处到 C处需要走的最短路程是_米 15. 我们学习了勾股定理
5、后，都知道“勾三、股四、弦五”观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过请你根据上述的规律写出下一组勾股数：_； 16. 在ABC 中，ABAC5，BC6，若点 P 在边 AB 上移动，则 CP最小值是_ 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 题，共题，共 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）求式中 x的值： （2x1）2250 （2）已知，3xy+（x+y1）
6、20，求 y2x的平方根 18. 如图，点 E，C在线段 BF上，AD，ABDE，BCEF求证：ACDF 19. 如图，ABC 中，BC，点 D、E 在边 BC上，且 ADAE，求证：BECD 20. 如图，已知 ADAB，ACAE，DABCAE，连接 DC，BE （1）求证：BAEDAC； （2）若CAD143，D15，求E的度数 21. 如图，点 C线段 AB上，ADEB，ACBE，ADBCCF 平分DCE求证： （1） ACDBEC； （2）CFDE 22. 笔直的河流一侧有一旅游地 C，河边有两个漂流点 A，B其中 ABAC，由于某种原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，为方便游客决
7、定在河边新建一个漂流点 H（A，H，B 在同一直线上） ，并新修一条路 CH，测得 BC5千米，CH4千米，BH3千米 （1）判断BCH的形状，并说明理由； （2）求原路线 AC 的长 23. 位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎， 在景区游船放置区， 工作人员把偏离的游船从点 A拉回点B 的位置 （如图） 在离水面高度为 8m的岸上点 C， 工作人员用绳子拉船移动， 开始时绳子 AC 的长为 17m，工作人员以 0.7 米/秒的速度拉绳子，经过 10 秒后游船移动到点 D 的位置，问此时游船移动的距离 AD的长是多少？ 24. 为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播如图，小明家在
8、南街这条笔直公路 MN的一侧点 A 处， 小明家到公路 MN的距离 AB为 600 米， 假使广播车 P周围 1000 米以内能听到广播宣传，广播车 P以 400 米/分的速度在公路 MN上沿 PN 方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由 25. 定义：如图 1，点 M，N把线段 AB分割成 AM，MN和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段 AB的勾股分割点 （1）如图 1，已知点 M，N是线段 AB的勾股分割点，且线段 BN 是线段 AM、MN和 NB中最长的，若 AM
9、3cm，MN5cm，则线段 BN的长为 cm； （2）如图 2，已知点 M在线段 AB 上，且 AM5cm，BM10cm，点 N在 BM上，且 M、N是线段 AB的勾股分割点，求线段 BN的长； （3）如图 3，ABC 中，BCA90 ，ACBC，点 M、N在斜边 AB上，且MCN45 ，求证：点 M，N是线段 AB的勾股分割点 2021-2022 学年度第一学期期中考试八年级数学试题学年度第一学期期中考试八年级数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，在每小题所给出的四个选项中，恰分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项
10、是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解即可 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称
11、轴折叠后可重合 2. 下列四组数，可作为直角三角形三边长的是 A. 456cm cm cm、 、 B. 123cm cm cm、 C. 234cm cm cm、 、 D. 123cmcmcm、 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可 【详解】A、52+4262，此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误； B、12+2232，此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误； C、22+3242，此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误； D、12+（2）2=（3）2，此组数据能构成直角三角形，故本选项正确 故选：D 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角
12、形的三边长 a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 3. 如图，兔子的三个洞口 A、B、C构成ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，知猎狗应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点 【详解】解：猎狗到ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在ABC 的三条（边垂直平分线）的交点 故选 A 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练
13、掌握性质是解本题的关键 4. 如图，ABCDEC，点 B，C，D在同一条直线上，且 CE2，CD4，则 BD长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 4.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可 【详解】解：ABCDEC，CE2，CD4， BCCE2， BDBCCD426， 故选：D 【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答 5. 估计77的值在（ ） A. 2到 3 之间 B. 3到 4 之间 C. 4到 5 之间 D. 5到 6 之间 【答案】C 【解析】 【分析】直接得出 273，进而得出77的取值
14、范围 【详解】解：479 273， 372 4775 77的值在 4 和 5之间， 故选：C 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出7的范围是解题关键 6. 如图，已知O为ABC三边垂直平分线的交点，且50A ，则BOC的度数为（ ） A. 80 B. 100 C. 105 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】延长 AO交 BC于 D，根据垂直平分线的性质可得到 AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到OAB=OBA， OAC=OCA， 再由三角形的外角性质可求得BOD=OAB+OBA， COD=OAC+OCA，从而不难求得BOC 的度数 【详解】延长 AO交 BC于 D
15、 点 O在 AB 的垂直平分线上 AO=BO 同理：AO=CO OAB=OBA，OAC=OCA BOD=OAB+OBA，COD=OAC+OCA BOD=2OAB，COD=2OAC BOC=BOD+COD=2OAB+2OAC=2（OAB+OAC）=2BAC A=50 BOC=100 故选：B 【点睛】 此题主要考查：（1） 线段垂直平分线的性质： 垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 二、 填空题 （本大题共有二、 填空题 （本大题共有 10 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 30 分， 请把答案直楼
16、填写在答题相位置上）分， 请把答案直楼填写在答题相位置上） 7. 计算：16=_ 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念去解即可算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果 【详解】解：原式=24=4 故答案4 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误 8. 等腰三角形有一个内角等于 80，则它的顶角等于_度 【答案】80 或 20#20 或 80 【解析】 【分析】当等腰三角形的一个角等于 80时，分 2种情况；当等腰三角形的一个角等于 80时，等腰三角形的顶角与其相等，当等腰三角形的顶角等于 8
17、0，时，利用三角形内角和定理即可求出答案 【详解】解；当等腰三角形的一个角等于 80时，则有 2 种情况； 当等腰三角形的顶角等于 80， 当等腰三角形的底角等于 80时，则它的顶角为： （180-80-80）=20 故答案为：80或 20 【点睛】 此题主要考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，此题要采用分类讨论的思想，难度不大，属于基础题要求学生应熟练掌握 9. 如图，正方形 ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点 A 表示的数是_ 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：正方形 ODBC 中，OC=1，根据正方形的性质，BC=OC=1，BCO=90 在 RtBOC 中，根据勾股
18、定理得，OB=22112 OA=OB=2 点 A 在数轴上原点的左边，点 A 表示的数是2 10. 在ABC中, 13ACBC, 10AB ,则ABC面积为_ 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意可以判断ABC为等腰三角形，利用勾股定理求出 AB边的高，即可得到答案. 【详解】如图作出 AB 边上的高 CD AC=BC=13， AB=10， ABC是等腰三角形， AD=BD=5， 根据勾股定理 CD2=AC2-AD2， CD=22135=12， 12ABCSCD ABV=112 102=60， 故答案为：60. 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理，关键是判断三角形的形状，利用
19、勾股定理求出三角形的高. 11. 在等腰三角形 ABC中，A3B，则C 的度数为_. 【答案】5407或36 【解析】 【分析】设Bx ，则A3x ，根据A是顶角或底角两种情况分类讨论，列出方程求解即可 【详解】解：设Bx ，则A3x ， 当A是顶角时，A2B180 ， 即：5x180， 解得：x36， 此时CB36 ； 当A是底角时，2AB180 ， 即 7x180， 解得：x1807， 此时C3B5407， 综上所述，C的度数为5407或36 故答案为：5407或36 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质， 能够根据这个角是底角还是顶角进行分类讨论是解答本题的关键 12. 如图，RtABC
20、中，C90 ，AD 是BAC平分线，CD3，AB8，则ABD 的面积等于_ 【答案】12 【解析】 【分析】过 D 作 DEAB于 E，由角平分线的性质，即可求得 DE的长，继而求得三角形面积 【详解】解：如图，过 D作 DEAB于 E， AD平分BAC，C=90 ， DE=DC=3， AB=8， ABD的面积=12ABDE=12 8 3=12 故答案为：12 【点睛】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出 DE=CD 是解题的关键，注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等 13. 在一棵树的 5米高 B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到 A处（离树 10米）的池塘边
21、另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米. 【答案】7.5 【解析】 【分析】由题意知 ADDBBCCA，设 BDx，则 AD15x，且在直角ACD 中222CDCAAD，代入勾股定理公式中即可求 x的值，树高 CD(5x)米即可 【详解】解：由题意知 ADDBBCCA，且 CA10 米，BC5米， 设 BDx，则 AD15x， 在 RtACD中，由勾股定理可得：CD2CA2AD2， 即22215510 xx ， 解得 x2.5 米，故树高为 CD5x7.5（米） ， 答：树高为 7.5 米 故答案为：7.5 【点睛】本题考查了勾股定理
22、在实际生活中的应用，本题中找到 ADDBBCCA 的等量关系，并根据勾股定理222CDCAAD列方程求解是解题的关键 14. 在一个长 3.5米，宽为 1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽 AD，木块的主视图是边长 0.5 米的等边三角形，一只蚂蚁从点 A处到 C处需要走的最短路程是_米 【答案】17 【解析】 【分析】 如图， 将木块展开， 相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， 长方形的长为 3.5+0.5=4米，因为长方形的宽为1米， 一只蚂蚁从点 A处到C处需要走的最短路程是对角线AC， 利用勾股定理求解即可 【详解】解：如图，将木块展开，
23、相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， 长方形的长为 3.5+0.5=4米， Q长方形的宽为 1 米， 一只蚂蚁从点 A处到 C处需要走的最短路程是对角线 AC， 22224117ACABBC米， 故答案为：17 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，难度一般，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键 15. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五” 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过请你根据上述的规律写出下一组勾股数：_； 【答案】11、60、61 【解析】 【分析】根据所提供的数据
24、发现股21=2勾 ，弦2+1=2勾，即可解答 【详解】根据已知可得，下一组勾股数为：11、60、61 故答案为：11、60、61 【点睛】本题考查勾股数之间的关系，属于规律性题根据题意找出所给勾股数之间的关系是解答本题的关键 16. 在ABC 中，ABAC5，BC6，若点 P 在边 AB 上移动，则 CP 的最小值是_ 【答案】4.8 【解析】 【分析】作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长 【详解】解：如图，作 AFBC于点 F，作 CPAB于点 P， 根据题意得此时 CP的值最小； 解：作 BC边上的高
25、 AF， ABAC5，BC6， BFCF3， 由勾股定理得：AF4， SABC12ABPC12BCAF12 5CP12 6 4 得：CP4.8 故答案为 4.8 【点睛】此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知勾股定理及三角形的面积公式的运用. 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 题，共题，共 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）求式中 x的值： （2x1）2250 （2）已知，3xy+（x+y1）20，求 y2x的平方根 【答案
26、】 （1）x=3或-2； （2）2 【解析】 【分析】 （1）移项，在开平方，即可得出答案； （2）结合题意根据非负数的性质，可知30 xy且10 xy ，解出 x、y，即可求出2yx的值，再求出其平方根即可 【详解】解： （1）2(21)250 x 215x 3x 或2x； （2）根据题意可知：3010 xyxy ， 解得：12xy 222 ( 1)4yx ， 2yx的平方根即 4 的平方根为2 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，非负数的性质，平方根熟练掌握各知识点是解答本题的关键 18. 如图，点 E，C在线段 BF上，AD，ABDE，BCEF求证：ACDF 【答案】见解析 【解析
27、】 【分析】结合题意由平行线的性质证明ABCDEF，从而可利用“AAS”证明ABCDEF，即得出 ACDF 【详解】证明：ABED， ABCDEF 在ABC与DEF 中，ADBDEFBCEF ABCDEF（AAS） ACDF 【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键 19. 如图，ABC 中，BC，点 D、E 在边 BC上，且 ADAE，求证：BECD 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质得出BDACEA， 进而利用全等三角形的判定方法 AAS 即可得出ABDACE，则结论可得出 【详解】证明：ADAE， ADEAED，
28、BDACEA， 在ABD和ACE中 BCBDACEAADAE ABDACE（AAS） BDCE， BDDECEDE，即 BECD 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据等边对等角的性质得到三角形全等的条件是解题的关键 20. 如图，已知 ADAB，ACAE，DABCAE，连接 DC，BE （1）求证：BAEDAC； （2）若CAD143，D15，求E的度数 【答案】 （1）见解析； （2）E22 【解析】 【分析】 （1）根据题意由DABBACCAEBAC，可得DACBAE，借助 SAS即可求证； （2）由BAEDAC，可得EC，再由内角和为 180 即可求解 【详解】 （1）证明：D
29、ABCAE， DABBACCAEBAC， DACBAE， 又ADAB，ACAE， BAEDAC （SAS） ； （2）解：BAEDAC， EC， CAD143 ，D15 ， C180 （CADD）22 ， E22 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和等量加等量和相等是解决问题的关键 21. 如图，点 C在线段 AB上，ADEB，ACBE，ADBCCF 平分DCE求证： （1）ACDBEC； （2）CFDE 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据平行线性质求出AB ，根据SAS推出即可 （2）根据全等三角形性质推出CDCE，
30、根据等腰三角形性质求出即可 【详解】证明： （1）/ADBEQ， AB ， 在ACD和BEC中 ADBCABACBE ()ACDBEC SAS ， （2）ACDBEC Q， CDCE， 又CFQ平分DCE， CFDE 【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等 22. 笔直河流一侧有一旅游地 C，河边有两个漂流点 A，B其中 ABAC，由于某种原因，由 C到 A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点 H（A，H，B 在同一直线上） ，并新修
31、一条路 CH，测得 BC5千米，CH4千米，BH3千米 （1）判断BCH的形状，并说明理由； （2）求原路线 AC 的长 【答案】 （1）直角三角形，理由见解析； （2）原来的路线 AC的长为256千米 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可 【详解】解： （1）HBC是直角三角形， 理由是：在CHB中， CH2+BH2=42+32=25， BC2=25， CH2+BH2=BC2， HBC是直角三角形且CHB=90 ； （2）设 AC=AB=x 千米，则 AH=AB-BH=（x-3）千米， 在 RtACH 中，由已知得 AC=x，AH=x-3，CH
32、=4， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2， x2=（x-3）2+42， 解这个方程，得 x=256， 答：原来的路线 AC的长为256千米 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理 23. 位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎， 在景区游船放置区， 工作人员把偏离的游船从点 A拉回点B 的位置 （如图） 在离水面高度为 8m的岸上点 C， 工作人员用绳子拉船移动， 开始时绳子 AC 的长为 17m，工作人员以 0.7 米/秒的速度拉绳子，经过 10 秒后游船移动到点 D 的位置，问此时游船移动的距离 AD的长是多少？ 【答案】游船移动的距离 AD 的长是
33、 9米 【解析】 【分析】根据条件先计算经过 10 秒拉回绳子的长，然后计算出绳子 CD 的长，在Rt BCDV中22BDCDBC，在Rt ABCV中，22ABACBC，即可求出最终结果 【详解】解：Q工作人员以 0.7米/秒的速度拉绳子， 经过 10秒拉回绳子10 0.7=7米， Q开始时绳子 AC的长为 17m， 拉了 10秒后，绳子 CD长为 17-7=10 米， 在Rt BCDV中， 22221086BDCDBC米， Q在Rt ABCV中， 222217815ABACBC米， AD=15-6=9 米， 答：游船移动的距离 AD的长是 9米 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，属于综合题
34、，难度一般，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键 24. 为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播如图，小明家在南街这条笔直公路 MN的一侧点 A 处， 小明家到公路 MN的距离 AB为 600 米， 假使广播车 P周围 1000 米以内能听到广播宣传，广播车 P以 400 米/分的速度在公路 MN上沿 PN 方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由 【答案】能听到宣传，理由见解析；总共能听到 4分钟的宣传 【解析】 【分析】根据小明 A到公路 MN 的距离为 600米1000米，可以判断能否听到；根据勾股
35、定理得到 BPBQ800 米，求得 PQ1600米，于是根据路程除以速度等于时间得到结论 【详解】解：小明能听到宣传， 理由：A 到公路 MN 的距离为 600 米1000米， 小明能听到宣传； 如图：假设当宣讲车行驶到 P 点开始影响点 A，行驶 Q 点结束对村庄的影响， 则 APAQ1000米，AB600 米， BPBQ221000600800（米） ， PQ1600 米， 影响点 A的时间为：1600 4004（分钟） ， 答：他总共能听到 4 分钟的宣传 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际构造直角三角形是解题的关键 25. 定义：如图 1，点 M，N把线段 AB分割成
36、 AM，MN和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段 AB的勾股分割点 （1）如图 1，已知点 M，N是线段 AB的勾股分割点，且线段 BN 是线段 AM、MN和 NB中最长的，若 AM3cm，MN5cm，则线段 BN的长为 cm； （2）如图 2，已知点 M在线段 AB 上，且 AM5cm，BM10cm，点 N在 BM上，且 M、N是线段 AB的勾股分割点，求线段 BN的长； （3）如图 3，ABC 中，BCA90 ，ACBC，点 M、N在斜边 AB上，且MCN45 ，求证：点 M，N是线段 AB的勾股分割点 【答案】 （1）34cm； （2）BN
37、长为154或254； （3）点 M，N是线段 AB的勾股分割点，见解析 【解析】 【分析】 （1）由勾股分割点的定义知 BN=22MNAM，代入计算可得； （2）分两种情况：BN 最长和 MN最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）如图，过点 A作 ADAB，且 AD=BN只要证明ADCBNC，推出 CD=CN，ACD=BCN，再证明MDCMNC，可得 MD=MN，由此即可解决问题 【详解】解： （1）根据题意知 BN2234MNAM（cm） ， （2）当 BN最长时，BN2MN2+AM2， 设 BNx，MN10 x， 则 x252+（10 x）2， 解得：x254，即 BN254； 当 MN 最长时，MN2AM2+BN2， 设 BNy，MN8y， 则（10y）252+y2， 解得：y154，即 BN154； （3）如图，过点 A 作 ADAB，且 ADBN， ADBN，DACB45 ，ACBC， ADCBNC， CDCN，ACDBCN， MCN45 ， DCA+ACMACM+BCN45 MCDNCM， MDCMNC（SAS） ，MDMN， 在 RtMDA中，AD2+AM2DM2，BN2+AM2MN2， 点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
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