1、2021-2022 学年广东省广州市花都区九年级第一学期期中数学试卷学年广东省广州市花都区九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于 x的一元二次方程 2x24x10的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 2，4 B. 2，1 C. 2，4 D. 2，4 3. 将抛物线 y2x2向左平移 1 个单位长度， 再向下平移 2 个单位长度， 所得到的抛物线解析式为 （ ） A. y2（x1）22 B. y2（x+1）22 C. y2（
2、x1）2+2 D. y2（x+1）2+2 4. 一元二次方程 x26x5配方后可变形为（ ） A. （x3）24 B. （x+3）24 C. （x3）213 D. （x+3）213 5. 抛物线 y（x+1）2+2上两点（0，a） 、 （1，b） ，则 a、b 的大小关系是（ ） A. ab B. ba C ab D. 无法比较大小 6. 如图， 将AOB绕着点 O顺时针旋转， 得到COD， 若AOB40 ， BOC25 ， 则旋转角度是 （ ） A. 25 B. 15 C. 65 D. 40 7. 由二次函数22(3)1yx，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 x
3、=-3 C. 其最小值为 1 D. 当 x3 时，y 随 x 的增大而增大 8. 参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了 45 份合同，如果参加这次交易会的公司共有 x 家，则根据题意列出的方程是（ ） A. x（x1）45 B. 12x（x1）45 C. x（x+1）45 D. 12x（x+1）45 9. 在同一坐标系中，一次函数 y=ax+2 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt AOBV，ABO90 ，AOB30 ，直角边 OB在 y 轴正半轴上，点 A 在第一象限，且 OA
4、1，将Rt AOBV绕原点逆时针旋转 30 ，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA12OA） 得到11Rt OABV，同理，将11Rt OABV绕原点 O 逆时针旋转 30 ，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到22RtOA B，依此规律，得到20212021RtOAB，则2021OB的长度为（ ） A. 32 B. 3 22020 C. 3 22021 D. 3 22019 二、填空题二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是_ 12. 如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象，图象过点 A(3，0)对称轴为直线 x1，求另一个与 x轴的交点坐标是_
5、13. 如图所示，在正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，VAOE 绕点 O 逆时针旋转 90 后与VBOF 重合，AB2，则四边形 BEOF面积_ 14. 若抛物线 yx26x+m与 x轴有两个公共点，则 m的取值范围是_ 15. 已知m是关于x的方程2250 xx的一个根，则236mm_ 16. 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x轴交于点 A(3，0)、B(1，0)，则下列结论：abc0，b2a0，8a+c0，a+bn（an+b） （n1） 其中正确的有_ 三、解答题三、解答题 17. 解方程：x2+2x+14 18. 如图，在 RtVABC中，
6、ACB90 ，VEDC是VABC 绕着点 C顺时针方向旋转 90 得到的，若 AB5，AC4，求 BE 的长 19. 如图， 平面直角坐标系内， 小正方形网格的边长为 1个单位长度，VABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，5)，B(1，1)，C(4，3) （1）画出VABC关于原点 O成中心对称的图形VA1B1C1 （2）求VA1B1C1的面积 20. 已知关于 x方程 x2+2mx+m210 不解方程，判别方程根的情况； 若方程有一个根为1，求 m值 21. 如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为直线 x1，根据图象完成下列问题： （1）请补充完整二次函数对称轴直
7、线 x1 左边的函数图象 （2）请写出三个正确结论 22. 某农场要建一个面积为 80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙 AB长为 15m） ，另外三边用木栏围成，木栏总长 26m，求养鸡场 CD 边和 DE 边的长分别是多少？设养鸡场 CD边的长为 xm （1）填空：养鸡场 DE边的长为 m（用含 x的代数式表示） ； （2）请你列出方程，求出问题的解 23. 在国庆期间， 大润发商场新上市了一款童装， 进价每件 60元， 现以每件 100元销售， 每天可售出 20 件 在试销售阶段发现，若每件童装降价 1 元，那么每天就可多售 2 件，设每件童装单价降价了 x 元 （1）若销售单价降低
8、 5 元，则该款童装每天的销售量为 件，每天利润是 元； （2）请写出每天销售该款童装的利润 y（元）与每件童装降价 x（元）之间的函数关系式； （3）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 24. 如图 1，在VABC中，CACB，ACB90 ，D是VABC内部一点，ADC135 ，将线段 CD绕点 C逆时针旋转 90 ，得到线段 CE，连接 DE （1）求CDE 的度数，并说明 A、D、E 三点是否共线； （2）在（1）的条件下，连接 BE，如图 2，过点 C作 CMDE 于点 M，请判断线段 AE，CM和 BE之间的数量关系，并说明理由 25. 如图，
9、直线 y12x+2与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A(1，0) （1）求 B、C 两点的坐标； （2）求该二次函数的解析式； （3） 若抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D， 则在抛物线的对称轴上是否存在一点 N， 使VNCD为等腰三角形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由 2021-2022 学年广东省广州市花都区九年级第一学期期中数学试卷学年广东省广州市花都区九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ） A.
10、B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 把一个图形绕某一点旋转 180 后与自身重合， 那么这个图形就叫做中心对称图形 据此判断即可 【详解】A是中心对称图形，故本选项符合题意； B不是中心对称图形，故本选项不合题意； C不是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：A 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是关键 2. 关于 x的一元二次方程 2x24x10的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 2，4 B. 2，1 C. 2，4 D. 2，4 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数和一次项系
11、数的定义求解即可一元二次方程：只含有一个未知数（一元） ，并且未知数项的最高次数是 2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程经过整理都可化成一般形式200 axbxca，其中2ax是二次项，a 是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 2x24x10的二次项系数和一次项系数分别 2和4， 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数（一元） ，并且未知数项的最高次数是 2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程经过整理都可化成一般形式200 axbxca，其
12、中2ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项 3. 将抛物线 y2x2向左平移 1 个单位长度， 再向下平移 2 个单位长度， 所得到的抛物线解析式为 （ ） A. y2（x1）22 B. y2（x+1）22 C. y2（x1）2+2 D. y2（x+1）2+2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【详解】解：将抛物线 y2x2向左平移 1 个单位所得直线解析式为：y2（x+1）2； 再向下平移 2个单位为：y2（x+1）22， 即 y2（x+1）22 故选：B 【点睛】 此题考查了二次函数的平移， 解题的
13、关键是熟练掌握二次函数的平移规律 二次函数的平移规律：左加右减、上加下减 4. 一元二次方程 x26x5配方后可变形为（ ） A. （x3）24 B. （x+3）24 C. （x3）213 D. （x+3）213 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式配方，再得出选项即可 【详解】解：x26x5， 配方得：x26x+95+9， （x3）24， 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用配方法进行一元二次方程变形 5. 抛物线 y（x+1）2+2上两点（0，a） 、 （1，b） ，则 a、b 的大小关系是（ ） A. ab B. ba C. ab D. 无法比较大小
14、 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线解析式，判断开口方向和对称轴，然后比较 a，b 的大小即可. 【详解】解：抛物线 y（x+1）2+2 开口向上，对称轴直线 x1， 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大， 点（1，b）在对称轴上， ab， 故选 A 【点睛】 本题是对抛物线解析式得考查， 熟练掌握抛物线对称轴和开口方向是解决本题的关键， 也可算出 a，b 的值来比较大小. 6. 如图， 将AOB绕着点 O顺时针旋转， 得到COD， 若AOB40 ， BOC25 ， 则旋转角度是 （ ） A. 25 B. 15 C. 65 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形旋转
15、的性质进行选择即可. 【详解】根据图形旋转变换的性质，旋转图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，因为点 A 的对应点为 C，所以旋转角=AOB+BOC=40 +25 =65 ，故答案选 C. 【点睛】本题考查的是图形的旋转变换，了解什么是旋转角是解题的关键. 7. 由二次函数22(3)1yx，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 x=-3 C. 其最小值为 1 D. 当 x3 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可 【详解】解：由二次函数22(3)
16、1yx，可知： A0aQ，其图象的开口向上，故此选项错误； BQ其图象的对称轴为直线3x ，故此选项错误； C其最小值为 1，故此选项正确； D当3x时，y随x的增大而减小，故此选项错误 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识 8. 参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了 45 份合同，如果参加这次交易会的公司共有 x 家，则根据题意列出的方程是（ ） A. x（x1）45 B. 12x（x1）45 C. x（x+1）45 D. 12x（x+1）45 【答案】B 【解析】 【分析】利用所
17、有公司共签订合同的数量参加这次交易会的公司的数量 （参加这次交易会的公司的数量1） 2，即可得出关于 x的一元二次方程 【详解】解：设参加这次交易会的公司共有 x 家， 依题意得：12 x（x1）45 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系 9. 在同一坐标系中，一次函数 y=ax+2 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当 a0 时，二次函数开口向上，顶点在y 轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当 a0 时，二次函数开口向上，顶点
18、在 y 轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限符合条件的只有选项 C，故答案选 C 考点：二次函数和一次函数的图象及性质 10. 如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt AOBV，ABO90 ，AOB30 ，直角边 OB在 y 轴正半轴上，点 A 在第一象限，且 OA1，将Rt AOBV绕原点逆时针旋转 30 ，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA12OA） 得到11Rt OABV，同理，将11Rt OABV绕原点 O 逆时针旋转 30 ，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到22RtOA B，依此规律，得到20212021RtOAB，则2021OB的长度为（ ） A. 32 B. 3 22020 C
19、. 3 22021 D. 3 22019 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的定义求出 OB，根据题意求出 OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可 【详解】解：在Rt AOBV中，30AOB，1OA， 32OBOA cos AOB， 由题意得，13222OBOB ， 2212232OBOB， 3323222OBOB ， 11322322nnnnOBOB， 202020213 2OB 故选：B 【点睛】本题考查是坐标与旋转规律问题、锐角三角函数，正确得到图形的变化规律是解题的关键 二、填空题二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是_ 【答案】 （2，3
20、） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【详解】点（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3） 故答案为： （2，3） 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数 12. 如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象，图象过点 A(3，0)对称轴为直线 x1，求另一个与 x轴的交点坐标是_ 【答案】(1，0) 【解析】 【分析】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到二次函数与 x 轴的另一个交点的坐标，本题得以解决 【详解】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象过点（3，0） ，对称轴为直线 x1
21、， （3，0）到对称轴的距离是1（3）=2， 二次函数与 x轴的另一个交点到对称轴的距离也是 2，且在对称轴的右侧， 二次函数与 x 轴的另一个交点的横坐标为1+21， 二次函数与 x 轴的另一个交点的坐标为（1，0） ， 故答案为： （1，0） 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确抛物线与与 x 轴的两个交点关于对称轴对称 13. 如图所示，在正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，VAOE 绕点 O 逆时针旋转 90 后与VBOF 重合，AB2，则四边形 BEOF面积是_ 【答案】1 【解析】 【分析】由旋转的性质可得 SAOESBOF，可得四边形 BEOF 面积SA
22、OB，即可求解 【详解】解：AOE绕点 O 逆时针旋转 90 后与BOF重合， AOEBOF， SAOESBOF， 四边形 BEOF 面积SAOB14S正方形ABCD14 221， 故答案为：1 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 14. 若抛物线 yx26x+m与 x轴有两个公共点，则 m取值范围是_ 【答案】m9 【解析】 【分析】根据抛物线 yx26x+m 与 x 轴有两个公共点，可知 b24ac0，从而可以求得 m 的取值范围 【详解】解：抛物线 yx26x+m 与 x 轴有两个公共点， 24bac （6）24m0， 解得：m9， 故答案为：m9 【
23、点睛】此题考查了二次函数与 x轴的交点问题，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数与 x轴的交点个数和判别式的关系抛物线与 x轴交点个数由 决定：当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；当 b24ac0时，抛物线与 x轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x轴没有交点 15. 已知m是关于x的方程2250 xx的一个根，则236mm_ 【答案】15 【解析】 【分析】求代数式的值，用整体代入即可 【详解】m是一元二次方程 x2 2x5=0 的一个根， m2-2m-5=0 m2-2m=5 3m26m=15 故答案为：15 【点睛】本题考查了整体代入的方法，做题的关键是求出
24、m2-2m=5，计算即可 16. 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x轴交于点 A(3，0)、B(1，0)，则下列结论：abc0，b2a0，8a+c0，a+bn（an+b） （n1） 其中正确的有_ 【答案】# 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与 y轴的交点即可判断；由对称轴可得 b+2a0，即可得出 b2a4a0，即可判断；根据 x3 时的函数值以及 b2a，即可判断；由当 x1 时，函数有最大值即可判断 【详解】抛物线开口向下， a0， 抛物线与 x轴交于点 A（3，0） 、B（1，0） ， 对称轴为直线 x132 1， 2ba1， b2a0
25、， 与 y 轴的交点在正半轴上， c0， abc0，故错误； 2ba1， b+2a0，得 b2a， 所以 b2a2a2a4a， a0， 4a0，故正确； 点 A（3，0） ， 9a+3b+c0， b2a， 3a+c0， c=3a a0， 8a+c=5a0，故错误； 顶点的横坐标为 1， 当 x1时，函数有最大值 a+b+c， 当 n1 时，a+b+can2+bn+c， a+ban2+bnn（an+b） ，故正确， 综上所述，结论正确的是 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键 三、解答题三、解答题 17. 解方程：x2+2x+14
26、 【答案】x1或 x3 【解析】 【分析】根据配方法解方程的步骤计算可得 【详解】解：x2+2x+14， （x+1）24， 则 x+12 或 x+12， 解得：x1 或 x3 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 18. 如图，在 RtVABC中，ACB90 ，VEDC是VABC 绕着点 C顺时针方向旋转 90 得到的，若 AB5，AC4，求 BE 的长 【答案】7 【解析】 【分析】由勾股定理可得 BC3，由旋转的性质可得 CEAC4，ACBDCE90 ，即可求解 【详解】ACB90 ，AB
27、5，AC4， BC22ABAC25 163， EDC是ABC绕着点 C顺时针方向旋转 90 得到的， CEAC4，ACBDCE90 ， ACB+ACE180 ， 点 B，点 C，点 E三点共线， BEBC+CE7 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是关键 19. 如图， 平面直角坐标系内， 小正方形网格的边长为 1个单位长度，VABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，5)，B(1，1)，C(4，3) （1）画出VABC关于原点 O成中心对称的图形VA1B1C1 （2）求VA1B1C1的面积 【答案】 （1）见解析； （2）5 【解析】 【分析】 （1）利用中心对称的性
28、质分别作出 A，B，C的对应点 A1，B1，C1即可； （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积求解即可 【详解】解： （1）如图，A1B1C1即所求； （2）1 1 1A B CS3 412 1 412 2 212 2 35 【点睛】此题考查了中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法 20. 已知关于 x 的方程 x2+2mx+m210 不解方程，判别方程根的情况； 若方程有一个根为1，求 m 的值 【答案】此方程有两个不相等的实数根；m0或 m2 【解析】 【分析】根据判别式（2m）24 1 （m21）
29、4m24m2+440可得答案； 将 x1 代入方程求解即可 【详解】解：（2m）24 1 （m21）4m24m2+440， 此方程有两个不相等的实数根； 将 x1 代入方程，得：12m+m210， 整理，得：m22m0， 解得 m0或 m2 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根也考查了方程的解和解方程的能力 21. 如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为直线 x1，根据图象完成下列问题
30、： （1）请补充完整二次函数对称轴直线 x1 左边的函数图象 （2）请写出三个正确的结论 【答案】 （1）见解析； （2）抛物线的对称轴为 x1；顶点坐标为(1，2)；a0 【解析】 【分析】 （1）根据图象特点补全图象即可； （2）根据图象信息写出答案 【详解】解： （1）对称轴为直线 x1，抛物线过点（2，1） ， 抛物线过点（0，1） ， 如图所示： （2）抛物线的对称轴为 x1； 顶点坐标为（1，2） ； a0 【点睛】本题考查二次函数的性质，根据函数的性质补全图象是解题关键 22. 某农场要建一个面积为 80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙 AB长为 15m） ，另外三边用木栏
31、围成，木栏总长 26m，求养鸡场 CD 边和 DE 边的长分别是多少？设养鸡场 CD边的长为 xm （1）填空：养鸡场 DE边的长为 m（用含 x的代数式表示） ； （2）请你列出方程，求出问题的解 【答案】 （1） （262x） ； （2）养鸡场 CD边和 DE边的长分别为 8m，10m 【解析】 【分析】根据题意表示出矩形的长与宽，进而利用面积为 80m2，得出等式求出答案 【详解】解： （1）设 CDxm，则 DE（262x）m， 故答案是： （262x） ； （2）根据题意可得： x（262x）80， 解得：x15，x28 因为 262x15，所以 2x11，故 x5.5 所以 x8，
32、 则 DE261610 答：养鸡场 CD边和 DE边的长分别为 8m，10m 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出矩形的长与宽是解题关键 23. 在国庆期间， 大润发商场新上市了一款童装， 进价每件 60元， 现以每件 100元销售， 每天可售出 20 件 在试销售阶段发现，若每件童装降价 1 元，那么每天就可多售 2 件，设每件童装单价降价了 x 元 （1）若销售单价降低 5 元，则该款童装每天的销售量为 件，每天利润是 元； （2）请写出每天销售该款童装的利润 y（元）与每件童装降价 x（元）之间的函数关系式； （3）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？
33、最大利润是多少元？ 【答案】 （1）30，1050； （2）y2x2+60 x+800； （3）当每件童装销售单价定为 85 元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是 1250 元 【解析】 【分析】 （1）根据每件童装降价 1 元，那么每天就可多售 2 件，当销售单价降低 5元时，销售量增加 10件，则销售量为 20+1030 件；利润为（100605） 301050件； （2）根据利润单件利润 销售量列函数关系式； （3）根据（2）的函数解析式，由二次函数的性质求函数最值 【详解】解： （1）以每件 100 元销售，每天可售出 20 件，若每件童装降价 1 元，那么每天就可多售 2件， 销
34、售单价降低 5元，则该款童装每天的销售量为 20+5 230（件） ， 每天的利润为： （100560） 301050（元） ， 故答案为：30，1050； （2）由题意，得 y（10060 x） （20+2x）（40 x） （20+2x）2x2+60 x+800， y与 x的函数关系式为 y2x2+60 x+800； （3）由（2）知：y2x2+60 x+8002（x15）2+1250， 20， 当 x15 时，y有最大值，最大值为 1250， 此时 1001585（元） ， 当每件童装销售单价定为 85 元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是 1250元 【点睛】本题考查二次函数的应用，
35、关键是根据等量关系列出函数解析式 24. 如图 1，在VABC中，CACB，ACB90 ，D是VABC内部一点，ADC135 ，将线段 CD绕点 C逆时针旋转 90 ，得到线段 CE，连接 DE （1）求CDE 的度数，并说明 A、D、E 三点是否共线； （2）在（1）的条件下，连接 BE，如图 2，过点 C作 CMDE 于点 M，请判断线段 AE，CM和 BE之间的数量关系，并说明理由 【答案】 （1）CDE45 ，A、D、E 三点共线； （2）AEBE+2CM，见解析 【解析】 【分析】 （1）由旋转的性质可得 CDCE，DCE90 ，可求解； （2）由“SAS”可证ACDBCE，可得 B
36、EAD，由等腰直角三角形的性质可得 DE2CM，即可求解 【详解】解： （1）将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90 ， CDCE，DCE90 ， CDE45 ， ADC135 ， ADC+CDE180 ， A、D、E 三点共线； （2）AEBE+2CM，理由如下： ACBDCE90 ， ACDBCE， 在ACD和BCE 中， ACBCACDBCECDCE， ACDBCE（SAS） ， BEAD， CDCE，DCE90 ，CMDE， DE2CM， AEAD+DEBE+2CM 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解题的关键 25.
37、 如图，直线 y12x+2与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A(1，0) （1）求 B、C 两点的坐标； （2）求该二次函数的解析式； （3） 若抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D， 则在抛物线的对称轴上是否存在一点 N， 使VNCD为等腰三角形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由 【 答 案 】（ 1 ） B(4 ， 0) ， C(0 ， 2) ；（ 2 ）213222yxx ；（ 3 ） 存 在 ，12343 53533 25( , ),( ,),( ,4),( ,),2 22222 16NNNN 【解析】 【分析】 （1）令直线 y
38、12x+2的 x0，y0，求出对应的 y 和 x 的值，得到点 C、B的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点 A、B、C 的坐标求出解析式； （3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点 P 的坐标 【详解】 （1）对直线 y12x+2，当 x0时，y2；y0时，x4， B（4，0） ，C（0，2） （2）设二次函数为 ya（xm） （xn） （a0） ， 二次函数图象经过 B（4，0） ，A（1，0） ， ya（x4） （x+1） ， 把点 C（0，2）代入 ya（x4） （x+1）得： a（04） （0+1）2， 解得：a12， y12（x
39、4） （x+1）12x2+32x+2 （3）存在，理由如下： 二次函数图象经过 B（4，0） ，A（1，0） ， 对称轴为直线 x32， D（32，0） ， C（0，2） ， CD52， 如图 1，当 DCDN 时，DN52， N1（32，52） ，N2（32，52） ， 如图 2，当 CDCN3时，过点 C 作 CHDN3于点 H， CDCN3，CHDN3， DHN3H， C（0，2） ， DH2， N3H2， N3D4， N3（32，4） ， 如图 3，当 N4CDN4时，过点 C 作 CEDN4于点 E， 设 DN4t，则 EN42t，CE32， 由勾股定理可知， （2t）2+（32）2t2， 解得 t2516 N4（32，2516） ， 综上所述：存在12343 53533 25( , ),( ,),( ,4),( ,),2 22222 16NNNN，使NCD是等腰三角形 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，用到了分类讨论思想
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