1、2021-2022 学年福建省福州市连江县九年级（上）期中数学试卷学年福建省福州市连江县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中的角是圆周角的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 yx2+3的对称轴是（ ） A. x 轴 B. y轴 C. 直线 yx D. 直线 yx 4. 如图，O 是ABC外接圆，
2、BOC100，则A 的度数为（ ） A. 40 B. 50 C. 80 D. 100 5. 在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ） A. 10 x B. 20 xx C. 210 x D. 210 x 6. 若二次函数 yax2+bx+a23（a、b 为常数）的图象如图所示，则 a的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 7. 参加一次聚会每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（ ） A. (1)10 x x B. (1)10 x x C. 1(1)102x x D. 1(1)102x x 8. 已
3、知（1，y1） ，B（2，y2） ， （4，y3）是抛物线 y2x2+8x1 上的点，则下列结论正确的是（ ） A. y1y2y3 B. y3y2y1 C. y3y1y2 D. y2y1y3 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线 ymx2+mx（m0）向下平移 1 个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知两直角重合两块直角三角板，其中DCEACB90，ABC30，DEC45，ACDC2 若将DEC绕着点 C顺时针旋转 60后， 点 D 恰好落在 AB边上， DE 与 BC 交于 F， 如图所示，则CEF的面积为（
4、） A. 33 B. 3 C. 2 D. 32 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4分，满分分，满分 24 分请在答题卡的相应位置作答）分请在答题卡的相应位置作答） 11. 平面直角坐标系中，点 P（1，3）关于原点对称的点的坐标是_ 12. 点 A(0，3)，点 B(4，0)，则点 O(0，0)在以 AB为直径圆_（填内、上或外） 13. 若一元二次方程（x3）216 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x34，则另一个一元一次方程是 _ 14. 某校图书馆利用节假日面向社会开放据统计，第一个月进馆 500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆 720人
5、次，设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为 x，则可列方程为 _ 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加_m. 16. 下列关于二次函数22()1yxmm （m为常数）的结论，该函数的图象与函数2yx 的图象形状相同；该函数的图象一定经过点(0,1)；当0 x时，y随 x 的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数21yx的图像上，其中所有正确的结论序号是_ 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 解方程：x26x+5
6、0 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m1）xm0求证：方程总有两个实数根 19. 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图像如图所示，根据图像回答下列问题： （1）观察图像，当 y随 x的增大而减小时，自变量 x 的取值范围为 ； （2）一元二次方程 ax2+bx+c0的两个根为 ； （3）观察图像，当函数值小于 0 时，自变量 x 的取值范围为 20. 如图，O 与矩形 ABCD 的 BC边相切于 M 点，与 AD 边相交于点 E，F，若 EFCD4cm，求O的半径 21. 如图，在ABC中，ACB90，AC4，BC6 （1）尺规作图：将ABC绕 BC中点 O旋转 180，得到
7、ABC； （保留作图痕迹，不写作法） （2）求点 A与点 A之间的距离 22. 如图，AB 是O 的直径，点 F是ABC 的内心，连接 CF并延长交O于 D，连接 BD并延长至 E，使得 BDDE，连接 AE （1）求证：FDBD； （2）求证：AE是O的切线 23. 某校九年级一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况， 下面是调査后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为 12 元/件 小佳：该商品定价为 20 元时，每天可售 240件 小欣：在定价为 20 元的基础上，每涨价 1 元，每天少售 10件 根据他们的对话，解决下列问题： （1）若销售该商
8、品每天能获利 2470 元，则该商品的定价应为多少？ （2）设每天销售该商品的利润为 W元，且每件商品销售单价不高于 26 元，求该商品的销售单价定为多少元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是多少？ 24. 如图 1，在平面直角坐标系中，A（3，0） ，B（0，3） ，将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 （0360）得到 RtDCB （1）求 AB的长； （2）当旋转角 20时，如图 1，AB 与 CD交于点 F，求BFC 的度数； （3）当旋转角 60时，如图 2，连接 OD，求 OD的长 25. 在平面直角坐标系中，抛物线 yax24ax+2a1（a0）与平行于 x轴的一条直线交与 A
9、，B 两点 （1）若抛物线的图象过（0，1） ，求 a的值； （2）若点 A的坐标为（1，3） ，求点 B的坐标； （3）若直线 AB与抛物线的对称轴交于点 N，与 y 轴交点的纵坐标为1，且抛物线的顶点 M到点 N的距离为 3，求抛物线的解析式 2021-2022 学年福建省福州市连江县九年级（上）期中数学试卷学年福建省福州市连江县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不
10、是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，即一个图形的一部分沿某条直线对折能与另一部分重合，及中心对称图形的定义，即一个图形绕某点旋转 180 后能与原图形重合，进行判断即可 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、不轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，明确轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键 2. 下列图形中的角
11、是圆周角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角 故选：A 【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题 3. 抛物线 yx2+3的对称轴是（ ） A. x轴 B. y轴 C. 直线 yx D. 直线 yx 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数2yaxk的性质，其对称轴为y轴即可求解 【详解】Q2yaxk 抛物线的对称轴为y轴 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数2yaxk的图像和性质，熟练掌握二次函
12、数的图像和性质是解题关键 4. 如图，O 是ABC的外接圆，BOC100，则A的度数为（ ） A. 40 B. 50 C. 80 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得BOC2A，进而可得答案 【详解】解：O是ABC 的外接圆，BOC100， A12BOC50 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 5. 在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ） A. 10 x B. 20
13、 xx C. 210 x D. 210 x 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意一次项系数为 0且0 判断即可 【详解】解：A、x-1=0 是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意； B、方程两根互为相反数和为 0，一次项的系数为 1，故选项不合题意； C、=0-4 1 （-1）=40，且一次项系数为 0，故此选项符合题意； D、=0-4 1 1=-40，故此选项不合题意 故选：C 【点睛】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） 根与系数的关系： 若方程的两根为 x1， x2， 则 x1+x2=-ba，x1x2=ca，也考查了一元二次方程的根的判别式 6. 若二次函数
14、yax2+bx+a23（a、b 为常数）的图象如图所示，则 a的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可得二次函数过原点，则230a ，又因为开口向下，所以0a ，即可求解 【详解】解：由图像可得开口向下，二次函数过原点，0a 将(0,0)代入得230a 解得3a 3a 故选 B 【点睛】此题考查了二次函数图像的性质，解题的关键是掌握二次函数图像的有关性质 7. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（ ） A. (1)10 x x B. (1)10 x x C. 1(1)102x
15、 x D. 1(1)102x x 【答案】C 【解析】 【分析】如果x人参加了这次聚会，则每个人需握手1x 次，x人共需握手1x x次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手11102x x次. 【详解】设x人参加了这次聚会，则每个人需握手1x 次， 依题意，可列方程11102x x. 故选 C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用. 8. 已知（1，y1） ，B（2，y2） ， （4，y3）是抛物线 y2x2+8x1 上的点，则下列结论正确的是（ ） A. y1y2y3 B. y3y2y1 C. y3y1y2 D. y2y1y3 【答案】D 【解析】 【分析】把点A，B，C的横坐标代入抛物
16、线解析式，分别求出对应的函数值，即可求解 【详解】1x时，22281218117yxx 2x时，22281228219yxx 4x时，22281248411yxx 971 Q 213yyy 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题关键 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线 ymx2+mx（m0）向下平移 1 个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线转为顶点式，根据平移规则求得平移后的解析式，判断顶点坐标的符号，即可求解 【详解】解：222111()()
17、4424mymxmxm xxm x 向下平移 1 个单位后，解析式为21124mym x 则顶点坐标为：1(,1)24m 0m 04m 104m 又因为102 所以顶点坐标在第三象限 故选 C 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键 10. 已知两直角重合的两块直角三角板，其中DCEACB90，ABC30，DEC45，ACDC2 若将DEC绕着点 C顺时针旋转 60后， 点 D 恰好落在 AB边上， DE 与 BC 交于 F， 如图所示，则CEF的面积为（ ） A. 33 B. 3 C. 2 D
18、. 32 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DHCB，交CB于点H，过点E作EGCB，根据三角形中位线的性质求出DH的长， 利用解直角三角形求出EG的长， 再根据111222CDESCF GECF DHCD CEggggg求出CF的长，即可求解 【详解】解：如图：过点D作DHCB，交CB于点H，过点E作EGCB，交CB于点G 30B Q，2AC 4AB 2CD Q，4AB D为AB的中点 QDHCB，ACCB，D为AB的中点 112DHAC 2DC Q 30DCH 90DCEQ 60ECGDCEDCH 2CECDQ sin2 sin603GECEECG g 111113122222CDES
19、CF GECF DHCFCFCD CE Qggggg 即11312 222CF 2 32CF 112 3233322CEFSCFGE 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解直角三角形，利用三角形面积的不同求法，求出线段CF的长是解题关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4分，满分分，满分 24 分请在答题卡的相应位置作答）分请在答题卡的相应位置作答） 11. 平面直角坐标系中，点 P（1，3）关于原点对称的点的坐标是_ 【答案】 （1，3） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答
20、案 【详解】解：点 P（1，3）关于原点对称的点的坐标是（1，3） ， 故答案为： （1，3） 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的两个点的坐标变化规律，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，是解题的关键. 12. 点 A(0，3)，点 B(4，0)，则点 O(0，0)在以 AB为直径的圆_（填内、上或外） 【答案】上 【解析】 【分析】先得出圆的圆心坐标 C，进而得出 OC的长与半径的长进行比较解答即可 【详解】解：点 A(O，3)，点 B(4，0)， AB=2243=5，圆心坐标为（2，1.5） ， 半径=2.5，点 O到圆心的距离=2221.5=2.5=半径 故点 O
21、在圆上 故答案为：上 【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题 13. 若一元二次方程（x3）216 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x34，则另一个一元一次方程是 _ 【答案】x-34 【解析】 【分析】把方程（x3）216两边开方即可得到答案 【详解】解：（x3）216， x-34或 x-34 故答案为 x-34 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2p或（nxm）2p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 14. 某校图书馆利用节假日面向社会开放据统计，第一个月进馆 500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进
22、馆 720人次，设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为 x，则可列方程为 _ 【答案】2500 1720 x 【解析】 【分析】根据第一个月的进馆人次21x等于第三个月的进馆人次，代入数据解答即可 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为：2500 1720 x 故答案为：2500 1720 x 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，一般的，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为： 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加_m. 【答案】2 64； 【
23、解析】 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决 【详解】如右图建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为 y=ax2， 由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上， 则-2=a22，解得12a ， 212yx ， 当 y=-3 时，2132x ， 解得，6x ， 此时水面的宽度为：6(6)2 6 ， 水面的宽度增加2 64， 故答案为2 64 【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系 16. 下列关于二次函数22()1yxmm （m为常数）的结论，该函数的图象与函数2yx
24、 的图象形状相同；该函数的图象一定经过点(0,1)；当0 x时，y随 x 的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数21yx的图像上，其中所有正确的结论序号是_ 【答案】 【解析】 【分析】两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；求出当0 x时，y的值即可得；根据二次函数的增减性即可得；先求出二次函数22()1yxmm 的顶点坐标，再代入函数21yx进行验证即可得 【详解】Q当0m时，将二次函数2yx 的图象先向右平移 m 个单位长度，再向上平移21m 个单位长度即可得到二次函数22()1yxmm 的图象；当0m时，将二次函数2yx 的图象先向左平移m个单位长度，再向上平移
25、21m 个单位长度即可得到二次函数22()1yxmm 的图象 该函数的图象与函数2yx 的图象形状相同，结论正确 对于22()1yxmm 当0 x时，22(0)1 1ymm 即该函数的图象一定经过点(0,1)，结论正确 由二次函数的性质可知，当xm时，y随 x 的增大而增大；当xm时，y随 x 的增大而减小 则结论错误 22()1yxmm 的顶点坐标为2(),1m m 对于二次函数21yx 当xm时，21ym 即该函数的图象的顶点2(),1m m 在函数21yx的图象上，结论正确 综上，所有正确的结论序号是 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性
26、质是解题关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 解方程：x26x+50 【答案】11x ，25x 【解析】 【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可 【详解】解：2650 xx (1)(5)0 xx 10 x 或50 x 11x ，25x 【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解方法 18. 已知关于 x一元二次方程 x2+（m1）xm0求证：方程总有两个实数根 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证明方程有两个实数根，只要证明一元二次
27、方程的判别式240bac 即可 【详解】由题可知：1a ，1bm，cm， 2224(1)4 1 ()(1)0bacmmm ， 方程有两个实数根 【点睛】本题考查了一元二次方程20(a0)axbxc的根的判别式24bac ：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根 19. 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图像如图所示，根据图像回答下列问题： （1）观察图像，当 y随 x的增大而减小时，自变量 x 的取值范围为 ； （2）一元二次方程 ax2+bx+c0的两个根为 ； （3）观察图像，当函数值小于 0 时，自变量 x 的取值范围为 【答案】 （
28、1）1x ； （2）11x ，23x ； （3）3x 或11x 【解析】 【分析】 （1）观察函数图像可得，在对称轴的右侧，y随 x的增大而减小，即可求解； （2）由二次函数与一元二次方程的关系可得，AB、两点的横坐标为一元二次方程的两个根，根据对称性求解即可； （3）函数值小于 0，可得函数图像在x轴的下方，即可求解 【详解】解： （1）观察函数图像可得，在对称轴的右侧，y随 x的增大而减小， 此时 x 的范围为1x ； 故答案为1x ； （2）由二次函数与一元二次方程的关系可得， AB、两点的横坐标为一元二次方程20axbxc的两个根， 由图像可得A点的横标为1，且AB、两点关于1x 对称
29、 所以B点的横坐标为3x 一元二次方程20axbxc的两个根为11x ，23x 故答案为11x ，23x ； （3）当函数值小于 0时，函数图像在x轴的下方，即在点A的左侧或点B的右侧 此时 x 的范围为3x 或11x 故答案为3x 或11x 【点睛】此题考查了二次函数的图像的性质，二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，解题的关键是掌握它们之间的关系，利用数形结合的思想进行求解 20. 如图，O 与矩形 ABCD 的 BC边相切于 M 点，与 AD 边相交于点 E，F，若 EFCD4cm，求O的半径 【答案】52cm 【解析】 【分析】连接并延长MO，交EF于点G，交Oe于点H，连
30、接OF，设Oe的半径为r，先根据垂径定理求出FG的长，再证明四边形GMCD是矩形，在RtOGF中，根据勾股定理列方程即可求出Oe的半径 【详解】 如图所示，连接并延长MO，交EF于点G，交Oe于点H，连接OF， 设Oe的半径为r， OQe与BC相切于点M， BCOM， Q四边形ABCD是矩形， ADBC， 90OGFOMB， MHQ是Oe的直径，且MHEF，4EFCD， 122FGEGEF， 90OMCCDQ， 四边形GMCD是矩形， 4GMCD，4OGr ， 在RtOGF中，由勾股定理得：222(4)2rr， 解得：52r ， Oe的半径为52cm 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理
31、，矩形的判定与性质和勾股定理，解题关键是作出适当的辅助线，以便于应用垂径定理和勾股定理解题 21. 如图，在ABC中，ACB90，AC4，BC6 （1）尺规作图：将ABC绕 BC的中点 O旋转 180，得到ABC； （保留作图痕迹，不写作法） （2）求点 A与点 A之间的距离 【答案】 （1）见解析（2）10 【解析】 【分析】 （1）连接 AO，延长 AO，截取 OAOA，连接 AC，AB，ABC即为所求； （2）利用勾股定理求出 AO，可得结论 【详解】解： （1）如图，ABC即为所求； （2）在 RtACO 中，ACO90，AC4，OCOB12BC3， AO225ACCO， AA2OA1
32、0 【点睛】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质与勾股定理，属于中考常考题型 22. 如图，AB 是O 的直径，点 F是ABC 的内心，连接 CF并延长交O于 D，连接 BD并延长至 E，使得 BDDE，连接 AE （1）求证：FDBD； （2）求证：AE是O的切线 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）连接 BF，欲证明 FDBD，只要证明DBFDFB； （2）连接 AD，欲证明直线 AE为O的切线，只要证明 ABAE即可 【详解】 （1）证明：连接 BF 点 F是ABC的内心， ACDBCD，FBCFBA， DFBBCDCBF，FBDFBAABD，ABD
33、ACD， DBFDFB， FDBD （2）连接 AD CD平分BAC， ACDBCD， ADBD， ADBD， BDDE， ADDBDE， ABDBAD，EEAD， 2E2ABD180， EABD90， EAB90， AEAB， A点在圆上 AE 是O的切线 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 23. 某校九年级一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况， 下面是调査后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为 12 元/件 小
34、佳：该商品定价为 20 元时，每天可售 240件 小欣：在定价为 20 元的基础上，每涨价 1 元，每天少售 10件 根据他们的对话，解决下列问题： （1）若销售该商品每天能获利 2470 元，则该商品的定价应为多少？ （2）设每天销售该商品的利润为 W元，且每件商品销售单价不高于 26 元，求该商品的销售单价定为多少元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】 （1）该商品的定价应为 25 元或 31 元（2）该商品的销售单价定为 26元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是 2520元 【解析】 【分析】 （1）设每件商品定价为 x元，根据销售总利润2470 列出方程，解方程即
35、可； （2）根据总利润每件的利润销量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值即可 【详解】解： （1）设每件商品定价为 x元，则每件商品的销售利润为（x12）元， 根据题意得： （x12）24010（x20）2470， 整理得：x256x7750， 解得 x125，x231， 该商品的定价应为 25 元或 31 元； （2）设每件商品定价为 x元，由题意得： W（x12）24010（x20）10 x2560 x528010（x28）22560， 100， 当 x28 时，W随 x的增大而增大， 每件商品销售单价不高于 26 元， x26， 当 x26 时，W最大，最大值为 2520， 该商品的
36、销售单价定为 26 元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是 2520 元 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程 24. 如图 1，在平面直角坐标系中，A（3，0） ，B（0，3） ，将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 （0360）得到 RtDCB （1）求 AB的长； （2）当旋转角 20时，如图 1，AB 与 CD交于点 F，求BFC 的度数； （3）当旋转角 60时，如图 2，连接 OD，求 OD的长 【答案】 （1）3 2 ； （2）65； （3）3 23 62 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理，即可求解； （2）根据旋
37、转的性质，可得D=OAB=45，ABD=20，即可求解； （3）连接 AD，OC，设 AB与 OD交于点 M，根据旋转的性质，可得ABD是等边三角形，从而得到3 2ADBDAB ，然后设 D（x，y） ，可得 x=y，从而得到AOD=45，进而得到 ABOD，从而12OMAB，再由勾股定理，可求出 DM，即可求解 【详解】解： （1）A（3，0） ，B（0，3） ， OA=OB=3， 在Rt AOBV 中，由勾股定理得： 223 2ABOAOB ； （2）OA=OB，AOB=90， OAB=ABO=45， 将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 得到 RtDCB，20， D=OAB=45，ABD
38、=20， BFC=D+ABD=45 +20 =65 ； （3）如图，过点 D作 DNx轴于点 N，连接 AD，OC，设 AB与 OD交于点 M， 将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 60得到 RtDCB， OBC=ABD=60，AB=BD，BC=OB， ABD是等边三角形， 3 2ADBDAB ， 设 D（x，y） ， 2223ADxy ，2223BDxy ， 222233xyxy，解得：x=y， D（x，x） ， DNON ， AOD=45， OAB=45， AMO=90，即 ABOD， OA=OB， AM=BM=13 222AB ， 113 23 2222OMAB ， 在RtADM 中，
39、由勾股定理得： 223 62DMADAM ， 3 23 63 23 6222ODOMDM 【点睛】本题主要考查了图形的变换旋转，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的性质和判定定理，等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键 25. 在平面直角坐标系中，抛物线 yax24ax+2a1（a0）与平行于 x轴的一条直线交与 A，B 两点 （1）若抛物线的图象过（0，1） ，求 a的值； （2）若点 A的坐标为（1，3） ，求点 B的坐标； （3）若直线 AB与抛物线对称轴交于点 N，与 y轴交点的纵坐标为1，且抛物线的顶点 M 到点 N 的距离为 3
40、，求抛物线的解析式 【答案】 （1）1； （2）(5, 3)（3）26322yxx或23642yxx 【解析】 【分析】 （1）将点（0，1）代入抛物线解析式求解即可； （2）求得抛物线的对称轴，根据题意可得AB、关于对称轴对称，即可求解； （3）根据题意可得A BN、 、的纵坐标为1，根据题意可求得顶点M的坐标，求解即可 【详解】解： （1）将点（0，1）代入抛物线解析式2421yaxaxa得 21 1a ，解得1a 故答案为1； （2）由抛物线解析式2421yaxaxa，可得 抛物线的对称轴为2x 由题意可得：AB、关于对称轴2x对称 点 A的坐标为（1，3） 点B的坐标为(5, 3) 故
41、答案为(5, 3)； （3）根据题意可得A BN、 、的纵坐标为1， 点MN、都在对称轴2x上，(2, 1)N 当点M在点N的上方时，顶点 M 到点 N 的距离为 3，则(2,2)M 将(2,2)M代入抛物线解析式得，48212aaa ，解得32a 此时抛物线解析是为23642yxx 当点M在点N的下方时，顶点 M 到点 N 的距离为 3，则(2, 4)M 将(2, 4)M代入抛物线解析式得，48214aaa ，解得32a 此时抛物线解析式为26322yxx 所以抛物线解析式为26322yxx或23642yxx 【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，根据题意正确求出顶点的坐标
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