1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第七章第七章 三角形三角形 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第2222课时课时 全等三角形全等三角形 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1命题与定理命题与定理 定义：定义：判断一件事情的语句叫做判断一件事情的语句叫做 命题的组成：命题的组成：命题都是由命题都是由 和和 两部分组成，题设是已知事项，结两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项论是由已知事项推出的事项 命题命题 题设题设 结论结论 首 页 末 页 命题的形式：命题的形式：命题通常写成命题通常写
2、成“如果如果那么那么”的形式的形式“如果如果”后面是题后面是题设，设，“那么那么”后面是结论后面是结论 命题的真假：命题的真假：正确的命题是正确的命题是 ，错误的命题是，错误的命题是 判断一个命题判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例；要论证一个命题是真命题时，则需要加以推理为假命题时，只需举出一个反例；要论证一个命题是真命题时，则需要加以推理和证明和证明 真命题真命题 假命题假命题 首 页 末 页 逆命题：逆命题：若命题若命题2与命题与命题1的题设、结论正好相反，则这样的两个命题叫做互逆命的题设、结论正好相反，则这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做
3、它的逆命题题，如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题 定理：定理：经过证明被确认正确的命题叫做经过证明被确认正确的命题叫做 互逆定理：互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也是一个定理，称这两个定理互为逆定理也是一个定理，称这两个定理互为逆定理 定理定理 首 页 末 页 2证明证明 定义：定义： 的过程叫做证明的过程叫做证明 证明的步骤：证明的步骤：(1)分析题意，画出图形，并结合图形写出已知和求证的结论；分析题意，画出图形，并结合图形写出已知和求证的结论； (2)根据图形分析证明
4、思路；根据图形分析证明思路； (3)写出证明的过程，每一步均应有理有据写出证明的过程，每一步均应有理有据 基本方法：基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法； (2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法； (3)两头两头“凑凑”的方法，综合应用以上两种方法从而找到证明思路的方法的方法，综合应用以上两种方法从而找到证明思路的方法 推理推理 首 页 末 页 3反证法反证法 定义：定义：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或与定义、定理等相矛先假设命题中结论的反面成立，推出与
5、已知条件或与定义、定理等相矛盾，从而得出结论的反面不可能成立，从而证明原命题结论是成立的，这种证明盾，从而得出结论的反面不可能成立，从而证明原命题结论是成立的，这种证明的方法叫做反证法的方法叫做反证法 步骤：步骤：(1)假设命题的结论的反面成立；假设命题的结论的反面成立； (2)从假设的结论出发，推出矛盾；从假设的结论出发，推出矛盾； (3)由矛盾的结果说明假设的结论不成立由矛盾的结果说明假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论是正确的，从而肯定原命题的结论是正确的 方法：方法：(1)有些用直接证法不易证明的问题可考虑反证法；有些用直接证法不易证明的问题可考虑反证法； (2)证明唯一性和存在性问
6、题常用反证法证明唯一性和存在性问题常用反证法 首 页 末 页 4全等形全等形 定义：定义：能够完全能够完全 的图形叫做全等形的图形叫做全等形 5全等三角形全等三角形 定义：定义：能够完全能够完全 的两个三角形叫做全等三角形的两个三角形叫做全等三角形 6全等三角形的性质全等三角形的性质 性质：性质：(1)对应角相等，对应边相等；对应角相等，对应边相等； (2)对应线段对应线段(角平分线、中线、高角平分线、中线、高)相等，周长相等，面积相等相等，周长相等，面积相等 重合重合 重合重合 首 页 末 页 7全等三角形的判定全等三角形的判定 判定：判定：(1)一般三角形全等的判定方法有四种：一般三角形全
7、等的判定方法有四种： ， ， ， ； (2)直角三角形全等，除了可用以上方法外，还有直角三角形全等，除了可用以上方法外，还有 . 注意：注意：“AAA”和和“SSA”不能判定两个三角形全等不能判定两个三角形全等 规律：规律：(1)在角的两边截相等线段，构造全等三角形；在角的两边截相等线段，构造全等三角形； SSS SAS ASA AAS HL 首 页 末 页 (2)过角平分线上一点向角两边作垂线；过角平分线上一点向角两边作垂线； (3)公共边是对应边，公共角是对应角；公共边是对应边，公共角是对应角； (4)若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形 首 页 末
8、 页 8角平分线的性质角平分线的性质 性质：性质：角平分线上的点到角两边的距离角平分线上的点到角两边的距离 判定：判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的内部到角两边的距离相等的点在 相等相等 角的平分线上角的平分线上 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12019 岳阳岳阳下列命题是假命题的是下列命题是假命题的是( ) A平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B同角同角(或等角或等角)的余角相等的余角相等 C线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D正方形的对角线相等，且互相垂直平分正方形的对角线
9、相等，且互相垂直平分 【解析】【解析】 平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A是假是假命题故选命题故选A. A 首 页 末 页 22019 张家界张家界如图，在如图，在ABC中，中，C90 ，AC8，DC13AD，BD平分平分ABC，则点，则点D到到AB的距离等于的距离等于( ) A4 B.3 C2 D.1 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 本题考查了角平分线的性质本题考查了角平分线的性质 如答图，过点如答图，过点D作作DEAB于点于点E. AC8，DC13AD，CD2. BD平分平分ABC，DCDE2. 即点即点
10、D到到AB的距离等于的距离等于2.故选故选C. 首 页 末 页 32017 常德常德写出命题写出命题“如果如果m是整数，那么它是有理数是整数，那么它是有理数”的逆命题为：的逆命题为： 42019 邵阳邵阳如图，已知如图，已知ADAE，请你添加一个条件，使得，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是你添加的条件是 (不添加任何不添加任何字母和辅助线字母和辅助线) 如果如果m是有理数，那么它是整数是有理数，那么它是整数 ABAC或或ADCAEB或或BC等等 首 页 末 页 【解析】【解析】 AA，ADAE， 可以添加可以添加ABAC，此时满足，此时满足SAS； 添加条件添加条件ADCAE
11、B，此时满足，此时满足ASA； 添加条件添加条件BC，此时满足，此时满足AAS. 首 页 末 页 52019 益阳益阳如图，如图，ABAE，ABDE，ECB70 ，D110 ，求证：，求证：ABCEAD. 首 页 末 页 证明证明：由由ECB70 ，得，得ACB110 . D110 ， ACBD. ABDE， CABE. 又又ABEA， ABCEAD(AAS) 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 命题、真假命题及互逆命题命题、真假命题及互逆命题 2019 娄底娄底下列命题是假命题的是下列命题是假命题的是( ) A到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上到线段两端点距离
12、相等的点在线段的垂直平分线上 B等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 Cn边形边形(n3)的内角和是的内角和是n 180 360 D旋转不改变图形的形状和大小旋转不改变图形的形状和大小 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 A由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题；由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题； B等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题； C由由n边形边形(n3)的内角和是的内角和是 n2 180 知该选项是真命题；知该选项是真命题； D由旋转的性质知该
13、选项是真命题故选由旋转的性质知该选项是真命题故选B. 首 页 末 页 12019 常州常州判断命题判断命题“如果如果n1，那么，那么n210”是假命题，只需举出一个反是假命题，只需举出一个反例反例中的例反例中的n可以为可以为( ) A2 B.12 C0 D.12 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 本题考查了用举反例的方法证明一个假命题根据反例的意义：即命本题考查了用举反例的方法证明一个假命题根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中，题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中，21，反例中的反例中的n可以为可以为2.故选故选A. 首 页 末
14、页 22019 北京北京用三个不等式用三个不等式ab，ab0，1ab，ab0，那么，那么1ab，ab0.又又ab0，abab0，化简得，化简得1ab，1a0. 1a1b，1a1b0，baabb，ba0.该命题为真命题该命题为真命题 命题命题：如果：如果ab0，1ab. 1a1b，1a1b0，baab0，bab.该命题为真命题故选该命题为真命题故选D. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这
15、两个命题叫做互逆命题其中一个做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题命题称为另一个命题的逆命题(2)正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理题判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理(3)举反例是说明假命题的举反例是说明假命题的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立 首 页 末 页 类型之二类型之二 反证法反证法 2017 山西山西公元前公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希
16、伯索斯发现了无理数无理数 2，导致了第一次数学危机，导致了第一次数学危机“ 2是无理数是无理数”的证明如下：的证明如下： 假设假设2 是有理数，那么是有理数，那么它可以表示成它可以表示成qp(p与与q是互质的两个正整数是互质的两个正整数)于是于是 qp2(2 )22，q22p2.于是于是q2是偶数，进而是偶数，进而q是偶数，从而可设是偶数，从而可设q2m，(2m)22p2，p22m2，于是可得，于是可得p也是偶数这与也是偶数这与“p与与q是互质的两个正整数是互质的两个正整数”矛盾，从矛盾，从而可知而可知“ 2是有理数是有理数”的假设不成立，的假设不成立， 2是无理数是无理数 首 页 末 页 上
17、述证明上述证明“ 2是无理数是无理数”的方法是的方法是( ) A综合法综合法 B.反证法反证法 C举反例法举反例法 D.数学归纳法数学归纳法 B 首 页 末 页 32018 舟山舟山用反证法证明时，假设结论用反证法证明时，假设结论“点在圆外点在圆外”不成立，那么点与圆的不成立，那么点与圆的位置关系只能是位置关系只能是( ) A点在圆内点在圆内 B.点在圆上点在圆上 C点在圆心上点在圆心上 D.点在圆上或圆内点在圆上或圆内 D 【解析】【解析】 点和圆的位置关系有点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，若点和圆的位置关系有点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，若“点在点在圆外圆外”不成立，则不成立，则“点
18、在圆内或圆上点在圆内或圆上”故选故选D. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 反证法的步骤是：反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则原结论成立在假设结论不成立时，假设不成立，则原结论成立在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，那么必可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，那么必须一一否定须一一否定 首 页 末 页 类型之三类型之三 全等三角形的证明全等三角形的证明 2019 淄博淄博已知，在如图所示的
19、已知，在如图所示的“风筝风筝”图案中，图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC. 求证：求证：EC. 首 页 末 页 证明：证明：BAEDAC， BAEEACDACEAC， 即即BACDAE. 在在ABC和和ADE中，中， ABAD，BACDAE，ACAE， ABCADE(SAS)， EC. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)全等三角形的判定方法有：全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL(仅限在仅限在直角三角形中直角三角形中)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具的重要工具 (2)判定两
20、个三角形全等，一般可以从三个角度思考：一是从三边考虑；二是从两判定两个三角形全等，一般可以从三个角度思考：一是从三边考虑；二是从两边和它们的夹角考虑；三是从两角和任意一个角的对应边考虑边和它们的夹角考虑；三是从两角和任意一个角的对应边考虑 (3)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等 首 页 末 页 42019 兰州兰州如图，如图，ABDE，BFEC，BE.求证：求证：ACDF. 证明：证明：BFEC， BFFCECFC， 即即BCEF. 又又ABDE，BE， ABCDEF(SAS)， ACBDFE， ACDF. 首 页 末 页 52019 宜昌宜昌如图，在如
21、图，在ABC中，中，D是是BC边上的一点，边上的一点，ABDB，BE平分平分ABC，交，交AC边于点边于点E，连接，连接DE. (1)求证：求证：ABEDBE； (2)若若A100 ，C50 ，求，求AEB的度数的度数 首 页 末 页 (1)证明：证明：BE平分平分ABC， ABEDBE， 在在ABE和和DBE中，中， ABDB，ABEDBE，BEBE， ABEDBE(SAS) 首 页 末 页 (2)解：解：A100 ，C50 ， ABC30 . BE平分平分ABC， ABE12ABC15 ， 在在ABE中，中，AEB180 AABE180 100 15 65 . 首 页 末 页 类型之四类型
22、之四 全等三角形的开放探究型问题全等三角形的开放探究型问题 2019 嘉兴嘉兴如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E，F在对角线在对角线BD上，请添加一个条上，请添加一个条件，使得结论件，使得结论“AECF”成立，并加以证明成立，并加以证明 首 页 末 页 解：解：添加条件：添加条件：BEDF(或或DEBF或或AECF或或AEBDFC或或DAEBCF或或AEDCFB或或BAEDCF或或DCFDAE90 等等) 证明：证明：在矩在矩形形ABCD中，中，ABCD，ABCD， ABECDF. BEDF， ABECDF(SAS)， AECF. 首 页 末 页 6如图，已知在如图，已知在ABC和
23、和DEF中，中，AD，BFCE，点，点B，F，C，E在同在同一条直线上，若使一条直线上，若使ABCDEF，则还需添加的一个条件是，则还需添加的一个条件是 (只填一个即可只填一个即可) BE(或或 ACBDFE) 首 页 末 页 【解析】【解析】 由已知条件知两三角形全等的条件已经有一边一角对应相等，由已知条件知两三角形全等的条件已经有一边一角对应相等，需要添需要添加的条件是添加另外的任一组角构造加的条件是添加另外的任一组角构造AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可件即可 首 页 末 页 类型之五类型之五 利用全等三角形设计测量方案利用全等三角形设计测量
24、方案 2020 中考预测中考预测杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 首 页 末 页 如图，如图，ABOHCD，相邻两平行线间的距离相等，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点相交于点O，BDCD，垂足为，垂足为D.已知已知AB20 m，请根据上述信息，求标语，请根据上述信息，求标语CD的长度的长度 首 页 末 页 解：解
25、：ABCD，ABOCDO. ODCD，CDO90 . ABO90 ，即，即OBAB. 相邻两平行线间的距离相等，相邻两平行线间的距离相等， OBOD. 首 页 末 页 在在ABO与与CDO中，中， ABOCDO，OBOD，AOBCOD， ABOCDO(ASA) CDAB20 m. 首 页 末 页 类型之六类型之六 角平分线角平分线 2018 广安广安如图，如图，AOEBOE15 ，EFOB，ECOB于点于点C.若若EC1，则，则OF . 2 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点E作作EDOA于点于点D. EFCO， FEOBOE15 . EFAAOBAOEBOE30 .
26、OEFAOE， OFEF. 首 页 末 页 OE是是AOC的平分线，的平分线，CEOB，EDOA， EDCE1. 在在RtEFD中，中，EFD30 ，ED1， EF2ED2， 即即OF2. 首 页 末 页 72019 青岛青岛如图，如图，BD是是ABC的角平分线，的角平分线，AEBD，垂足为，垂足为F.若若ABC35 ，C50 ，则，则CDE的度数为的度数为( ) C A35 B.40 C45 D.50 首 页 末 页 【解析】【解析】 本题考查角平分线的性质本题考查角平分线的性质 BD平分平分ABC，AEBD， ABFEBF， BD是线段是线段AE的垂的垂直平分线，直平分线， ADED， B
27、ADBED180 35 50 95 ， CDEBEDC95 50 45 .故选故选C. 首 页 末 页 82019 湖州湖州如图，已知在四边形如图，已知在四边形ABCD中，中，BCD90 ，BD平分平分ABC，AB6，BC9，CD4，则四边形，则四边形ABCD的面积是的面积是( ) B A24 B.30 C36 D.42 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点D作作DHAB交交BA的延长线于点的延长线于点H. BD平分平分ABC，BCD90 ， DHCD4， S四边形四边形ABCDSABDSBCD12AB DH12BC CD 1264129430. 首 页 末 页 课课 时
28、时 作作 业业 (60分分) 一、选择题一、选择题(每题每题5分，共分，共25分分) 12019 衡阳衡阳下列命题是假命题的是下列命题是假命题的是( ) An边形边形(n3)的外角和是的外角和是360 B线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C相等的角是对顶角相等的角是对顶角 D矩形的对角线互相平分且相等矩形的对角线互相平分且相等 C 【解析】【解析】 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角故选对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角故选C. 首 页 末 页 22019 安顺安顺如图，点如图，点B，F，C，E在一条直线上，在一条直线上，ABDE，A
29、CDF，添加，添加下列一个条件后，仍无法判断下列一个条件后，仍无法判断ABCDEF的是的是( ) B AABDE B.AD CACDF D.BFEC 首 页 末 页 【解析】【解析】 ABDE，ACDF， BE，ACBDFE， A添加添加ABDE可利用可利用AAS判断判断ABCDEF，此选项不合题意；，此选项不合题意； B添加添加AD无法判断无法判断ABCDEF，此选项符合题意；，此选项符合题意； C添加添加ACDF可利用可利用AAS判断判断ABCDEF，此选项不合题意；，此选项不合题意； D添加添加BFEC可得可得BCEF，可利用，可利用ASA判断判断ABCDEF，此选项不合题，此选项不合题
30、意；故选意；故选B. 首 页 末 页 32018 大庆大庆如图，如图，BC90 ，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分ADC，且，且ADC110 ，则，则MAB的度数是的度数是( ) A30 B.35 C45 D.60 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点M作作MNAD于点于点N. DM平分平分ADC，MCCD，MNAD， MCMN. M是是BC的中点，的中点， MCMB.MNMB. 又又MNAD，MBAB， AM是是DAB的平分线的平分线 ADC110 ，DAB70 . MAB35 .故选故选B. 首 页 末 页 42019 菏泽菏泽如图，在如图，在ABC中，中，
31、D是边是边AB上一点，上一点，DF交交AC于点于点E，DEFE，FCAB，若，若AB4，CF3，则，则BD的长是的长是( ) A0.5 B.1 C1.5 D.2 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 CFAB， AFCE，ADEF， 在在ADE和和CFE中，中， AFCE，ADEF，DEFE， ADECFE(AAS) ADCF3. AB4， DBABADABCF431.故选故选B. 首 页 末 页 52019 陕西陕西如图，在如图，在ABC中，中，B30 ，C45 ，AD平分平分BAC，交，交BC于点于点D，DEAB，垂足为点，垂足为点E.若若DE1，则，则BC的长为的长为( ) A2 2 B
32、. 2 3 C2 3 D.3 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点D作作DFAC，垂足为点，垂足为点F. AD平分平分BAC，DEAB，DEDF1. B30 ，BD2DE2. C45 ，DC 2DF 2. BCBDDC2 2.故选故选A. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题5分，共分，共15分分) 62019 襄阳襄阳如图，已知如图，已知ABCDCB，添加下列条件中的一个：，添加下列条件中的一个：AD；ACDB；ABDC.其中不能确定其中不能确定ABCDCB的是的是 (只填序号只填序号) 【解析】【解析】 本题考查了全等三角形的判定方法已知本题考查了全等三
33、角形的判定方法已知ABCDCB，图中有公，图中有公共边共边BCCB，因而添加，因而添加可可用用AAS证明全等，添加证明全等，添加可用可用SAS证明全等，添加证明全等，添加就变成了就变成了“边边角边边角”，不能确定全等，不能确定全等 首 页 末 页 72018 金华丽水金华丽水如图，如图，ABC的两条高的两条高AD，BE相交于点相交于点F.请添加一个条件，请添加一个条件，使得使得ADCBEC(不添加其他字母及辅助线不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是，你添加的条件是 【解析】【解析】 由题意可知由题意可知ADCBEC，CC，可考虑全等三角形的判定，可考虑全等三角形的判定ASA或或AAS.故答
34、案不唯一，如故答案不唯一，如CACB，CECD等等 (答案不唯一答案不唯一) 如如CACB，CECD等等 首 页 末 页 82019 菏泽菏泽如图，在如图，在ABC中，中，ACB120 ，BC4，D为为AB的中点，的中点，DCBC，则，则ABC的面积是的面积是 . 8 3 首 页 末 页 【解析】【解析】 DCBC， BCD90 . ACB120 ， ACD30 ， 如答图，延长线段如答图，延长线段CD到点到点H使使DHCD，连接，连接AH. 首 页 末 页 D为为AB的中点，的中点， ADBD. 在在ADH与与BDC中，中， DHDC，ADHBDC，ADBD， 首 页 末 页 ADHBDC(
35、SAS)， AHBC4，HBCD90 . ACH30 ， CH 3AH4 3， CD2 3， SABC2SBCD21242 38 3. 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共20分分) 9(10分分)2019 黄冈黄冈如图，如图，ABCD是正方形，是正方形，E是是CD边上任意一点，连接边上任意一点，连接AE，作，作BFAE，DGAE，垂足分别为，垂足分别为F，G.求证：求证：BFDGFG. 证明：证明：在在ABF和和DAG中，中， BFAE，DGAE， AFBDGA90 . DAGFABDAGADG90 ， FABGDA. 首 页 末 页 又又ABDA， ABFDAG(AAS) BFAG，
36、AFDG， BFDGAGAFFG. 首 页 末 页 10(10分分)2018 怀化怀化如图，已知点如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，在同一直线上，ABDC，ABCD，BD. (1)求证：求证：ABECDF； (2)若若E，G分别为线段分别为线段FC，FD的中点，连接的中点，连接EG，且，且EG5，求，求AB的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：ABDC，AC. 在在ABE和和CDF中，中， BD，ABCD，AC， ABECDF(ASA) 首 页 末 页 (2)解：解：点点E，G分别为线段分别为线段FC，FD的中点，的中点， 线段线段EG为为CDF的的中位线中位线 CD2EG10.
37、又又ABECDF， ABCD10. 首 页 末 页 (20分分) 11(10分分)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点E，F分别在分别在AB，AC上，上，AEAF，BF与与CE相交于点相交于点P，求证：，求证：PBPC，并直接写出图中其他相等的线段，并直接写出图中其他相等的线段 证明：证明：在在ABF与与ACE中，中， ABAC，AA，AFAE， ABFACE(SAS)ABFACE. 首 页 末 页 ABAC，ABCACB. ABCABFACBACE， 即即FBCECB.PBPC. 相等的线段还有：相等的线段还有：PEPF，CEBF，BECF. 首 页 末 页 12(10分分)201
38、9 苏州苏州如图，在如图，在ABC中，点中，点E在边在边BC上上AEAB，将线段，将线段AC绕点绕点A旋转到旋转到AF的位置使得的位置使得CAFBAE.连接连接EF，EF与与AC交于点交于点G. (1)求证：求证：EFBC； (2)若若ABC65 .ACB28 ，求，求FGC的度数的度数 首 页 末 页 (1)证明：证明：线段线段AC绕点绕点A旋转到旋转到AF的位置，的位置， ACAF. CAFBAE. CAFCAEBAECAE. 即即EAFBAC. 首 页 末 页 在在ABC和和AEF中，中， AEAB，BACEAF，ACAF， ABCAEF(SAS)， EFBC. 首 页 末 页 (2)解
39、：解：AEAB， AEBABC65 . ABCAEF， AEFABC65 ， FEC180 AEBAEF180 65 65 50 . FGC是是EGC的外角，的外角，ACB28 ， FGCFECACB50 28 78 . 首 页 末 页 (20分分) 13(20分分)2019 安顺安顺(1)如图如图，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABDC，点，点E是是BC的中的中点，若点，若AE是是BAD的平分线，试判断的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系之间的等量关系 首 页 末 页 解决此问题可以用如下方法：延长解决此问题可以用如下方法：延长AE交交DC的延长线于点的延长线于点F，易证，易证
40、AEBFEC，得到，得到ABFC，从而把，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断转化在一个三角形中即可判断 AB，AD，DC之间的等量关系为之间的等量关系为 ； (2)问题探究：如图问题探究：如图，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABCD，AF与与DC的延长线交于点的延长线交于点F，E是是BC的中点，若的中点，若AE是是BAF的平分线，试探究的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关之间的等量关系，并证明你的结论系，并证明你的结论 ADABDC 首 页 末 页 解：解：(1)如答图如答图，延长，延长AE交交DC的延长线于点的延长线于点F. ABDC，BAFF. E是是BC的中点，
41、的中点，CEBE， 在在AEB和和FEC中，中， BAEF，AEBFEC，BECE， 第第13题答图题答图 首 页 末 页 AEBFEC(AAS)， ABFC. AE是是BAD的平分线，的平分线， DAFBAF，DAFF， DFAD， ADDCCFDCAB. 首 页 末 页 (2)ABAFCF，证明如下：，证明如下： 如答图如答图，延长，延长AE交交DF的延长线于点的延长线于点G. E是是BC的中点，的中点，CEBE. ABDC，BAEG， 在在AEB和和GEC中，中， BAEG，AEBGEC，BECE， 第第13题答图题答图 首 页 末 页 AEBGEC(AAS)， ABGC. AE是是BAF的平分线，的平分线， BAGFAG. FAGG，FAFG， ABCGAFCF. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！
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