1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第九章第九章 圆圆 思思 维维 导导 图图 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第2929课时课时 圆的基本性质圆的基本性质 首 页 末 页 思思 维维 导导 图图 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1圆的有关概念圆的有关概念 定定 义：义：在一个平面内，线段在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做所形成的图形叫做 ，固定的端点叫做，固定的端点叫做 ，线段，线段OA叫做圆的叫做圆的 注注 意：意
2、：圆是到定点的距离等于定长的点的集合这一定义揭示了圆的本质，圆是到定点的距离等于定长的点的集合这一定义揭示了圆的本质，一方面说明圆上各点到定点一方面说明圆上各点到定点(圆心圆心O)的距离都等于定长的距离都等于定长(半径半径r)，另一方面说明到，另一方面说明到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 圆圆 圆心圆心 半径半径 首 页 末 页 等等 圆：圆：半径相等的圆称为等圆半径相等的圆称为等圆 弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 ，小于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为 弦：弦：连接圆
3、上任意两点的线段叫做弦，经过连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过 的弦叫做直径的弦叫做直径 等等 弧：弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 同心圆：同心圆：圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆 优弧优弧 劣弧劣弧 圆心圆心 首 页 末 页 2点与圆的位置关系点与圆的位置关系 关关 系：系：如图，点与圆的位置关系有三种，设点到圆心如图，点与圆的位置关系有三种，设点到圆心O的距离为的距离为d，O的半的半径为径为r. 图图 (1)点在圆外：点到圆心的距离点在圆外：点到圆心的距离 圆的半径，圆的半径，OP1dr； (
4、2)点在圆上：点到圆心的距离点在圆上：点到圆心的距离 圆的半径，圆的半径，OP2dr； (3)点在圆内：点到圆心的距离点在圆内：点到圆心的距离 圆的半径，圆的半径，OP3dd时，点时，点P在在O内；内；当当rd时，点时，点P在在O上；上；当当rd时，点时，点P在在O外根据以上内容判断即外根据以上内容判断即可可 【点悟】【点悟】 判定点与圆的位置关系，要根据点与圆心的距离和圆的半径大小的关判定点与圆的位置关系，要根据点与圆心的距离和圆的半径大小的关系做出判断系做出判断 首 页 末 页 类型之二类型之二 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2019 原创原创如图，如图
5、，AB是是O的直径，的直径，BCCDDE，COD34 ，则，则AEO的度数是的度数是 . 51 首 页 末 页 【解析】【解析】 BCCDDE，COD34 ， BOCEODCOD34 ， AOE180 34 378 . 又又OAOE， AEOOAE， AEO12(180 78 )51 . 首 页 末 页 12019 南京南京如图，如图，O 的弦的弦 AB，CD 的延长线相交于点的延长线相交于点 P，且，且 ABCD.求证：求证：PAPC. 首 页 末 页 证明：证明：如答图，连接如答图，连接 AC. ABCD，ABCD， ABBDBDCD，即，即ADCB， CA，PAPC. 首 页 末 页 2
6、2019 自贡自贡如图，在如图，在O 中，弦中，弦 AB 与与 CD 相交于点相交于点 E，ABCD，连接，连接 AD，BC. 求证：求证：(1) ADBC； (2)AECE. 首 页 末 页 证明：证明：(1)如答图，连接如答图，连接 AO，BO，CO，DO. ABCD，ACBCACAD， ADBC. (2)ADBC，ADCB. ACAC，ADCABC， 即即ADECBE. 又又AEDCEB， ADECBE.AECE. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)在同圆或等圆中，圆心角在同圆或等圆中，圆心角(或圆周角或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各
7、组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；或证明的目的；(2)注意同一个圆中的隐含条件：半径相等注意同一个圆中的隐含条件：半径相等 首 页 末 页 类型之三类型之三 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 2019 安徽安徽筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图，明朝科学，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图，筒车盛水桶，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆已知圆心
8、在水面上方，且圆被水面截得的弦为圆心的圆已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB 的长为的长为 6 m，OAB41.3 .若点若点 C 为运行轨道的最高点为运行轨道的最高点(点点 C，O 的连线垂直的连线垂直于于 AB)，求点，求点 C 到弦到弦 AB 所在直线的距离所在直线的距离(参考数据：参考数据：sin 41.3 0.66，cos 41.3 0.75，tan 41.3 0.88) 首 页 末 页 解：解：如答图，连接如答图，连接 CO 并延长，交并延长，交 AB 于点于点 D. 例例 3 答图答图 首 页 末 页 CDAB，D 为为 AB 的中点的中点 所求点所求点 C 到弦到弦 AB
9、 所在直线的距离即为线段所在直线的距离即为线段 CD 的长的长 在在 RtAOD 中，中， AD12AB3(m)，OAD41.3 ， ODADtan 41.330.882.64(m)， OAADcos 41.330.754(m)， CDCOODAOOD42.646.64(m) 答：点答：点 C 到弦到弦 AB 所在直线的距离约为所在直线的距离约为 6.64 m. 首 页 末 页 32019 衢州衢州一块圆形宣传标志牌如图所示，点一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A，B，C 在在O 上，上，CD 垂直平垂直平分分 AB 于点于点 D，现测得，现测得 AB8 dm，DC2 dm，则圆形标志牌的半径为
10、，则圆形标志牌的半径为( ) B A6 dm B.5 dm C4 dm D.3 dm 首 页 末 页 【解析】解析】 如答图，连接如答图，连接 OD，OB， 变式跟进变式跟进 3 答图答图 则则 O，C，D 三点在一条直线上三点在一条直线上 CD 垂直平分垂直平分 AB，AB8 dm， BD4 dm. 设设O 的半径为的半径为 r dm，则，则 OD(r2)dm. 由勾股定理，得由勾股定理，得 42(r2)2r2， r5.故选故选 B. 首 页 末 页 42018 孝感孝感已知已知O 的半径为的半径为 10 cm，AB，CD 是是O 的两条弦，的两条弦，ABCD，AB16 cm，CD12 cm
11、，则弦，则弦 AB 和和 CD 之间的距离是之间的距离是 cm. 2或或14 【解析】【解析】 分两种情况：如答图分两种情况：如答图，弦，弦 AB 和和 CD 在圆心的同侧在圆心的同侧 AB16 cm，CD12 cm， AE12AB8(cm)，CF12CD6(cm) 变式跟进变式跟进 4 答图答图 首 页 末 页 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 OE AO2AE2 102826(cm)， OF CO2CF2 102628(cm) EFOFOE862(cm) 首 页 末 页 如答图如答图，弦，弦 AB 和和 CD 在圆心的异侧在圆心的异侧 AB16 cm，CD12 cm， AE12AB8 cm
12、，CF12CD6 cm. 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 OE AO2AE2 102826(cm)， OF CO2CF2 102628(cm) EFOEOF6814(cm) 综上，弦综上，弦 AB 和和 CD 之间的距离是之间的距离是 2 cm 或或 14 cm. 变式跟进变式跟进 4 答图答图 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 在已知半径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边在已知半径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算算
13、首 页 末 页 类型之四类型之四 内接四边形对角互补的应用内接四边形对角互补的应用 2019 天水天水如图，四边形如图，四边形 ABCD 是菱形，是菱形，O 经过点经过点 A，C，D，与，与 BC 相相交于点交于点 E，连接，连接 AC，AE.若若D80 ，则，则EAC 的度数为的度数为( ) C A20 B.25 C30 D.35 首 页 末 页 【解析】【解析】 四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形，D80 ， ACB12DCB12(180 D)50 . 四边形四边形 AECD 是圆内接四边形，是圆内接四边形， AEBD80 ， EACAEBACE30 .故选故选 C. 首 页 末 页
14、52019 台州台州如图，如图，AC 是圆内接四边形是圆内接四边形 ABCD 的一条对角线，点的一条对角线，点 D 关于关于 AC 的的对称点对称点 E 在边在边 BC 上，连接上，连接 AE，若，若B64 ，则，则BAE 的度数为的度数为 . 52 首 页 末 页 【解析】【解析】 圆内接四边形圆内接四边形 ABCD， BD180 . B64 ，D116 . 又又点点 D 关于关于 AC 的对称点是点的对称点是点 E， AECD116 . 又又AECBBAE， BAE52 . 首 页 末 页 62019 盐城盐城如图，点如图，点 A，B，C，D，E 在在O 上，且弧上，且弧 AB 为为 50
15、 ，则，则EC . 155 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图， 连接如答图， 连接 OA，OB， AE.由弧由弧 AB 为为 50 可知，可知， AOB50 .又又AOB和和AEB 分别为弧分别为弧 AB 所对的圆心角和圆周角，故所对的圆心角和圆周角，故AEB12AOB，即，即AEB25 ，又，又四边形四边形 AEDC 是是O 的内接四边形，的内接四边形，CAED180 .又又AEB25 ，可得，可得CBED180 25 155 . 变式跟进变式跟进 6 答图答图 首 页 末 页 类型之五类型之五 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 2019 怀化怀化如图，如图，A，B，C，D，E
16、是是O 上的上的 5 等分点，连接等分点，连接 AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形，得到一个五角星图形和五边形 MNFGH. (1)计算计算CAD 的度数；的度数； (2)连接连接 AE，证明：，证明：AEME； (3)求证：求证：ME2BM BE. 首 页 末 页 (1)解：解：如答图，连接如答图，连接 OA，OB，OC，OD，OE. 例例 5 答图答图 A，B，C，D，E 是是O 上的上的 5 等分点，等分点， COD360572 ， CAD12COD36 . 同理可得同理可得EBDACEBDACEB36 . 首 页 末 页 (2)证明：证明：AEBBDA，DAEEB
17、D，CADEBDBDA36 ， MAE72 ，AEB36 ， AMEMAE72 ， AEME. 首 页 末 页 (3)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 AB. 由由(2)可知可知NAEAEN36 ，ABEAEB36 ，ABAE， ABENAE，ABMEAN， ABNABEAE，ANBM，AB AEBE BM. ABAEME， ME2BM BE. 首 页 末 页 7 2019 宜昌宜昌如图， 点如图， 点 A， B， C 均在均在O 上， 当上， 当OBC40 时，时， A 的度数是的度数是( ) A A50 B.55 C60 D.65 【解析】【解析】 OBOC， OCBOBC40 ， B
18、OC180 40 40 100 ， A12BOC50 .故选故选 A. 首 页 末 页 82019 滨州滨州如图，如图，AB 为为O 的直径，的直径，C，D 为为O 上两点，若上两点，若BCD40 ，则则ABD 的大小为的大小为( ) B A60 B.50 C40 D.20 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 AD. AB 为为O 的直径，的直径，ADB90 . A 和和BCD 都是都是BD所对的圆周角，所对的圆周角， ABCD40 ， ABD90 40 50 .故选故选 B. 首 页 末 页 92019 安徽安徽如图，如图，ABC 内接于内接于O，CAB30 ，CBA
19、45 ，CDAB于点于点 D，若，若O 的半径为的半径为 2，则，则 CD 的长为的长为 . 2 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 CO 并延长交并延长交O 于点于点 E，连接，连接 BE. 则则EA30 ，EBC90 . O 的半径为的半径为 2，CE4，BC12CE2. CDAB，CBA45 ， CDBC sinCBA222 2. 首 页 末 页 102019 原创原创如图，如图，AB 是是O 的直径，的直径，C 是是BD的中点，的中点，CEAB 于点于点 E，BD交交 CE 于点于点 F. (1)求证：求证：CFBF； (2)若若 CD12，AC16，求，求O
20、的半径和的半径和 CE 的长的长 首 页 末 页 (1)证明证明：AB 是是O 的直径的直径， ACB90 . 又又CEAB，CEB90 . 如答图，则如答图，则290 ABCA. 又又C 是是BD的中点，的中点，BCCD. 1A.12. CFBF. 首 页 末 页 (2)解：解：C 是是BD的中点，的中点， BCCD.BCCD12. 在在 RtABC 中，中，AC16， 由勾股定理，可得由勾股定理，可得 AB20. O 的半径为的半径为 10. SABC12AC BC12AB CE， CEAC BCAB9.6. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)由圆周角与圆心角的关系由圆周角与圆心角的
21、关系可知，圆周角定理是建立在圆心角基础上可知，圆周角定理是建立在圆心角基础上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等或倍分关系的方法的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等或倍分关系的方法 (2)直径所对的圆周角为直角，反之亦成立，在与圆有关的证明和计算问题中，可直径所对的圆周角为直角，反之亦成立，在与圆有关的证明和计算问题中，可以创造条件灵活运用这条定理，使问题简单化以创造条件灵活运用这条定理，使问题简单化 首 页 末 页 课课 时时 作作 业业 (70 分分) 一、选择题一、选择题(每题每题 5 分，共分，共 30 分分) 12019 襄阳襄阳如图，如图，AD 是是O 的直径，的直径，BC
22、 是弦，四边形是弦，四边形 OBCD 是平行四边形，是平行四边形，AC 与与 OB 相交于点相交于点 P，下列结论错误的是，下列结论错误的是( ) AAP2OP B.CD2OP COBAC D.AC 平分平分 OB A 首 页 末 页 【解析】【解析】 AD 是直径，是直径，ACD90 . 四边形四边形 OBCD 是平行四边形，是平行四边形，CDOB，CPO90 ，即，即 OBAC，选项，选项C 正确；正确； 又又O 是是 AD 的中点，的中点，OP 是是ACD 的中位线，的中位线，CD2OP，选项选项 B 正确；正确； CDOB2OP，即，即 P 是是 OB 的中点，的中点，AC 平分平分
23、OB，选项，选项 D 正确；正确； OAOB2OP，在，在 RtAPO 中，由勾股定理得中，由勾股定理得 AP 3OP，选项，选项 A 错误故选错误故选A. 首 页 末 页 22019 甘肃甘肃如图，如图，AB 是是O 的直径，点的直径，点 C，D 是圆上两点，且是圆上两点，且AOC126 ，则则CDB( ) A54 B.64 C27 D.37 【解析】【解析】 AOC126 ，BOC180 AOC54 ， CDB12BOC27 .故选故选 C. C 首 页 末 页 32019 兰州兰州如图，四边形如图，四边形 ABCD 内接于内接于O，若，若A40 ，则，则C( ) A110 B.120 C
24、135 D.140 D 【解析】【解析】 根据圆内接四边形的对角互补，根据圆内接四边形的对角互补， AC180 .A40 ，C140 .故选故选 D. 首 页 末 页 42019 柳州柳州如图，如图，A，B，C，D 是圆上的点，则图中与是圆上的点，则图中与A 相等的角是相等的角是( ) D AB B.C CDEB D.D 【解析】【解析】 A 与与D 都是都是BC所对的圆周角，所对的圆周角， DA.故选故选 D. 首 页 末 页 52018 遂宁遂宁如图，在如图，在O 中，中，AE 是直径，半径是直径，半径 OC 垂直弦垂直弦 AB 于点于点 D，连接，连接BE.若若 AB2 7，CD1，则，
25、则 BE 的长是的长是( ) A5 B.6 C7 D.8 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 设设O 的半径为的半径为 r，则，则 OAOEOCr. OCAB， AD12AB 7. CD1，ODr1. OD2AD2OA2， (r1)2( 7)2r2. 首 页 末 页 r4. OD3. AE 是是O 的直径，的直径， ABBE.ODBE. BE2OD6. 首 页 末 页 6 2019 菏泽菏泽如图，如图， AB 是是O 的直径，的直径， C， D 是是O 上的两点， 且上的两点， 且 BC 平分平分ABD，AD 分别与分别与 BC，OC 相交于点相交于点 E，F，则下列结论不一定成立的是，则下
26、列结论不一定成立的是( ) C AOCBD B.ADOC CCEFBED D.AFFD 首 页 末 页 【解析】【解析】 AB 是是O 的直径，的直径，BC 平分平分ABD， D90 ，OBCDBC， ADBD. OBOC， OCBOBC， DBCC， OCBD，选项，选项 A 成立；成立； 首 页 末 页 ADOC，选项，选项 B 成立；成立； AFFD，选项，选项 D 成立；成立； CEF 和和BED 中，没有相等的边，中，没有相等的边， CEF 与与BED 不全等，选项不全等，选项 C 不成立故选不成立故选 C. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题 5 分，共分，共 30 分
27、分) 72019 连云港连云港如图，点如图，点 A，B，C 在在O 上，上，BC6，A30 ，则，则O 的半径的半径为为 . 6 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 OB，OC. BOC2A60 .又又OBOC， BOC 是等边三角形，是等边三角形， OBBC6. 首 页 末 页 82018 绥化绥化如图，一下水道管道横截面为圆形，直径为如图，一下水道管道横截面为圆形，直径为 100 cm，下雨前水面宽，下雨前水面宽为为 60 cm，一场大雨过后，水面宽为，一场大雨过后，水面宽为 80 cm，则水位上升，则水位上升 cm. 10或或70 首 页 末 页 【解析】【解析】
28、 如答图，作半径如答图，作半径 ODAB 于点于点 C，连接，连接 OB. 由垂径定理，得由垂径定理，得 BC12AB30 cm. 在在 RtOBC 中，中，OC OB2BC240 cm. 当水位上升到圆心以下，水面宽当水位上升到圆心以下，水面宽 80 cm 时，时， OC 50240230(cm)， 水位上升的高度为水位上升的高度为 403010(cm) 当水位上升到圆心以上时，水位上升的高度为当水位上升到圆心以上时，水位上升的高度为 403070(cm) 综上可得，水位上升的高度为综上可得，水位上升的高度为 10 cm 或或 70 cm. 首 页 末 页 92019 宜宾宜宾如图，如图，O
29、 的两条相交弦的两条相交弦 AC，BD，ACBD60 ，AC2 3，则则O 的面积是的面积是 . 4 首 页 末 页 【解析】【解析】 AD，ACBD60 ，AACB60 ，ACB 为为等边三角形等边三角形 AC2 3，圆的半径为圆的半径为 2， O 的面积是的面积是 4. 首 页 末 页 102019 凉山州凉山州如图，如图，AB 是是O 的直径，弦的直径，弦 CDAB 于点于点 H，A30 ，CD2 3，则，则O 的半径是的半径是 . 2 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 OC. 则则 OAOC，AACO30 ， COH60 . OBCD，CD2 3， CH 3，
30、OH1，OC2. 首 页 末 页 112018 雅安雅安九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12(弦弦矢矢矢矢2)弧田弧田(如图中如图中阴影部分阴影部分)由圆弧和其所对的弦围成，公式中由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦弦”指圆弧所对弦长，指圆弧所对弦长，“矢矢”等于等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为 120 ，半径等于，半径等于 4 m 的弧田，按照的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为上述公式计算出弧田的面积
31、为 m2. (4 32) 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，由题可知，如答图，由题可知，AOB120 ，OB4，OCAB，“矢矢”为为 CD的长，则的长，则 ADDB.在在 RtBOD 中，中，OBD30 ，OD2.CD2，BD2 3.AB2BD4 3，即，即“弦弦”的长的长由公式得，弧田面积由公式得，弧田面积12(弦弦矢矢矢矢2)12(4 3222)(4 32)m2. 首 页 末 页 122019 嘉兴嘉兴如图，在如图，在O 中，弦中，弦 AB1，点，点 C 在在 AB 上移动，连接上移动，连接 OC，过点，过点 C 作作 CDOC 交交O 于点于点 D，则，则 CD 的最大值为的最
32、大值为 . 12 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 OD. CDOC，则有，则有 CD OD2OC2. 根据题意根据题意可知圆半径一定，故当可知圆半径一定，故当 OC 最小时最小时 CD 有最大值，有最大值， 故当故当 OCAB 时，时，CDBC12AB12，即最大值为，即最大值为12. 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共 10 分分) 13(10 分分)2019 陇南陇南如图，已知：在如图，已知：在ABC 中，中，ABAC. (1)求作：求作：ABC 的外接圆的外接圆(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)若
33、若ABC 的外接圆的圆心的外接圆的圆心 O 到到 BC 边的距离为边的距离为 4，BC6，则，则 SO . 25 首 页 末 页 解：解：(1)如答图，如答图，O 即为所求即为所求 (2)如答图，设线段如答图，设线段 BC 的垂直平分线交的垂直平分线交 BC 于点于点 E. 由题意可知，由题意可知，OE4，BEEC3， 在在 RtOBE 中，中，OB 32425， SO5225. 首 页 末 页 (18 分分) 14(8 分分)2019 原创原创如图，如图，BAC 的平分线交的平分线交ABC 的外接圆的外接圆O 于点于点 D，ABC 的角平分线交的角平分线交 AD 于点于点 E，连接，连接 B
34、D. (1)求证：求证：BDDE； (2)若若BAC90 ，BD4，求，求ABC 的外接圆的半径的外接圆的半径 首 页 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 CD. AD 平分平分BAC，BADCAD. 又又CBDCAD，BADCBD. BE 平分平分ABC，CBEABE. DBECBECBDABEBAD. 又又BEDABEBAD， DBEBED.BDDE. 首 页 末 页 (2)解：解：BAC90 ，BC 是是O 的直径，的直径， BDC90 . AD 平分平分BAC，BD4， BDCD4.BC BD2CD24 2. ABC 的外接圆的半径为的外接圆的半径为 2 2. 首 页
35、末 页 15(10 分分)2019 威海改编威海改编如图，如图，P 与与 x 轴交于点轴交于点 A(5,0)，B(1,0)，与，与 y 轴的轴的正半轴交于点正半轴交于点 C，若，若ACB60 ，求点，求点 C 的纵坐标的纵坐标 首 页 末 页 解：解：如答图，连接如答图，连接 PA，PB，PC，过点，过点 P 分别作分别作 PFAB，PEOC，垂足为点，垂足为点 F，E. 由题意可知，四边形由题意可知，四边形 PFOE 为矩形，为矩形， PEOF，PFOE. ACB60 ，APB120 . PAPB，PABPBA30 . PFAB， AFBF3. 首 页 末 页 PEOF2. tan 30 P
36、FAF，cos 30 AFAP， PF 3，AP2 3. OE 3，PC2 3. 在在 RtPEC 中，中，CE PC2PE22 2， OCCEEO2 2 3， 即点即点 C 的纵坐标为的纵坐标为 2 2 3. 首 页 末 页 (12 分分) 16(12 分分)2019 包头包头如图如图，在在O 中中，B 是是O 上一点上一点，ABC120 ，弦弦 AC2 3，弦弦 BM 平分平分ABC 交交 AC 于点于点 D，连接连接 MA，MC. (1)求求O 半径的长；半径的长； (2)求证：求证：ABBCBM. 首 页 末 页 (1)解：解：ABC120 ，BM 平分平分ABC， MBAMBC12A
37、BC60 . ACMABM60 ，MACMBA60 . 在在AMC 中，中，MACMCA60 . AMC 是等边三角形是等边三角形 如答图，连接如答图，连接 OA，OC. 首 页 末 页 AOCO，AOC2AMC120 . OACOCA30 . 过点过点 O 作作 OHAC 于点于点 H. AHCH12AC 3， 在在 RtAOH 中，中，cosOAHAHAO， 3AO32，AO2， O 的半径为的半径为 2. 首 页 末 页 (2)证明：证明：如答图，在如答图，在 BM 上截取上截取 BEBC，连接，连接 CE.MBC60 ，BEBC， EBC 为等边三角形，为等边三角形， CECBBE，BCE60 . BCDDCE60 . ACM60 ，ECMDCE60 ， ECMBCA. 首 页 末 页 AMC 为等边三角形，为等边三角形， ACMC. 又又BACEMC， ACBMCE，ABME. MEEBBM，ABBCBM. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！
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