1、考题3：直角三角形问题综合一、单选题1（浙江婺城·八年级期末）下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是A三个角的比是1：2：3B三条边满足关系C三条边的比是2：3：4D三个角满足关系2（2020·浙江浙江·八年级期末）已知等边的边长为3，点E在直线上，点D在直线上，且，若，则的长为（ ）A6B9C3或6D3或93（2020·浙江杭州·八年级期末）如图1是一张型站立式琴架，其撑开后示意图如图2所示，支架相交于点，经测量得到，要使琴架高度为，则两支架展开角的度数为（ ）ABCD4（2020·浙江浙江·八年级期末）某个信封的
2、简易平面示意图如图所示，可看作将与叠放在长方形内，且已知与的长度之比为，点到边的距离是，则图中阴影部分面积是（ ）ABCD5如图，在中，点在上，且连接，若，则的大小是（ ）ABCD6（2020·浙江余姚·八年级期中）BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内，若GHBC，且AGF的面积，则五边形DECFG的周长为 ( )A10B12C20D247（2020·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在等腰中，点P是内一点，且，以为直角边，点C为直角顶点，作等腰，下列结论：点A与点D的距离为；，其中正确结论有是（ ）ABCD8（20
3、20·浙江浙江·八年级期末）如图，已知，线段，点为射线上一点，则下列结论正确的是（ ）当，时，可得到形状唯一确定的；当，时，可得到形状唯一确定的；当时，在射线上存在三个点使得为等腰三角形；当时，在射线上存在三个点使得为等腰直角三角形ABCD9（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，点分别在直角边上，且交于点P，有下列结论：图形中全等的三角形只有两对；的面积等于四边形的面积的2倍；其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个10（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，以各边为边分别向外作等边三角形，编
4、号为、，将、如图所示依次叠在上，已知四边形与四边形的面积分别为和，则斜边的长为（ ）A5B10CD二、填空题11（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级开学考试）如图，ABC中，A15°，AB是定长点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED若BE+ED的最小值是4，则AB的长是_12（浙江奉化·八年级期末）如图是由 5 个边长为 1 的正方形组成了“十”字型对称图形，则图中BAC 的度数是_13（2020·浙江台州·八年级期中）如图,点P是的角平分线OC上一点，PNOB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM=3,ON=4,
5、点D为OA上一点，若满足PD=PM,则OD的长度为_ 14（2020·浙江温州·八年级期末）如图, 在ABC中, ACB的平分线交AB于点D, DEAC于点E, F为BC上一点,若DF=AD, ACD与CDF的面积分别为10和4, 则AED的面积为_15（2020·浙江浙江·八年级期中）如图，已知：BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，AB6，AC3，则BE_16（2020·浙江·模拟预测）如图，的高、交于点F，是等腰直角三角形，连结，则_17如图，在中，于点，与相交于，且，则_°
6、18（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，在ABC中，ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DFBC，DGAB，垂足分别为 F、G若BG5，AC6，则ABC 的周长是_ 19（2017·浙江上城·八年级期中）在等腰中，过点作直线，是上的一点，且，则_20（2020·浙江浙江·八年级期末）在中，为直线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为_三、解答题21（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，中，于，于，与相交于点（1）如图1，求的度数；（2）如图2，和的平分线相交于点，求的度数
7、；（3）如图3，点为的中点，连接和，请判断的形状，并说明理由22（2020·浙江浙江·八年级期末）已知：如图，在中，垂直于点，为上一点，且，（1）求的度数；（2）求证：23（2020·浙江浙江·八年级期末）已知：如图，与相交于点P求证：（1）（2）是等腰三角形24（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，在中，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且（1）求证：；（2）若，求的度数25（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，点D为BC的中点，于点，于点，且，求证：26（2020·浙江杭州·八年级期末
8、）如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且（1）求证：；（2）若，求的度数27（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，是上的一点，且，（1）与全等吗？请说明理由；（2）若，请求出的面积28（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，中，为延长线上一点，点在上，且（1）求证：；（2）若，求的度数29（2020·浙江浙江·八年级期末）已知：如图，平分，于点，于点，且（1）求证：；（2）若，求的长30（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，已知平分，将等边三角形的一个顶点放在射线上，两边分别与交于点（1）如图1，当三角形绕
9、点旋转到时，求证：；（2）如图2，当三角形绕点旋转到与不垂直时，线段与之间有什么数量关系？请说明理由（3）如图3，当三角形绕点旋转到与的反向延长线相交时，线段与之间有什么数量关系？（直接写出它们之间的数量关系，不用说明理由）考题3：直角三角形问题综合一、单选题1（浙江婺城·八年级期末）下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是A三个角的比是1：2：3B三条边满足关系C三条边的比是2：3：4D三个角满足关系【答案】C【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案【详解】A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则，故正确；B、三条边满足关系，故正确；C、三条边
10、的比为2：3：4，故错误；D、三个角满足关系，则为，故正确故选C【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为即可2（2020·浙江浙江·八年级期末）已知等边的边长为3，点E在直线上，点D在直线上，且，若，则的长为（ ）A6B9C3或6D3或9【答案】D【分析】在线段的延长线上时，过点作于，当在线段的延长线时，过点作于，根据等边三角形的性质求出长和，解直角三角形求出，求出，即可求出答案【详解】解：点在直线上，点位置有两种情况：在线段的延长线上时，过点作于，是等边三角形，的
11、边长为3，；如图2，当在线段的延长线时，过点作于，是等边三角形，的边长为3，；即或3，故选：D【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键3（2020·浙江杭州·八年级期末）如图1是一张型站立式琴架，其撑开后示意图如图2所示，支架相交于点，经测量得到，要使琴架高度为，则两支架展开角的度数为（ ）ABCD【答案】B【分析】作BECD于E，根据题意，得在RtCBE中，CB5070120cm，BE60cm，由此可以推出C30°，接着可以求出CD30°，再根据三角形的内角和
12、即可求出COD的度数【详解】解：解：作BECD于E，CB5070120cm，BE60cm，C30°，CODO，CD30°，COD180°30°30°120°故选：B【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理作出辅助线得到C30°是解题的关键4（2020·浙江浙江·八年级期末）某个信封的简易平面示意图如图所示，可看作将与叠放在长方形内，且已知与的长度之比为，点到边的距离是，则图中阴影部分面积是（ ）ABCD【答案】B【分析】过点P作PFAD于点F，延长FP交BC于点E
13、，过点M作MGAB于点G，则PEBC，PE1.5，EFAB，根据ADAB74可设AD7k，AB4k，然后根据等腰直角三角形的性质可得PF3.5k，根据EFAB可得3.5k1.54k，进而求得k3，由此可得AD21，AB12，最后根据三角形的面积公式求解即可【详解】解：过点P作PFAD于点F，延长FP交BC于点E，则PEBC，过点M作MGAB于点G，由题意得：PE1.5，EFAB，ADAB74，设AD7k，AB4k，在RtADP中，PFAD，APDP，PFAD3.5k，PAD45°，同理可得：在BCQ中，QBC45°，EFAB，3.5k1.54k，解得：k3，AD21，AB1
14、2，PAD45°，QBC45°，ABCBAD90°，MABMBA45°，ABM为等腰直角三角形，且AMBM，在RtABM中，MGAB，AMBM，MGAB6，SABMAB·MG×12×636，同理可得：SDCN36，阴影部分的面积为363672，故选：B【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及判定，长方形的定义，三角形的面积公式，熟练掌握等腰直角三角形的性质及判定以及正确作出辅助线，设出未知数是解决本题的关键5如图，在中，点在上，且连接，若，则的大小是（ ）ABCD【答案】C【分析】如图，取CF的中点T，连接DT，AT想办法证
15、明AC=AF，推出CFA=45°即可解决问题【详解】解：如图，取CF的中点T，连接DT，ATBAC=90°，FDBC，CAF=CDF=90°，AT=DT=CF，TD=TC=TA，TDA=TAD，TDC=TCD，ADB=45°，ADT+TDC=135°，ATC=360°-2×135°=90°，ATCF，CT=TF，AC=AF，AFC=45°，BFD=45°-32°=13°，BDF=90°，B=90°-BFD=77°，故选：C【点睛】本题考
16、查直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型6（2020·浙江余姚·八年级期中）BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内，若GHBC，且AGF的面积，则五边形DECFG的周长为 ( )A10B12C20D24【答案】D【分析】由证明，根据全等三角形的对应边相等得到，再由解得，继而设，在中，利用勾股定理解得，再结合三角形面积公式可解得，得到，最后利用等量代换解得五边形的周长即可【详解】解：是等边三角形FGH是等边三角形，ABC是等边三角形在与中，设，在中，即
17、BDE和FGH是两个全等的等边三角形，五边形的周长为：故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键7（2020·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在等腰中，点P是内一点，且，以为直角边，点C为直角顶点，作等腰，下列结论：点A与点D的距离为；，其中正确结论有是（ ）ABCD【答案】C【分析】连结AD，由等腰 ，可得AC=BC，等腰，可得CD=CP，由余角性质可DCA=PCB，可证ADCBPC（SAS）可判断，由勾股定理DP=，再由，可证ADP为
18、等腰直角三角形，可判断，由PB与PD可求BD=2，由勾股定理AB=，可判断，由面积可判断即可【详解】连结AD，在等腰中，AC=BC，是等腰三角形，CD=CP，ACD+ACP=90°，ACP+PCB=90°，DCA=PCB，在ADC和BPC中，AC=BC，DCA=PCB，DC=PC，ADCBPC（SAS），点A与点D的距离为正确，在RtDCP中，由勾股定理DP=，在ADP中，ADP为等腰直角三角形，ADDP，正确；BD=BP+PD=2，在RtADB中，由勾股定理，AB=，不正确；，不正确故选择：C【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，
19、勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用是解题关键8（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，已知，线段，点为射线上一点，则下列结论正确的是（ ）当，时，可得到形状唯一确定的；当，时，可得到形状唯一确定的；当时，在射线上存在三个点使得为等腰三角形；当时，在射线上存在三个点使得为等腰直角三角形ABCD【答案】A【分析】过A作AHOP于点H，求出AH的长，分别根据的度数画出相应图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质判断各结论【详解】解：如图所示：过A作AHOP于点H，OA=4，=30°，AH=OA=
20、5;4=2，又AHOP，AH=AB，B与H重合，则AOB形状唯一确定，故正确；如图所示，过点A作AHOP于点H，OA=4，=45°，AHOP，AH=OH，即AH=3，ABAH，当B在图中B1，B2位置时，都能使得AB=3，则AOB不唯一，有2个，故错误；如图所示，有3个B点使得AOB为等腰三角形，即AB1=AO=4，OB2=OA=4，B3A=B3O，故正确；如图所示，ABOA于点A时，AOB1为等腰直角三角形，AB2OP于点B2时，AOB2为等腰直角三角形，OP上有2个点B使得AOB为等腰直角三角形，故错误；即正确的结论为：，故选A【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的
21、性质，直角三角形的性质，确定三角形的条件，解题的关键是根据各种情况画出图形，结合图形的性质解答9（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，点分别在直角边上，且交于点P，有下列结论：图形中全等的三角形只有两对；的面积等于四边形的面积的2倍；其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】结论错误因为图中全等的三角形有3对；结论正确由全等三角形的性质可以判断；结论正确利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断结论正确利用全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断【详解】解：结论错误理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为AOC
22、BOC，AODCOE，CODBOE由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得AOCBOCOCAB，ODOE，AOD=COE在AOD与COE中，AODCOE（ASA）同理可证：CODBOE结论正确理由如下：AODCOE，SAOD=SCOE，S四边形CDOE=SCOD+SCOE=SCOD+SAOD=SAOC=SABC，即ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍结论正确，理由如下：AODCOE，CE=AD，CD+CE=CD+AD=AC=OA结论正确，理由如下：AODCOE，AD=CE；CODBOE，BE=CD在RtCDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，AD2+BE2=DE2AOD
23、COE，OD=OE，又ODOE，DOE为等腰直角三角形，OD2+OE2=2OE2=DE2，AD2+BE2=2OE2故选C【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合利用知识，灵活解决问题10（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，以各边为边分别向外作等边三角形，编号为、，将、如图所示依次叠在上，已知四边形与四边形的面积分别为和，则斜边的长为（ ）A5B10CD【答案】B【分析】设等边ACF、等边ABD、等边BCE的面积分别为S1，S2，S3，BC=a，AC=b，AB=c，由勾股定理得，则；根据等边三角形的面积公式得到，根据已知条
24、件列出方程即可得到结论【详解】设等边ACF、等边ABD、等边BCE的面积分别为S1，S2，S3，BC=a，AC=b，AB=cABC是直角三角形，且BAC=90等边三角形的面积=边长2，由题意， 即BC=10故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，关键是把直角三角形三边的平方关系转化为三个等边三角形的面积关系二、填空题11（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级开学考试）如图，ABC中，A15°，AB是定长点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED若BE+ED的最小值是4，则AB的长是_【答案】8【分析】作点B关于AC的对称点B'，
25、过B'作B'D'AB，交AC与点E'，连接BE'，B'D'即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可【详解】解：作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'D'AB，交AC与点E'，连接BE'点B关于AC的对称点B'，B'AE=CAB=15°，BE'= B'E'B'AB=30°，B'D'AB，当点E与E'，点D与点D'重合时，BE+ED时，值最小，B'D
26、9;即为BE+ED的最小值，即B'D'=4，B'D'AB，B'AB=30°AB= A'B'=8，故答案为：8【点睛】此题考查轴对称问题，关键是作点B关于AC的对称点B'，利用轴对称的性质解答即可12（浙江奉化·八年级期末）如图是由 5 个边长为 1 的正方形组成了“十”字型对称图形，则图中BAC 的度数是_【答案】45.【解析】【分析】连接BC，通过计算可得AB=BC，再利用勾股定理逆定理证明ABC是等腰直角三角形，从而得出结果.【详解】解：连接BC，因为每个小正方形的边长都是1，由勾股定理可得，AB=BC，A
27、BC=90°.BAC=BCA=45°.故答案为45°.【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是连接BC，构造等腰直角三角形，而通过作辅助线构造特殊三角形也是解决角度问题的常见思路和方法.13（2020·浙江台州·八年级期中）如图,点P是的角平分线OC上一点，PNOB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM=3,ON=4,点D为OA上一点，若满足PD=PM,则OD的长度为_ 【答案】3或5【分析】过点P作PEOA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE，即可求O
28、E=ON=4，由题意可证PMNPDE，可求OD的长【详解】如图：过点P作PEOA于点EOC平分AOB，PEOA，PNOBPE=PNPE=PN，OP=OPOPEOPN（HL）OE=ON=4OM=3，ON=4MN=1若点D在线段OE上，PM=PD，PE=PNPMNPDE（HL）DE=MN=1OD=OE-DE=3若点D在射线EA上，PM=PD，PE=PNPMNPDE（HL）DE=MN=1OD=OE+DE=5故答案为3或5【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题关键14（2020·浙江温州·八年级期末）如图, 在ABC中, ACB的平分线交AB于
29、点D, DEAC于点E, F为BC上一点,若DF=AD, ACD与CDF的面积分别为10和4, 则AED的面积为_【答案】3【分析】如图（见解析），过点D作，根据角平分线的性质可得，再利用三角形全等的判定定理得出，从而有，最后根据三角形面积的和差即可得出答案【详解】如图，过点D作平分，又则解得故答案为：3【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键15（2020·浙江浙江·八年级期中）如图，已知：BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，AB6，AC3，则BE_【答案
30、】【分析】连接CD、BD，由BAC的平分线与BC的垂直平分线相较于点D，DEAB，DFAC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，从而得到AF=AE，可证的RtCDFRtBDE，则可得BE=CF，即可得到结果【详解】解：如图所示，连接CD、BD，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，DF=DE，F=DEB=90°，ADF=ADE，AE=AF，DG是BC的垂直平分线，CD=BD，在RtCDF和RtBDE中RtCDFRtBDEBE=CF，AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，AB=6，AC=3，BE=故答案为：【点睛】本题主要考
31、查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键16（2020·浙江·模拟预测）如图，的高、交于点F，是等腰直角三角形，连结，则_【答案】45°【分析】根据已知得出AD=BD，再利用HL判定ACDBFD，进而可得CDFD，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解【详解】解：AD、BE 是ABC的高，ADBC，BEAC,ADBADC90°是等腰直角三角形AD=BD在RtBDF和RtADC中，RtACDRtBFD，CDFD，又CDF90°CDF是等腰直角三角形CFD45°故答案为45°
32、;【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质证得CDFD17如图，在中，于点，与相交于，且，则_°【答案】45【分析】先根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得【详解】，和都是直角三角形，在和中，是等腰直角三角形，故答案为：45【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键18（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，在ABC中，ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DFBC，D
33、GAB，垂足分别为 F、G若BG5，AC6，则ABC 的周长是_ 【答案】16【分析】连接AD、DC证明RtDGARtDFC（HL）可得出AGCF，再证明RtBDGRtBDF（HL），得出BGBF，则可求出答案【详解】解：连接AD、DCBD平分ABC，DGAB，DFBC，DGDFD在AC的中垂线上，DADC在RtDGA与RtDFC中，DGDF，DADC，RtDGARtDFC（HL）AGCF又BDBD，DGDFRtBDGRtBDF（HL）BGBF又AGCF，ABC的周长AB+BC+ACBGAG+BF+FC+AC2BG+AC2×5+616故答案为：16【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性
34、质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型19（2017·浙江上城·八年级期中）在等腰中，过点作直线，是上的一点，且，则_【答案】或【解析】如图，作于点，且有个，点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力20（2020·浙江浙江·八年级期末）在中，为直线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为_【答案】或4或或【分析】分AC=AD、BA=BD、DA=DC、AC=CD四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质或勾股定理求解即可【详解】在ABC中
35、，ABC=90，CA=3，CB=1，AB=，当AC=AD时，ACD为等腰三角形，如图，AC=AD，AB=AB，ABC=ABD=90，RtABDRtABC(HL)，BD=BC=1，；当BA=BD时，ABD为等腰三角形，如图，BA=BD=，；当DA=DC时，ACD为等腰三角形，如图，作DEAC于E，设BD=，DA=DC，DA=DC=，ABD=ABC=90，即，解得：，即BD=，；当AC=CD时，如图，综上，此等腰三角形的面积为或4或或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分类讨论、正确的识别图形是解题的关键三、解答题21（2020·浙江浙江·
36、;八年级期末）如图，中，于，于，与相交于点（1）如图1，求的度数；（2）如图2，和的平分线相交于点，求的度数；（3）如图3，点为的中点，连接和，请判断的形状，并说明理由【答案】（1）BFC =120°；（2）；（3）为等腰三角形，理由见解析【分析】（1）利用同角的余角相等，证明CFD=A，再利用邻补角即可解决问题（2）求出FBC+FCB=60°，再根据角平分线的定义求出GBC+GCB=30°，由此即可解决问题（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=PD，从而可得为等腰三角形【详解】解：（1）BDAC于D，CEAB于E，AEC=BDC=90°
37、;，A+ACE=90°，ACE+CFD=90°，CFD=A=60°，BFC=180°-DFC=180°-A=120°；（2）由（1）得BFC=120°，FBC+FCB=180°-BFC=60°，FBC、FCB的平分线交于点G，；（3）为等腰三角形，理由如下：于，于，点为的中点，PE=PD，为等腰三角形【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，等腰三角形的定义，直角三角形斜边上的中线，角平分线的有关证明和三角形内角和定理熟练掌握这些定理，并能正确识图是解题关键22（2020·浙江浙江&
38、#183;八年级期末）已知：如图，在中，垂直于点，为上一点，且，（1）求的度数；（2）求证：【答案】（1）45°；（2）见解析【分析】（1）说明ABD是等腰直角三角形，即可得到ABC；（2）利用HL证明RtBDFRtADC，可得FBD=DAC，结合三角形内角和可得AEF=90°，即可得证【详解】解：（1）ADBC，ADB=ADC=90°，AD=BD，ABD是等腰直角三角形，ABC=45°；（2）在RtBDF和RtADC中，RtBDFRtADC（HL），FBD=DAC，又BFD=AFE，AEF=BDF=90°，BEAC【点睛】此题考查全等三角形的
39、判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是根据HL证明RtBDFRtADC23（2020·浙江浙江·八年级期末）已知：如图，与相交于点P求证：（1）（2）是等腰三角形【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得ABP=BAP，从而得到PA=PB，即可得证【详解】解：（1）C=D=Rt，AC=BD，AB=BA，RtABCRtBAD（HL）；（2）RtABCRtBAD，ABP=BAP，PA=PB，PAB是等腰三角形【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，证明RtABCRtBAD是解题的关键24（2020·浙
40、江浙江·八年级期末）如图，在中，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且（1）求证：；（2）若，求的度数【答案】（1）见详解；（2）15°【分析】（1）由ABCB，ABC90°，AECF，即可利用HL证得RtABERtCBF；（2）由ABCB，ABC90°，即可求得CAB与ACB的度数，即可得FCB的度数，又由RtABERtCBF，即可求得EAB的度数，再得出EAC的度数即可【详解】（1）证明：ABC90°，ABE与CBF为直角三角形在RtABE与RtBCF中，RtABERtCBF（HL）；（2）ABBC，ABC90°，BACACB45
41、°，ACF75°，FCB30°，RtABERtCBF，EABFCB30°，EAC45°-30°=15°【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型25（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，点D为BC的中点，于点，于点，且，求证：【答案】见详解【分析】求出BDCD，DEBDFC90°，根据HL证出RtBDERtCDF，根据全等三角形的性质得出BC，根据等腰三角形的判定推出即可【详解】证明： D是BC的中点，BDCD
42、，DEAB，DFAC，DEBDFC90°，在RtBDE与RtCDF中，RtBDERtCDF（HL），BC，ABAC【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的判定的应用，证明RtBDERtCDF是解题关键26（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且（1）求证：；（2）若，求的度数【答案】（1）证明见解析；（2）70°【分析】（1）可根据“HL”判断RtABERtCBF；（2）由AB=CB，ABC=90°，可判断ABC为等腰直角三角形，则BAC=BCA=45°，可得到BAE=20°
43、，再根据RtABERtCBF得到BCF=BAE=20°，然后根据CFA=90°-FCB进行计算【详解】解：（1）证明：如图，ABC=CBF=90°，在RtABE和RtCBF中，RtABERtCBF（HL），（2）AB=CB，ABC=90°，BAC=BCA=45°，CAE=25°，BAE=45°-25°=20°，RtABERtCBF，BCF=BAE=20°，CFA=90°-20°=70°【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质：判定直角三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的判定与性质27（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，是上的一点，且，（1）与全等吗？请说明理由；（2）若，请求出的面积【答案】（1）全等，理由见解析；（2）【分析】（1）首先根据等角对等边证明，证明是直角三角形，然后利用定理证明与全等
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