1、第第 12 章章 函数及其表示函数及其表示 【知识衔接】 初中知识回顾 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,如果bkxy(k,b 是常数,k0),那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地,当一次函数bkxy中的 b 为 0 时,kxy (k 为常数,k0)。这时,y 叫做 x 的正比例函数。 一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线;一次函数bkxy的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数kxy 的图像是经过原点(0,0)的直线。 2、反比例函数的概念 一般地,函数xky (k 是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x
2、0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0,函数 y0,所以,它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 3、二次函数的概念 一般地,如果)0,(2acbacbxaxy是常数,那么 y 叫做 x 的二次函数。 )0,(2acbacbxaxy是常数,叫做二次函数的一般式。 二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 二次函数图像的画法 五点法: (1)先
3、根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点: 当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 二次函数的解析式有三种形式:学=科网 (1)一般式:)0,(2acbacbxaxy是常数, (2)顶点式:)0,()(2akhakhxay是常数, (3)当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时,即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时,根据二次三项式的分解因式)(2
4、12xxxxacbxax,二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点,则不能这样表示。 高中知识链接 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x),xA 中,自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的定义域;函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数 函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 【经典题型】 初中经典题型 1在函数12xyx中,自变量 x 的取值范围 【答案】x1 且 x2 【解析】 试题解析:根据题意得:
5、x-10 且 x-20, 解得:x1 且 x2 【点睛】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负 2如图,正方形 ABCD 边长为 4,点 P 从点 A 运动到点 B,速度为 1,点 Q 沿 BCD 运动,速度为 2,点 P、Q 同时出发,则BPQ 的面积 y 与运动时间 t(t4)的函数图象是( ) A B C D 【答案】B 综上可得全过程的函数图象,先是开口向下的抛物线,然后是直线; 故选 B 3经过(4,0), ( 2,0),(0,3
6、)ABC三点的抛物线解析式是 【答案】y=38x2+ 34x+3 【点晴】设抛物线解析式为 y=a(x+2)(x4),再把 C(0,3)坐标代入二次函数 y=a(x+2)(x4)中,求出 a 的值即可 4如图,抛物线 y1=(x+1)2+1 与 y2=a(x4)23 交于点 A(1,3),过点 A 作 x 轴的平行线,分别交两条抛物线于 B、C 两点,且 D、E 分别为顶点则下列结论:学科=网 a=;AC=AE;ABD 是等腰直角三角形;当 x1 时,y1y2 其中正确结论的个数是( ) 1223 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【解析】 试题解析:抛物线 y1=(x+1)
7、2+1 与 y2=a(x4)23 交于点 A(1,3), 3=a(14)23, 解得:a=23,故正确; E 是抛物线的顶点, AE=EC, 无法得出 AC=AE,故错误; 当 y=3 时,3=(x+1)2+1, 解得:x1=1,x2=3, 故 B(3,3),D(1,1), 则 AB=4,AD=BD=22, AD2+BD2=AB2, ABD 是等腰直角三角形,正确; (x+1)2+1=23(x4)23 时, 解得:x1=1,x2=37, 121212当 37x1 时,y1y2,故错误 故选 B 高中经典题型 1函数 13f xx的定义域是( ) A 0,3 B 3, C 3, D 3, 【答案
8、】D 【解析】要使函数 13f xx有意义,则有30 x ,即3x ,故函数 f x的定义域为3,,故选 D 2设函数24yx的定义域A,函数 y=ln(1-x)的定义域为B,则AB=( ) A (1,2) B (1,2 C (-2,1) D -2,1) 【答案】D 【解析】由240 x得22x ,由10 x得1x, 故AB= | 22 |1 | 21xxx xxx ,选 D 3函数的图象大致为( ) 【答案】D 【解析】分析:由特殊值排除即可 当时, ,排除 A,B ,当时,,排除 C 故正确答案选 D 4已知函数132f xx,则 f x的解析式是( ) A 31f xx B 31f xx
9、 C 32f xx D 34f xx 【答案】A 【解析】由于1311f xx,所以 31f xx 5已知全集,集合, ,则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A B C D 【答案】B 【解析】分析:求出函数的值域可得集合,解不等式可得集合,然后可求出 详解:由题意得, 图中阴影部分所表示的集合为, 故选 B 6已知函数的值域是,则实数的取值范围是( ) A B C D 【答案】C 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1使函数有意义的自变量的取值范围是( ) A B C D 【答案】C 试题分析:根据二次根式,被开方数可得 3-x0,解得 x3,故选 C 2函数211xyxx的自变
10、量 x 的取值范围为( ) A x1 B x1 C x1 D x1 且 x1 【答案】D 3x0 x3x0 xa0a 3在同一平面直角坐标系中,函数 y=mx+m(m0)与myx(m0)的图象可能是( ) A B C D 【答案】D 4如图,二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 B(0,2)它与反比例函数 y=的图象交于点 A(m,4),则这个二次函数的解析式为( ) Ay=x2x2 By=x2x+2 Cy=x2+x2 Dy=x2+x+2 【答案】A 5对称轴平行于 y 轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么抛物线解析式是( ) A y=2x2+8x+3 B y=2x
11、-28x+3 C y=2x2+8x5 D y=2x-28x+2 【答案】C 【解析】根据题意,设 y=a(x2)2+3,抛物线经过点(3,1),所以 a+3=1,a=2 因此抛物线的解析式为:y=2(x2)2+3=2x2+8x5故选:C 6点(1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数 y=的图象上,则 y1,y2,y3的大小关系是( ) A y3y2y1 B y2y3y1 C y1y3y2 D y1y2y3 【答案】D 再战高中题 能力提升 B 组组 1下列函数的定义域与相同的是 A B C D 【答案】D 2下列函数中,定义域为0 x x 的函数是( ) A lnf xx B 1f x
12、x C f xx D 2xf x 【答案】A 【解析】 1f xx的定义域为R|0 xx, f xx的定义域为0 x x , 2xf x 定义域为R 故选:A 3已知集合2|9 Axyx,| Bxxa,若ABA,则实数a的取值范围是( ) A , 3 B , 3 C ,0 D 3, 【答案】A 【解析】由已知得3,3A ,由ABA,则AB,又,Ba,所以3a故选 A 4如图所示的图像表示的函数的解析式为 A y32|x1|(0 x2) B y32|x1|(0 x2) C y32|x1|(0 x2) D y1|x1|(0 x2) 【答案】B 【解析】当0,0 xy,排除,A C选项当31,2xy,排除D选项,故选 B 5若函数 f x满足12f xx,则 f x ( ) A 22x B 21x C 21x D 22x 【答案】A 【解析】1212f xx,所以 22f xx,选 A 6函数 132f xx的定义域为_ 【答案】3,2; 【解析】要使函数有意义,则3 20 x,解得32x ,所以函数定义域为3,2,故填3,2 7函数的定义域为_;值域为_ 【答案】 ; 8已知函数,,则_ 【答案】3 【解析】由题意,得,即,解得,即故填 3学-科网