1、第第 17 章章 几种特殊的三角形几种特殊的三角形 【知识衔接】 初中知识回顾 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，因而在等腰ABC中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上学-科网 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心 高中知识链接 等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质 直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半 在有030角的直角三角形中，030角所对的直角边必为斜边的一半 【经典题型】 初中经典题型 1、在ABC中，3,2.ABACBC 求：(1)ABC的面积及AC边上的高BE；
2、(2)ABC的内切圆的半径r； (3)ABC的外接圆的半径R 解：(1)如图，作ADBC于D ,ABACDQ为BC的中点， 2222BDABAD, 图 3.2-15 2222221ABCS 又BEACSABC21,解得4 23BE (2)如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连,IA IB IC， IACIBCIABABCSSSS， 即1112 2222AB rBC rCA r ， 解得22r (3)ABC是等腰三角形， 外心O在AD上，连BO，则OBDR t中，,ODADR222,OBBDOD 222(2 2)1 ,RR解得9 2.8R 2、如图，在ABC中，AB=AC，P 为 BC上任意
3、一点求证：PCPBABAP22 证明：过 A 作BCAD于 D 在ABDR t中，222ADABBD=- 在APDR t中，222APADDP=- )()(22222DPBDDPBDABDPBDABAP DCBDBCADACAB, PCDPCDDPBD PCPBABAP22 3、已知等边ABC和点 P，设点 P 到三边 AB，AC，BC 的距离分别为123,h h h，ABC的高为h，“若点P 在一边 BC 上，此时30h =，可得结论：123hhhh+=” 解：(1)当点 P 在ABC内时， 法一法一：如图，过 P 作B C分别交,AB AM AC于,B M C， 由题设知AMPDPE=+，
4、而AMAMPF=-， 故PDPEPFAM+=，即123hhhh+= 法二法二：如图，连结 PA、PB、PC，PBCPACPABABCSSSS， PFBCPEACPDABAMBC21212121， 又ABBCAC=，PFPEPDAM，即123hhhh+= (2)当点 P 在ABC外如图位置时，123hhhh+=不成立，猜想：123hhhh+-= 点睛：在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法 高中经典题型 1如图，在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC=1，E、F 为线段 AB 上两动点，且ECF=45 ，过点 E、F分别作 BC、AC 的垂线相
5、交于点 M，垂足分别为 H、G现有以下结论：AB=；当点 E 与点 B 重合时，MH=；AF+BE=EF；MGMH=，其中正确结论的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】C 【解析】解：在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC=1 AB=(所以正确) 如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， MBBC，MBC=90 ， MGAC， MGC=90 =C=MBC， MGBC，四边形MGCB是矩形， MH=MB=CG， FCE=45 =ABC，A=ACF=45 ， CE=AF=BF， FG是 ACB的中位线， GC=AC=MH，故正确； 如图2所示， AC=BC，ACB=90
6、， A=5=45 将 ACF顺时针旋转90 至 BCD， 则CF=CD，1=4，A=6=45 ；BD=AF； 2=45 ， 1+3=3+4=45 ， DCE=2 在 ECF和 ECD中， ， ECFECD(SAS)， EF=DE 5=45 ， BDE=90 ， DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故错误； 7=1+A=1+45 =1+2=ACE， A=5=45 ， ACEBFC， =， AFBF=ACBC=1， 由题意知四边形CHMG是矩形， MGBC，MH=CG， MGBC，MHAC， =；=，即=；=， MG=AE；MH=BF， MGMH=AEBF=AEBF=ACBC=， 故正
7、确故选：C 2如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上的一点，连接 BE，DE (1)如图 1，求证： BCEDCE； (2)如图 2，延长 BE 交直线 CD 于点 F，G 在直线 AB 上，且 FG=FB 求证：DEFG； 已知正方形 ABCD 的边长为 2，若点 E 在对角线 AC 上移动，当 BFG 为等边三角形时，求线段 DE 的长 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；DE=2(31) 【解析】试题分析：(1)利用判定定理(SAS)可证； (2)利用(1)的结论与正方形的性质，只需证明FDE+DFG=90 即可； 由 DEFG 可构造直角三角形，利用等边三角形
8、的性质及三角函数可求 DE 的长 (2)由(1)可知 BCEDCE， FDE=FBC 又四边形 ABCD 是正方形， CDAB， DFG=BGF，CFB=GBF， 又FG=FB， FGB=FBG， DFG=CFB， 又FCB=90 ， CFB+CBF=90 ， EDF+DFG=90 ， DEFG 如下图所示， BFG 为等边三角形， BFG=60 ， 由(1)知DFG=CFB=60 ， 在 Rt FCB 中，FCB=90 ， FC=CBcot60=2 33，DF=2-2 33， 又DEFG， FDE=FED=30 ，OD=OE， 在 Rt DFO 中， OD=DFcos30=3-1， DE=2
9、(3-1) 【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学知识的能力学！科网 3如图，在菱形纸片 ABCD 中， 360ABAo，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点FG，分别在边AB AD，上，则tan EFG的值为_ 【答案】2 33 【解析】如图，作 EHAD 于 H，连接 BE，BD 产 AE 交 FG 于 O，因为四边形 ABCD 是菱形，A=60 ，所以 ADC 是等边三角形，ADC=120 ，点 E 是 CD 的中点，所以 ED=EC=32，BECD，Rt
10、BCE中，BE=3CE=3 32，因为 ABCD，所以 BEAB，设 AF=x，则 BF=3-x，EF=AF=x，在 Rt EBF 中，则勾股定理得， x2=(3-x)2+(3 32)2， 解得 x=218， Rt DEH 中， DH=12DE=34， HE=3DH=3 34， Rt AEH中，AE=2233 3344=6 74，所以 AO=3 74，Rt AOF 中，OF=22213 784=3 218，所以 tanEFG=3 743 218=2 33，故答案为2 33 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1已知：在ABC中，AB=AC，120 ,oBACAD为 BC 边上的高，则
11、下列结论中，正确的是( ) A32ADAB B12ADAB CADBD D22ADBD 2三角形三边长分别是 6、8、10，那么它最短边上的高为( ) A6 B45 C24 D8 3如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_ 4已知:, ,a b c是ABC的三条边，7,10ab，那么c的取值范围是_ 5若三角形的三边长分别为 1、a、8，且a是整数，则a的值是_ 6如图，等边ABC的周长为 12，CD 是边 AB 上的中线，E 是 CB 延长线上一点，且 BD=BE，则CDE的周长为( ) A64 3 B18 12 3 C62 3 D184 3 7如图，在ABC中
12、，2CABCA ，BD 是边 AC 上的高，求DBC的度数 3如图，ABCR t，,90BM 是 AC 的中点，AM=AN，MN/AB，求证：MN=AB 4如图，在ABC中，AD 平分BAC，AB+BD=AC求:BC的值 5如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且14ECBC=， 求证：90EFA A 组参考答案 1B 2 D 3120o 4317c 58 6A 718o 8连BM，证AMNMAB 9在 AC 上取点 E，使 AE=AB，则AEDABD，BAED ， 又 BD=DE=EC， ,:2:1.CEDCBC 10可证FCEADF，因而AFD与CFE互
13、余，得90oEFA 再战高中题 能力提升 B 组组 1已知：如图，在 ABC 中，AB=BC，D 是 AC 中点，点 O 是 AB 上一点，O 过点 B 且与 AC 相切于点 E，交 BD 于点 G，交 AB 于点 F (1)求证： BE 平分ABD； (2)当 BD=2，sinC=12时，求O 的半径 【答案】(1)证明见解析(2)43 【解析】试题分析：连接 OE，根据等腰三角形三线合一的性质和切线的性质得出 OEAC， BDAC，证得 OEBD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可证得结论； (2)根据 sinC=12求出 AB=BC=4，设O 的半径为 r，则 AO=4-r，得出 si
14、nA=sinC，根据 OEAC，得出 sinA1=42OErOAr，即可求出半径 (2)BD=2，sinC=12，BDACBC=4，AB=4 设O 的半径为 r，则 AO=4-r AB=BC，C=A，sinA=sinC=12 AC 与O 相切于点 E，OEAC sinA=OEOA=4rr=12，r=43 2如图，在等边 ABC 中，点 E 为边 AB 上任意一点，点 D 在边 CB 的延长线上，且 EDEC (1)当点 E 为 AB 的中点时(如图 1)，则有 AE DB(填“”“”或“”)； (2)猜想 AE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想 【答案】(1)=；(2)AEBD 【解析】试
15、题分析： (1) BCE 中可证，BCE=30 ，又 EB=EC，则D=ECB=30 ，所以 BCE 是等腰三角形，结合 AE=BE即可； (2)过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，用 AAS 证明 DEBECF (2)当点 E 为 AB 上任意一点时，AE 与 DB 的大小关系不会改变理由如下： 过 E 作 EFBC 交 AC 于 F， ABC 是等边三角形， ABCACBA60 ，ABACBC AEFABC60 ，AFEACB60 ，即AEFAFEA60 AEF 是等边三角形AEEFAF ABCACBAFE60 ， DBEEFC120 ，DBEDFCEECD60 DEEC，DECDBE
16、DECF 在 DEB 和 ECF 中， DEBECF(AAS) BDEFAE，即 AEBD 点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，等边三角形的三条边相等，三个角也相等，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质等边三角形都有，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是常用的方法 3如图，平面直角坐标系中有等边 AOB，点 O 为坐标原点，OB2，平行于 x 轴且与 x 轴的距离为 1 的线段 CD 分别交 y 轴、AB 于点 C，D若线段 CD 上点 P 与 AOB 的某一顶点的距离为，则线段 PC(PC25)的长为_ 【答案】1或 2或 22 【解析】 【
17、分析】过点 A作 AEOB 交 CD于点 F，根据已知可求得 OE，AE3，AF2，AFCD，然后根据 AP，OP，BP三种情况分别讨论即可得 【详解】过点 A作 AEOB交 CD于点 F， AOB 是等边三角形，OB2， OE，AE3， OC1，CDOB，CFOE，AFAEOC2，AFCD， 点 P 在 CD上，AP， PF1，且点 P 可以在点 F左侧，也可以在点 F右侧； 当点 P 在点 F左侧时，PCCFPF125； 当点 P 在点 F右侧时，PCCFPF125，舍去； 当 OP时，过 P 作 PHx 轴，PH1， OH2，PCOH225； 同理当 BP时，BH2， PCOHOBBH2
18、225， 综上，PC1或 2或 22， 故答案为：1 或 2或 22 4如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将 AEF 绕其顶点 A 旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，BAE 的大小可以是 【答案】15 度或 165 度 5如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE=13AB，将矩形沿直线 EF 折叠，点 B恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交 EF 于点 Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF 是等边三角形其中正确的是 (填序号) 【答案】 【解析】 1323AEABBEPEABQ 在Rt ABE 中， 60AEP 6030BEFEFB， 2EFBE 60BFPBFPFQ BFP 为等边三角形 正确
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