1、第第 16 章章 三角形的“四心”三角形的“四心” 【知识衔接】 初中知识回顾 1、重心：三角形的三条中线交点 2、外心：是三角形三边中垂线的交点 3、内心：是三角形的三内角平分线的交点 4、垂心：是三角形三条高的交点 高中知识链接 1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍，重心和三顶点的连线将ABC 的面积三等分，重心一定在三角形内部 2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外学-科网 3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内 4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角
2、三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外 【经典题型】 初中经典题型 例 1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2：1 已知：D、E、F 分别为ABC三边 BC、CA、AB 的中点， 求证：AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1 证明：连结 DE，设 AD、BE 交于点 G， D、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE/AB，且12DEAB=， GDEGAB，且相似比为 1：2， GEBGGDAG2,2 设 AD、CF 交于点G，同理可得，2,2.AGG D CGG F= 则G与G重合， AD、BE、CF 交于一点
3、，且都被该点分成2:1 例 2：已知ABC的三边长分别为,BCa ACb ABc=，I 为ABC的内心，且 I 在ABC的边BCACAB、上的射影分别为DEF、 、，求证：2bcaAEAF+-= 证明：作ABC的内切圆，则DEF、 、分别为内切圆在三边上的切点， 例 3：已知：O 为ABC的重心和内心，求证：ABC为等边三角形 证明：如图， 连 AO 并延长交 BC 于 D，O 为三角形的内心，故 AD 平分BAC， DCBDACAB(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即 BD=DC 1ACAB，即ABAC= 同理可得，AB=BC ABC为等边三角形 例 4：已知：
4、ABC中，于于EACBEDBCAD,AD 与 BE 交于 H 点 求证：ABCH 高中经典题型 1、已知三角形的三边长分别为 5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 【答案】6.5，314 2、已知三角形的三边长为 5，12，13，则其内切圆的半径r 【答案】2 3、在ABC 中，A 是钝角，O 是垂心，AOBC，则 cos(OBC+OCB)= 【答案】22 4、设 G 为ABC 的重心，且 AG6，BG8，CG10，则ABC 的面积为 【答案】72 5、若900，那么以sin、cos、cottan为三边的ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 A、)cos(sin21 B
5、、)cot(tan21 C、cossin2 D、cossin1 【答案】A 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( ) A 三条中线的交点 B 三条高线交点 C 三个内角平分线交点 D 三边垂直平分线交点 【答案】C 【解析】试题解析：如图， OGAB，OFAC，OG=OF，O在A的平分线上，同理O在B的平分线上，O在C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选C 2已知等腰 ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是 ABC 的重心，那么 AG=_ 【答案】 【解析】分析：如图延长 AG 交 BC 于 H利用等腰三角形的三线合一，可知 A
6、H是高，利用勾股定理求出AH，根据重心的性质 AG=AH 计算即可 详解：如图延长 AG交 BC于 H G 是重心，BH=CH=3 AB=AC=5，AHBC，AH=4，AG=AH= 故答案为： 3如图，点 G 是 ABC 的重心，AG 的延长线交 BC 于点 D，过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，如果 BC6，那么线段 GE 的长为_ 【答案】2 【解析】分析：由点 G 是ABC 重心，BC=6，易得 CD=3，AG：AD=2：3，又由 GEBC，可证得AEGACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段 GE 的长 详解：点 G 是ABC 重心，BC=6， CD=BC=3，A
7、G：AD=2：3， GEBC， AEGADC， GE：CD=AG：AD=2：3， GE=2 故答案为：2 点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相 似三角形的判定和性质利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键 4已知点 G 是 ABC 的重心，AG=8，那么点 G 与边 BC 中点之间的距离是_ 【答案】4 【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解 详解：如图，D是 BC边的中点， G 是ABC的重心， AG=2GD=8，即 GD=4， 故点 G与边 BC中点之间的距离是 4 故答案为 4 5 如图， 等腰直角ABCV的中线AE、CF相交于点G， 若斜边AB的长为4 2， 则
8、线段AG的长为_ 【答案】4 53 【解析】F为AB中点， E为BC中点， 中线AE、CF的交点G为ACBV的重心， :2:1CG GF ， 4 2AB ，等腰直角ACBV， 12 22AFAB， 12 233GFCF， CFAB于F， Rt AGFV中， 2284 5893AGAFGF 点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2倍是解题的关键 6 如图， 在 ABC 中， AB=AC， AB 边的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D 已知 BDC 的周长为 14， BC=6，则 AB=_
9、【答案】8 【解析】 试题分析： 根据线段垂直平分线的性质， 可知 AD=BD， 然后根据BDC 的周长为 BC+CD+BD=14，可得 AC+BC=14，再由 BC=6 可得 AC=8，即 AB=8 故答案为：8 点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出 BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解 7阅读下面材料： 如图，AB 是半圆的直径，点 C 在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出 ABC 的三条高 小明的作法如下： (1)连接 AD，BE，它们相交于点 P； (2)连接 CP 并延长，交 AB 于点 F 所以，线段 AD，BE，CF 就
10、是所求的 ABC 的三条高 请回答，小明的作图依据是_ 【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点 【解析】AB 是直角， AEB90 ，ADB=90 ， AD,BE 是ABC 的高 三角形三条高线相较于一点， CF是 ABC的高 8 如图， 在ABC中，90ACB，BE平分ABC，DEAB于D， 如果3cmAC ， 那么AEDE等于_cm 【答案】3 【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CEDE，从而得出AEDEAECE 3cmAC故填 3 9ABC中，点O是ABC内一点且到ABC三边的距离相等， 40A ，则BOC_ 【答案】110 【解析】试题解析：如
11、图， O 到三角形三边距离相等， O 是内心， AO，BO，CO都是角平分线， CBO=ABO=12ABC，BCO=ACO=12ACB， ABC+ACB=180 -40 =140 ， OBC+OCB=70 ， BOC=180 -70 =110 10两个城镇AB、与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到AB、的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在DCE的内部，请画出该山庄的位置P(不要求写作法，保留作图痕迹) 【答案】作图见解析 试题解析：如下图，作线段AB的中垂线与DCE的平分线交于点P,点P即为所求 再战高中题 能力提升 B 组组 1、在锐角
12、ABC 中，内角为 A、B、C 三边为 a、b、c，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ， 外心到三边的距离之比为 ， 垂心到三边的距离之比为 2、如图，锐角ABC 的垂心为 H，三条高的垂足分别为 D、E、F，则 H 是DEF 的 3、如图，D 是ABC 的边 BC 上任一点，点 E、F 分别是ABD 和ACD 的重心连结 EF 交 AD 于 G 点，则 DG：GA 4、设ABC 的重心为 G，GA32，22GB，2GC，则ABCS 5、若 H 为ABC 的重心，AHBC，则BAC 的度数是( ) A、45 B、30 C、30或 150 D、45或 135 6、已知平行四边形 A
13、BCD 中，E 是 AB 的中点，AB10，AC9，DE12，求平行四边形 ABCD 的面积 B 组组参考答案参考答案 1、1：1：1； cba1:1:1； CBAc o s:c o s:c o s； CBAc o s1:c o s1:c o s1 2、内心 A B C E G F M D N A F B D C E H 3、21 4、26 5、D 6、分析：设 AC 交 DE 于 G，可推出 G 为ABD 的重心，EGA90，故可求出EGAS及 SABCD。 解：设 AC、BD 交于 G，连 BD 交 AC 于 O(如图) 由ABCD 知 BODO，OAOC 而 BEAE 故 G 为ABD 的重心 有431EDEG，3213232ACAOAG 而 EA5，故222AGEGEA,EGA90，AEGS6 1863ABGADESEGEDS 36182ADEABDSAEABS SABCD2ABDS72
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