1、第第 18 章章 圆圆 【知识衔接】 初中知识回顾 垂径定理：垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的应用很广泛，常见的有： (1)得到推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题 切线的性质与证明：切线的性质与证明： 切线的判定：(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 (3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质：学科-网 (1)切线与圆只有一个公共点 (2)切线到圆心的距离等于圆的半径 (3
2、)切线垂直于经过切点的半径 证明四点共圆的方法有：证明四点共圆的方法有： (1)到一定点的距离相等的点在同一个圆上 (2)同斜边的直角三角形的各顶点共圆 (3)线段同旁张角相等，则四点共圆 (4)若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆 (5)若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆 (6)四边形 ABCD 对角线相交于点 P，若 PA PCPB PD，则它的四个顶点共圆 (7)四边形 ABCD 的一组对边 AB、DC 的延长线交于点 P，若PDPCPBPA，则它的四个顶点共圆 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角
3、相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 高中知识链接 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线 相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个
4、圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切 两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含 弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 (4)切线长定理：从圆外
5、一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 【经典题型】 初中经典题型 例 1：如图，在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为( ) A. 10 cm B 16 cm C 24 cm D 26 cm 【答案】C 例 2：如图，已知在ABC 中，ABAC以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D若BAC40 ，则AD的度数是_度 【答案】140 【解析】 如解图，连接AD，OD，AB是直径，ADB90 ，又ABAC，BAD12BAC20 ，OAOD，ODAOAD20 ，AOD180 20 20 140 ，即A
6、D的度数为 140 例 3：如图，ABC 内接于O，B=60 ，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC (1)求证：PA 是O 的切线； (2)若 PD=，求O 的直径 【分析】(1)连结 OA、AD，如图，利用圆周角定理得到CAD=90 ，ADC=B=60 ，则ACD=30 ，再利用 AP=AC 得到P=ACD=30 ，接着根据圆周角定理得AOD=2ACD=60 ，然后根据三角形内角和定理可计算出OAP=90 ，于是根据切线的判定定理可判断 AP 与O 相切； (2)连接 AD，证得AOD 是等边三角形，得到OAD=60 ，求得 AD=PD=，得到 OD=，即可
7、得到结论 【解析】(1)证明：连接 OA， OAP=AOCP=90 ， OAPA， PA 是O 的切线 例 4：如图，设 AB 为圆的直径，过点 A 在 AB 的同侧作弦 AP、AQ 交 B 处的切线于 R、S，求证：P、Q、S、R 同点共圆 证明：连 PQ、QB 内四边形 ABQP 内接于圆 QBARPQ 又SB 为切线，AB 为直径 ABSAQB90 ，故QBAQSB RPQQSB P、Q、S、R 四点共圆 A B Q S R P 例 5：圆内接四边形 ABCD，O 为 AB 上一点，以 O 为圆心的半圆与 BC，CD，DA 相切，求证：ADBCAB 解：在 AB 上截取 BEBC，连结
8、OC，OD，DE，CE BEC21(180 B) ABCD 内接于圆， 180 BADC BEC21ADC 又 DA，DC 为半圆切线， 21ADCADOODC BECODC，即 C、E、O、D 四点共圆 AEDOCD21BCD21(180 A)， ADE180 AAED180 A21(180 A)21(180 A) ADEAED， ADAE ABAEBEADBC 高中经典题型 1、如图所示，在四边形 ABCP 中，线段 AP 与 BC 的延长线交于点 D，已知 ABAC 且 A，B，C，P 四点共圆 (1)求证：PCACPDBD； (2)若 AC4，求 AP AD 的值 【答案】(1)详见解
9、析(2)16 A D C O E B 2、如图，EB，EC 是O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是O 上两点，如果E46 ，DCF32 ，则BAD 等于_ 【答案】99 3、 如图，PA是O 的切线，切点为 A，过PA的中点M 作割线交O于点 B和C，若BMP110 ，BPC30 ，则MPB_ 【答案】20 【解析】 由切割线定理得， MA2MB MC， 又 MAMP， 故 MP2MB MC， 即MBMPMPMC， 又BMPPMC 故BMPPMC，所以MPBMCP，所以 30 MPBMCPAMB180 110 70 ，所以MPB20 4、如图，过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交
10、圆于点 A，点 B，且 PB7，C 是圆上一点，使得 BC5，BACAPB，则 AB_ 【答案】 35 5、如图， ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且 BDAC 过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F若 ABAC，AE6，BD 5，则线段 CF 的长为_ 【答案】83 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1、如图，CD 为O 的直径，弦 ABCD，垂足为 M，若 AB=12，OM：MD=5：8，则O 的周长为( ) A26 B13 C D 【分析】连接 OA，根据垂径定理得到 AM=AB=6，设 OM=5x，DM=8x，得到 OA=
11、OD=13x，根据勾股定理得到 OA= 13，于是得到结论 2、O 的半径为 1，弦 AB=，弦 AC=，则BAC 度数为 【答案】75 或 15 【解析】 试题分析：有两种情况： 96539 105121223如图 1 所示：连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OFAC 于 F，OEA=OFA=90 ，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cosOAE=，cosOAF=，OAE=30 ，OAF=45 ，BAC=30 +45 =75 ； 如图 2 所示： 连接 OA， 过 O 作 OEAB 于 E， OFAC 于 F， OEA=OFA=90 ， 由垂径定理得： AE=BE=， AF=
12、CF=， cosOAE=， cosOAF=， OAE=30 ， OAF=45 ， BAC=45 30 =15 ； 故答案为：75 或 15 3、将一副三角板 RtABD 与 RtACB(其中ABD=90 ，D=60 ，ACB=90 ，ABC=45 )如图摆放，RtABD 中D 所对直角边与 RtACB 斜边恰好重合以 AB 为直径的圆经过点 C，且与 AD 交于点 E，分别连接 EB，EC (1)求证：EC 平分AEB； (2)求的值 【分析】(1)由 RtACB 中 ABC=45 ，得出BAC=ABC=45 ，根据圆周角定理得出AEC=ABC，BEC=BAC，等量代换得出AEC=BEC，即
13、EC 平分AEB； (2)设 AB 与 CE 交于点 M根据角平分线的性质得出易求BAD=30 ，由直径所对的圆周角是直角得出AEB=90 ，解直角ABE 得到 AE=BE，那么=作 AFCE 于 F，BGCE于 G证明AFMBGM，根据相似三角形对应边成比例得出=，进而得出结论 3222AEOA32AFOA223222AEOA32AFOA22ACEBECSSAMAEMBEB3AMAEMBEB3AFAMBGMB3 作 AFCE 于 F，BGCE 于 G在AFM 与BGM 中，AFM=BGM=90 ，AMF=BMG，AFMBGM， =， = 4、如图，已知 AB 是圆 O 的直径，弦 CDAB，
14、垂足为 H，与 AC 平行的圆 O 的一条切线交 CD 的延长线于点 M，交 AB 的延长线于点 E，切点为 F，连接 AF 交 CD 于点 N (1)求证：CA=CN； (2)连接 DF，若 cosDFA=，AN=，求圆 O 的直径的长度 【分析】(1)连接 OF，根据切线的性质结合四边形内角和为 360 ，即可得出M+FOH=180 ，由三角形外角结合平行线的性质即可得出M=C=2OAF，再通过互余利用角的计算即可得出CAN=90 OAF=ANC，由此即可证出 CA=CN； (2)连接 OC，由圆周角定理结合cosDFA=，AN=，即可求出 CH、AH 的长度，设圆的半径为 r，则 OH=
15、r6，根据勾股定理即可得出关于 r 的一元一次方程，解之即可得出 r，再乘以 2 即可求出圆 O 直径的长度 AFAMBGMB3ACEBECSS1212CE AFCE EGAFBG3452 10452 10(2)连接 OC，如图 2 所示 cosDFA=，DFA=ACH，=设 CH=4a，则 AC=5a，AH=3a，CA=CN，NH=a，AN= = = a=，a=2，AH=3a=6，CH=4a=8 设圆的半径为 r，则 OH=r6，在 RtOCH 中，OC=r，CH=8，OH=r6， OC2=CH2+OH2，r2=82+(r6)2，解得：r=，圆 O 的直径的长度为 2r= 5、如图，AN 是
16、M 的直径，NBx 轴，AB 交M 于点 C (1)若点 A(0，6)，N(0，2)，ABN=30 ，求点 B 的坐标； (2)若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是M 的切线 【答案】(1) B(，2)(2)证明见解析 由勾股定理可知：NB=， B(，2) 45CHAC4522AHNH22(3 )aa102 102535034 3224 3ABAN4 3 CND=NCD， MC=MN， MCN=MNC， MNC+CND=90 ， MCN+NCD=90 ， 即 MCCD 直线 CD 是M 的切线 6、如图，设 A 为O 外一点，AB，AC 和O 分别切于 B，C 两点，APQ 为O
17、 的一条割线，过点 B 作BR/AQ 交O 于点 R，连结 CR 交 AO 于点 M，试证：A，B，C，O，M 五点共圆 A B G P C O M Q 解：连接 OB，OC，BC，则 OBAB，OCAC， A，B，O，C 四点共圆，BR/AQ， GBR=BAQ，而GBR=BCR， BAQ=BCR，即BAM=BCM，A，B，M，C 四点共圆，但 A，B，C 三点确定一个圆， A，B，C，O，M 五点共圆 7、如图，PA 切O 于 A，割线 PBC 交O 于 B，C 两点，D 为 PC 中点，且 AD 延长线交O 于点 E，又EADEBE2，求证：(1)PAPD；(2)DEADBD22 解：(1
18、)连接 AB ,2EADEBEBEEADEBE EF BDEABE，DBEBAD PA 切O 于点 A，EPAB DBE+EBAD+PAB PADBDA，PDPA (2)PA 切O 于点 A，PCPBPA2 D 为 PC 中点，PC2PD，PDPA， PDPBPD22,DP2PB， B 为 PD 中点，DC2BD，222BDBDBDDCBDDEAD 8、如图，PA，PB 是O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是 AB 与 PC 的交点，若 PE 长为 2，CD1，求 DE 的长度 A C D P O H E B A P B D O E C 解：连 PO 交 AB 于 H，设 DEx，则)
19、3(22xPCPEAP， 在 RtAPH 中，222PHAHAP ) 3(222xPHAH 在 RtPHD 中，222)2( xDHPH 由相交弦定理，知DCEDDBAD 而22)()(DHAHDHAHDHAHDBAD 122xDHAH 由可知，) 3(2)2(2xxx， DE2317 x 再战高中题 能力提升 B 组组 1如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为C，过作直线C的垂线，垂足为D若4 ，C2 3 ，则D 【答案】3 【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误凡是题目中涉
20、及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识 2如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且3BCPB，则ABAC 【答案】21 【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到 3如图，四边形ABCD是Oe的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE ()证明：DE ； ()设AD不是Oe的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形 【答案】()详见解析；()详见解析 试题解析： (I)由题设知, ,A B C D四点共圆， 所以DCBE 由已知得ECBE ， 故DE (II)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是Oe的直径，AD的中点为M，故OMAD，即MNAD所以/ADBC，故ACBE又 CBEE ，故EA 由(1)知，DE ，所以ADE为等边三角形 4如图，P 是圆 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与eO 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC的中点，AD 的延长线交圆 O 于点 E 证明：()BE=EC； ()ADDE=22PB 【 答案】()证明见解析；()证明见解析
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