1、 1集合 集合考查主要是与不等式结合的交并补运算，以及 Venn 图的理解运用要求掌握集合的概念、集合的表示方法、 元素与集合的关系、 集合之间的关系、 集合之间的交并补的运算， 能用 Venn 图表示集合之间的基本关系 2常用逻辑用语 本部分内容的考点为充分条件与必要条件， 全称量词和存在量词， 充分必要条件主要以其他的知识作为载体进行考查，全称量词和存在量词主要考查命题的否定 3不等式 不等式的考查主要为不等式性质的考查，不等式解法的考查，以及基本不等式的使用，题型以选择填空题为主另外不等式作为工具在大题解题过程中进行应用 一、集合 1集合间的关系与运算 （1） = ， = ； （2）UU
2、UABABUI痧?，UUUABABIU痧? 2含有( )个元素的集合有2个子集，有(2 1)个真子集 3当集合是不等式的解集时，通常借助数轴进行求解，若集合为抽象集合时，用 Venn 图求解 二、逻辑用语 1充分、必要条件 （1） ，则是的充分条件； （2） ，则是的必要条件； 命题趋势命题趋势 考点清单考点清单 专题专题 1 1 集合、常用逻辑用语集合、常用逻辑用语、不等式、不等式 （3） ，则和互为充要条件 2全称命题、特称命题及其否定 （1）全称命题： ，()，其否定为特称命题：:0 ，(0)； （2）特称命题：0 ，(0)，其否定为全称命题：: ，() 三、不等式 1一元二次不等式的解
3、法 解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解 2一元不等式的恒成立问题 对于20axbxc( 0)恒成立的条件为：二次项系数0a，0； 对于20axbxc( 0)恒成立的条件为： 0， 0， 0)，当且仅当 = 时，等号成立 （2）基本不等式的变形 2 2 2 (， )，当且仅当 = 时，等号成立； 2,2abab a bR，当且仅当 = 时，等号成立 一、选择题 1若集合 = *|1 3+， = *|( 1)( 2) 0+，则 =（ ） A*|1 2+ B*|2 3+ C*|1 3+ D 【答案】D 【解析】因为( 1)(
4、 2) 0 2或 1，所以 = ，故选 D 【点评】本题主要考查了几何的运算，掌握并集的定义是解题的关键，属于基础题型 2已知，均为的子集，且MNR，则MN RU （ ） A B C D 【答案】B 【解析】解法一：MNRQ，MNR，据此可得MNMRU ，故选 B 解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集 R R， 矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合MR， 矩形区域CDFG表示集合N，满足MNR， 结合图形可得：MNMRU ，故选 B 【点评】本题考查了几何的抽象概念，需要借助 Venn 图来进行求解，属于基础题 3已知全集 = 1，2，3，4，5，6，7，8， = 1，3
5、，6， = 3，4，5，指出Venn图中阴影部分 表示的集合是（ ） A*3+ B1，4，5，6 C2，3，7，8 D2，7，8 精题集训精题集训 （70 分钟） 经典训练题 【答案】C 【解析】因为 = 1，3，6， = 3，4，5， 所以 = *3+， = 1，3，4，5，6， 因为 = 1，2，3，4，5，6，7，8，所以( ) = 2，7，8， 由Venn图易知，Venn图中阴影部分表示的集合是( ) ( )， 故Venn图中阴影部分表示的集合是2，3，7，8，故选 C 【点评】本题考查的知识点是 Venn 图表达几何的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键 4
6、已知集合 = * 2 6 0+， = * = ln( 1)+，则 中的元素个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】因为集合 = * 2 6 0+ = *3， 2， 1，0，1，2+， ln(1) 1Bx yxx x， 所以 = 0，1，2，故选 B 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题 5已知集合 = ，2 2，0， = 2， ，若 = *1+，则 =（ ） A1 B2 C0 D1 【答案】B 【解析】因为 = *1+，所以1 ，1 又 = 1或2 2 = 1，且 2 2 0，得1a 因为2 0，所以 = 1，即 = 2，故选 B 【点评】本题考查了集合中元素的互异性以及集
7、合的运算，属于基础题 6某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A8 B7 C6 D5 【答案】C 【解析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为， 集合，中元素个数分别为A ，B ，C ， 则A= 14，B= 10，C= 8，( ) = 20， 因为( ) = A B C( ) ( ) ( ) ( )， 且n ABn ABCIII，n ACn ABCIII，n BCn ABCIII， 所以14 10 8 203n ABCn ABC IIII， 即14 1082062
8、n ABC II，故选 C 【点评】本题考查集合多面手问题的应用，考查学生转化问题的能力和应用不等关系解题的思想， 属于中档题 7已知集合 = 0，1， = 2，3， = | = ( )， ， ，则集合的真子集的个数 是（ ） A16 B15 C8 D7 【答案】D 【解析】由题意可知 = 0，6，12共有3个元素集合， 所以集合的真子集的个数23 1 = 7，故选 D 【点评】考查了集合的表示与集合关系，先确定集合中元素的个数是解本题的关键 8设， ，则“ 1”是“1111ab”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 1
9、， 1 1 0，1111ab， 可得“ 1”是“1111ab”的充分条件； 由1111ab， 当 1 0， 1 0时，可得 1 1 ，即 1； 当 1 0， 1 1 ，即 1”不是“1111ab”的必要条件； 所以“ 1”是“1111ab”充分不必要条件，故选 A 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的理解和应用，解题的关键是正确理解充分条件和必要条件的判断方法 9已知命题： ，3 3，则它的否定形式为（ ） A ，3 3 B ，3 3 C ，3 3 D ，3 3 【答案】D 【解析】因为命题的否定，需要修改量词并且否定结论， 所以命题p： ，3 3， 则它的否定形式为
10、： ，3 3，故选 D 【点评】本题主要考查含有量词的命题否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 本题属于基础题 10已知: 2且 3，: 5则p是q成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 2且 3，则 2 3 = 5，所以p是q成立的充分条件， 当 = 1， = 5时，满足5xy，但是不满足 2且 3， 所以p不是q成立的必要条件， 综上所述：p是q成立的充分不必要条件，故选 A 【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p是的必要不充分条件，则对应集合是p对应集合的真子集
11、； （2）若p是的充分不必要条件，则p对应集合是对应集合的真子集； （3）若p是的充分必要条件，则p对应集合与对应集合相等； （4）若p是的既不充分又不必要条件，则对应集合与p对应集合互不包含 11设 0， 0，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A11ab B2 2 C Dccab 【答案】B 【解析】对于 A 选项，0abQ，所以，0ababab，所以，110ba，A 选项错误； 对于 B 选项， 0，则2 0，由不等式的基本性质可得2 2，B 选项正确； 对于 C 选项，若 0，由不等式的基本性质可得 ，C 选项错误； 对于 D 选项，若 0，由 A 选项可知，110ba，由不等式的基本性
12、质可得ccab，D 选项错误， 故选 B 【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题 12已知函数() = log3(9 1)，则使得(2 1) 1 log310成立的的取值范围是（ ） A20,2 B ,01,U C0,1 D,1 【答案】C 【解析】令 = 2 1，则221331()244txxx ， () 1 log310，所以 log3(9 1) 1 0，所以() 0， 所以()在3,4单调递增，所以由 1g tg，得314t ， 所以23114xx ，解得0 1，故选 C 【点评】此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (
13、91)log (91) 1tt ，再构造函数() = log3(9 1) ，利用函数的单调性解不等式 13若2x，则函数42yxx的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】D 【解析】2x，20 x， 444(2)22 (2)26222yxxxxxx， 当且仅当422xx，即4x时取等号， 函数42yxx的最小值为 6，故选 D 【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题 14若正实数，满足 3 = ，则34xy的最小值是（ ） A12 B15 C25 D27 【答案】C 【解析】 3 = 变形得131yx， 因为，是正实数， 则3123123434=13212 6 1325133
14、xyxyxyxyyxxyxy ， 当且仅当131312yxxyyx时，取最小值25，故选 C 【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为 = 时，需要先变形为1abyx， 然后利用乘“1”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值 二、填空题 15已知0m，0n，141mn，若不等式 2 4 对已知的，及任意实数恒成立，则实数最大值为_ 【答案】5 【解析】14459nmmnmnmnmnQ， 当且仅当1414mnnmmn，即 = 3， = 6时，取等号， 因为不等式 2 4 对，恒成立， 所以2 4 9对任意实数恒成立， 即 2 4 9 = ( 2)2 5对任意实数恒成立， 令 = ( 2
15、)2 5 5， 5 故答案为 5 【点评】 本题考查了利用基本不等式求解最值及不等式恒成立与最值求解的相互转化， 体现了转化思想的应用 一、选择题 1若集合2|10Ax axax ，则实数的取值范围是（ ） A*|0 4+ B*|0 4+ C*|0 0，满足题意； 当 0时，()是二次函数，依题可知，0a， 因为2|10Ax axax ， 所以() = 2 1恒大于等于 0，即0， 所以2 4 0，解得0 4 【点评】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论 2设 = *|2 8 15 = 0+， = *| 1 = 0+，若 = ，求实数组成的集合的子集个数 有（
16、） A2 B3 C4 D8 【答案】D 【解析】 = *|2 8 15 = 0+ = *3，5+， 因为 = ，所以 ， 因此 = ，*3+，*5+，对应实数的值为0，13，15，其组成的集合的子集个数有23= 8， 故选 D 【点评】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题 3命题“若2 2 3 = 0，则 = 3或 = 1”的否定是（ ） A若2 2 3 0，则 3或 1 B若2 2 3 0，则 3且 1 C若2 2 3 = 0，则 3或 1 D若2 2 3 = 0，则 3且 1 【答案】D 【解析】命题：“若2 2 3 = 0，则 = 3或 = 1”为真命题， 则
17、其否定为：“若2 2 3 = 0，则 3且 1”，故选 D 【点评】本题考查命题的否定形式，注意命题的否定与否命题的区别，若原命题为“若p，则”则其否命题为“若，则”，否定为“若p，则”，注意一般命题与全称命题、特称命题否定的区别 二、填空题 4在正项等比数列*+中，1= 1，前三项的和为 7，若存在， ，使得= 41，则11mn的最小值为_ 【答案】23 【解析】依题意1121111172aaaa qa qq， 依题意存在， ，使得= 41， 即= 1612= 16，即1122241112162mnm nm na qa qaq ， 所以 2 = 4， = 6， 所以1111111422226
18、6663nmn mmnmnmnmnm n 当且仅当nmmn，3mn时等号成立 所以11mn的最小值为23，故答案为23 【点评】求解有关表达式的最值问题，可以考虑采用1的代换的方法，结合基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件 一、选择题 1已知集合 = *(，) ，为实数，且2 2= 1+， = *(，) ，为实数，且 = +，则 的元素个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】联立221yxxy，解得2222xy或2222xy 即2 2= 1与 = 相交于两点22,22，22,22， 故 中有两个元素，故选 C 【点评】本题考查了集合的表示方法及集合的运算，属于基础题 2
19、已知集合 = | = 3， ， = | = 3 1， ， = | = 3 1， 且 ， ， ，记 = ，则（ ） A ( ) B C D 【答案】D 【解析】由题意设 = 31， = 32 1， = 33 1， （1，2，3 ） ， 精准预测题 则 = = 3(1 2 3) 2 = 3(1 2 3 1) 1， 而1 2 3 1 ， ，故选 D 【点评】本题考点为集合间的关系，属于中档题 3已知全集 = ，集合 = *|2 3 0+， = *| = ln( 2)+，则UBA I （ ） A,0，3) B(1，3) C(2，3- D(2，3) 【答案】C 【解析】因为 = *| 3+，所以 = *
20、|0 3+ 因为 = *| 2+，所以 () = *|2 3+，故选 C 【点评】本题结合函数的定义域，不等式考查集合运算，属于基础题 4对于任意两个正整数，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时， = ；当， 中一个为正偶数， 另一个为正奇数时， = ， 则在此定义下， 集合 = (， )| = 12， ， 中的元素个数是（ ） A10 个 B15 个 C16 个 D18 个 【答案】B 【解析】根据定义知 = 12分两类进行考虑， 一奇一偶，则 = 12， ， 所以可能的取值为(1，12)，(12，1)，(3，4)，(4，3)，共 4 个， ， 同奇偶， 则 = 12， 由， ，
21、所以可能的取值为(2，10)，(10，2)，(1，11)，(11，1)， （3，9），(9，3)，(4，8)，(8，4)，(5，7)，(7，5)，(6，6)，共 11 个， 所以符合要求的共 15 个，故选 B 【点评】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题 5 （多选）给定数集合M，若对于任意， ，有 ，且 ，则称集合M为闭集合， 则下列说法中不正确的（ ） A集合 = *4， 2，0，2，4+为闭集合 B集合 = *| = 3， +为闭集合 C正整数集是闭集合 D若集合1，2为闭集合，则1 2为闭集合 【答案】ACD 【解析】根据对于任意， ，有 ，且 ， 对于 A
22、当集合 4M ，2，0，2，4时，而2 4 ，所以集合不为闭集合； 对于 B当 |3Mn nk，kZ时，设 = 31，23bk，1，2 ， 则1212333()abkkkkM，1212333()abkkkkM，所以集合为闭集合； 对于 C设， 是任意的两个正整数，当 时， 0不是正整数，所以正整数集不为闭集合； 对于 D设1 |3An nk，kZ，2 |2An nk，kZ是闭集合，且3 1，2 2， 而2 3 1 2，此时1 2不为闭集合， 所以，说法中不正确的是 ACD，故选 ACD 【点评】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立
23、，属于中档题 6命题“ ， ，使得1xn”的否定形式是（ ） A ， ，使得1xn B ， ，使得1xn C ， ，使得1xn D ， ，使得1xn 【答案】B 【解析】命题“ ， ，使得1xn”， 则命题的否定为： ， ，使得1xn，故选 B 【点评】本题主要考查了含有量词命题的否定，比较基础 7已知函数() = ，则不等式(22) ( 1) 0成立的一个充分不必要条件为（ ） A2,1 B0,1 C1,12 D1,1,2 U 【答案】B 【解析】可得()的定义域为， = 和 = 都是增函数， ()是定义在的增函数， () = = ()， ()是奇函数， 则不等式(22) ( 1) 0化为(
24、22) ( 1) = ( 1)， 22 1，解得112x， 则不等式成立的充分不必要条件应是1,12的真子集，只有 B 选项满足，故选 B 【点评】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()是增函数且是奇函数， 从而将不等式化为(22) ( 1)求解 8已知 ，关于的不等式2 6 0的解集中有且只有3个整数，则的值可以是（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】D 【解析】令二次函数() = 2 6 ， 则二次函数() = 2 6 开口向上，且对称轴为 = 3， 根据二次函数对称性可知： 若不等式2 6 0的解集中有且只有3个整数，则需要满足 2010ff， 即2226 2
25、016 10aa ，解得5 0且 1） 的图象恒过定点， 若点在直线20mxny上， 其中，均大于 0，则12mn的最小值为（ ） A2 B4 C8 D16 【答案】B 【解析】因为函数log31ayx（ 0且 1）的图象恒过定点(2， 1)， 又因为点在直线20mxny上，所以2 2 = 0，即2 = 2， 所以12112141424424222nmnmmnmnmnmnmn， 当且仅当224mnnmmn，即121mn取等号， 所以12mn的最小值为 4，故选 B 【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换的思想，是高考考查的重点 10 （多选）已知， 为正实数，则下
26、列结论正确的是（ ） A若ab，则11ab B若 2 2 D若 = 1，则114ab 【答案】ACD 【解析】对于 A，因为， 为正实数，且ab，所以110baabab，所以11ab，故 A 正确； 对于 B，因为， ，均为正实数，且 0， 所以3 3 2 2，C 正确； 对于 D，11111 1224babaababababab ，当且仅当 = 时等号成立， 故 D 正确， 故选 ACD 【点评】比较大小的方法： （1）作差法，其步骤：作差变形判断差与 0 的大小得出结论 （2）作商法，其步骤：作商变形判断商与 1 的大小得出结论 （3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小 （4）赋
27、值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论 二、填空题 11已知集合 = *|( 2)( 5) 0+， = *| 1+，且BAR，则实数的取值范围 是_ 【答案】2，4 【解析】由题意可得：250| 25Ax xxxx R， 据此结合题意可得：215mm ，即24mm ， 即实数的取值范围是2，4 【点评】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 12已知函数 2,04 ,0 xxf xxxx，若() 1恒成立，则实数的取值范围是_ 【答案】6，0 【解析】由图知实数的取值范围是,1，0-，其中1为直线 = 1与24 ,0yxx x相切时的值， 即 1 = 2 4 2 (4 ) 1 = 0 = 0， 0 = 6 【点评】本题以分段函数为载体，考查了不等式恒成立问题，属于中档题
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