（新高考）2021届高三大题优练11：导数恒成立问题（教师版）

1、 例 1 已知函数 2xfxaxbxc e满足 01f， 且曲线 yf x在1x 处的切线方程为0ye （1）求a，b，c的值； （2）设函数 236xg xxxm em mN，若 f xg x在0,上恒成立，求m的最大值 【答案】 （1）3a ，5b，1c； （2）3 【解析】 （1）由已知得 22xfxaxab xbc e， 且函数 f x的图象过点1, e， 01f， 则 0113201fcfabc efabc ee，解得3a ，5b，1c （2）由（1）得 2351xf xxxe 若 f xg x在0,上恒成立， 则2235136xxxxexxm em在0,上恒成立， 即11xxxee

2、m在0,上恒成立， 因为0 x，所以10 xe ，从而可得11xxxeme在0,上恒成立 令 101xxxeh xxe，则 221xxxeexh xe， 令 20 xxexx ，则 10 xxe 恒成立， x在0,上为增函数 又 11 20e ， 2240e， 所以存在01,2x ，使得0020oxxex，得00h x， 且当00 xx时， 0h x， h x单调递减； 当0 xx时， 0h x， h x单调递增， 优优 选选 例例 题题 导数恒成立问题 大题优练大题优练 1 11 1 则 0000min11xxxeh xh xe 又0020 xex，所以002xex，代入上式，得002h x

3、x 又01,2x ，所以 03,4h x 因为 minmh x，且mN，所以3m，故m的最大值为 3 例 2已知函数 22xf xxeaxax，e为自然对数的底数 （1）讨论 f x的单调性； （2）当0 x时，不等式 21ln1axf xxx恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析； （2）2,a 【解析】 （1） 12xfxxea， 当0a时，20 xea， , 1x ， 0fx， f x单调递减， 1,x ， 0fx， f x单调递增； 当102ae时，ln21a， ,ln2xa ，20 xea， 0fx， f x单调递增； ln2, 1xa，20 xea， 0

4、fx， f x单调递减， 1,x ，20 xea， 0fx， f x单调递增； 当12ae 时， 110 xfxxee，,x ， f x单调递增； 当12ae 时，ln21a， , 1x ，20 xea， 0fx， f x单调递增； 1,ln2xa ，20 xea， 0fx， f x单调递减； ln2,xa，20 xea， 0fx， f x单调递增 （2）当0 x时， 21ln1ln110 xaxxxx ef xaxx ln110 xeaxx ， 令 ln11xg xeaxx， 11xgxeax， 令 11xh xgxeax， 211xh xex， h x是单调增函数， 00h xh， g x

5、在0,是单调增函数， 02gxga 当20a，即2a时， 0g x， g x在0,是单调增函数， 此时 00g xg符合题意 当20a，即2a时， 00g；x 时， 0g x， 00,x使得00gx， 00,xx， 0gx， g x单调递减， 000g xg与恒成立不符， 综上所述，2,a 例 3已知函数21( )ekxxf x，2( )21g xaxax （1）若函数( )f x没有极值点，求实数k的取值范围； （2）若( )( )g xf x对任意的xR恒成立，求实数k和a所满足的关系式，并求实数k的取值范围 【答案】 （1）1k 或1k ； （2）当0ka 时，对任意的xR， g xf

6、x恒成立 【解析】 （1）因为21( )kxxf xe，所以221( )kxxkxfxe， 因为函数( )f x没有极值点，所以221( )0kxxkxfxe无解或有重根， 即220kxxk无解或有重根 0k 时，不满足条件； 0k 时，2440k，解得1k 或1k ， 综上可得，函数 f x没有极值点，则1k 或1k （2）依题意得：对任意的xR，22121ekxxaxax恒成立， 令 22121ekxxh xaxax，则 0h x 恒成立， 2214ekxxkxh xaxa， 因为 00h，所以0 x是 yh x的极小值点， 所以 00hka ，所以ak ， 所以对任意的xR，恒有2212

7、1axxeaxax 当0a 时，x，210axxe，221axax ，矛盾； 当0a时，显然有2121axaxax ， 因为函数2212120yaxaxaxax ， 即函数1yax的图象恒在函数221yaxax图象的上方， 1yax是函数221yaxax在0,1处的切线， 下证：211axxeax， 令 211axxax ex， 21122axaxaxxax eaxexxae ， 令 0 x，解得0 x，即 x在,0上单调递增； 令 0 x，解得0 x，即 x在0,上单调递减， 所以 00 x，即211axxeax成立， 所以221121axxeaxaxax ， 综上所述：当0ka 时，对任意

8、的xR， g xf x恒成立 1已知 214ln2f xxxa， 2144xg xxxee （1）求函数 g x的单调区间； （2）若 f xg x恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1）单调递增区间为,0和2,，递减区间为0,2； （2）1,24ln2e 【解析】 （1）解： yg x的定义域为R， 2224442222xxxxxgxexxexexex xxe， 令 0g x，得2x或0 x 当x变化时，( )g x，( )g x变化如下： x ,0 0 0,2 2 2, g x 0 0 g x 增 极大值 减 极小值 增 所以 g x的单调递增区间为,0和2,，递减区间为0,2 （2）

9、因为 yf x定义域为0,， yg x的定义域为R， 令 2211444ln2xF xg xf xxxexxae(0 x)， 则 4222xxxFxx xexxxexx， 所以当0,2x时， 0Fx，( )F x为减函数； 当2,x时， 0Fx，( )F x为增函数， 所以 min1224ln2F xFae ，则124ln20ae， 所以124ln2ae， 故实数a的取值范围为1,24ln2e 模 拟模 拟 优 练优 练 2已知函数 ln1f xa axxaR （1）求讨论函数 f x的单调性； （2）若函数 f x的图象恒在21yx的图象的下方，求实数a的取值范围 【答案】 （1）当0a 时

10、，函数 f x在0,上单调递增；当0a时， f x不具有单调性；当0a时，函数 f x在0, a上单调递增，在, a上单调递减； （2）342,1e 【解析】 （1）函数 ln1f xa axxaR的定义域是0,， 1a axafxaxx 当0a时， 1f x 是常数函数，不具有单调性； 当0a 时， 0fx对任意0,x恒成立，故函数 f x在0,上单调递增； 当0a时，令 0fx，得xa；令 0fx，得0 xa， 故函数 f x在0, a上单调递增，在, a上单调递减， 综上：当0a 时，函数 f x在0,上单调递增； 当0a时， f x不具有单调性； 当0a时，函数 f x在0, a上单调

11、递增，在, a上单调递减 （2）函数 f x的图象恒在21yx的图象的下方等价于 21f xx恒成立， 即2ln11a axxx ，得2lna axxx，即22ln0axaxx 令 22lng xaxaxx，则 0g x 恒成立，所以 max0g x， 可知 222222xaxaaxaxagxxaxxx 当0a 时，令 0g x，得xa 所以当0 xa时， 0g x；当xa时， 0gx， 因此 g x在0,a上单调递增，在, a 上单调递减， 所以 2222maxlnln0g xg aaaaaaa，所以01a； 当0a时， 20g xx在0,上恒成立； 当0a时，令 0g x，得2ax 所以当

12、02ax 时， 0g x；当2ax 时， 0g x， 因此 g x在0,2a上单调递增，在,2a上单调递减， 所以 22222max3lnln0224224aaaaag xgaaa， 即3ln24a，则3402ae ，解得3420ea， 综上所述，实数a的取值范围为342,1e 3已知函数 22ln2f xaxax （1）讨论函数 f x的单调性； （2）若关于x的不等式 2f xax在1,上恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）2,3 【解析】 （1）依题意，定义域为0,， 22222axaafaxxxx， 若02a， 0fx，函数 f x在0,上单调递增； 若2a ，

13、当20,2axa时， 0fx；当2,2axa时， 0fx， 故函数 f x在20,2aa上单调递减，在2,2aa上单调递增； 若0a，当20,2axa时， 0fx；当2,2axa时， 0fx， 故函数 f x在20,2aa上单调递增，在2,2aa上单调递减 （2）令 2h xf xax，则 222ln2h xaxaxax， 10h， 则 0h x 在1,上恒成立 因为 2222122222axaxaxaxaah xaxaxxx， 当0a时，22 0axa ， 0h x， h x在1,上单调递减， 所以当1,x时， 10h xh，不合题意，舍去； 当23a 时，因为1x，所以2222232320

14、3axaaaa ， 所以 0h x，此时 h x在1,上单调递增， 10h xh，符合题意； 当023a时，212aa， 因为1x，10 x ，所以由 0h x，得212axa， 此时 h x在21,2aa上单调递减， 所以当21,2axa时， 10h xh，不合要求，舍去， 综上所述，实数a的取值范围是2,3 4已知函数24( )lnef xxxax，aR （1）当( )yf x在点(1,(1)f处的切线与直线:10l xy 平行时，求实数a的值； （2）若( )2xxf xe 恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1）0a； （2）21ln2 1ae 【解析】 （1）( )ln1fxxa

15、 ， 因为(1)1fa ，且直线l的斜率为 1，所以11a，即0a （2）由已知得24ln2xxxxaxee 对任意的(0,)x恒成立， 整理得2141ln2xaxxee恒成立 令2141( )ln2,(0,)xh xxxxee， 则22222421141( )2xxxxeeh xxeexx， 令224( )2,(0,)xxxxxee ，则(2)( )1xxxxe 2(2)(1)11xxx ，(2)1xxxxee ， 又0 x，11xe，即(2)1( )110 xxxxxee 恒成立， ( )x在(0,)上单调递增， 又22242(2)220ee ， 当02x时，( )0h x，即( )h x为减函数； 当2x时，( )0h x，即( )h x为增函数， n222mi1411(2)ln22(n2)2l1hehexe ， 21ln2 1ae