1、 1平面向量及其应用 向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领城向量的基础，在解决实际向题中发挥重要作用本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题 内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用 （1）向量概念 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的
2、含义 理解平面向量的几何表示和基本要素 （2）向量运算 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义 通过实例分析，掌握平面向量数量运算及运算规则，理解其几何意义理解两个平面向量共线的含义 了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 通过几何直观，了解平面向投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9） 会用数量积判断两个平面向的垂直关系 （3）向量基本定理及坐标表示 理解平面向量基本定理及其意义 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数
3、乘运算 能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角 能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件 （4）向量应用与解三角形 会用向量方法解决简单的平面几何问题、 力学问题以及其他实际问题， 体会向量在解决数学和实际问题中的作用 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 （新高考）小题必练（新高考）小题必练 1 16 6：平面向量：平面向量 1 【2020 全国卷】设a，b为单位向量，且1ab，则ab 2 【2020 全国卷】已知单位向量a，b的夹角为45，k ab与a垂直，则k 一、单选题 1已知向量( ,1)ta，(1,
4、2)b，若ab，则实数t的值为（ ） A2 B2 C12 D12 2已知向量(1,2)a，( 2,)m b，且()aba，则m的值为（ ） A1 B1 C4 D4 3已知向量(1,2)a，( 2,3) b，(4,5)c，若()abc，则实数（ ） A12 B12 C2 D2 4已知向量a与b的夹角为60，1a，2b，当(2)bab时，实数为（ ） A1 B2 C12 D12 5已知a，b为单位向量，且(2)abb，则2ab（ ） A1 B3 C2 D5 6 在ABC中，2AB ，60ABC，AD为BC边上的高，E为AD的中点， 那么AE ACuuu r uuu r（ ） A32 B52 C92
5、 D112 7已知向量a，b满足1ab，ab，若2 ab与x ab的夹角为45，则实数x（ ） A2 1 B2 1 C3 2 2 D3 2 2 8如图，在矩形ABCD中，2AB ，2BC ，点E为BC的中点，点F在边CD上， 若AB AFu u u r u u u r2，则AE BFuuu r uuu r的值是（ ） A22 B1 C2 D2 二、多选题 9已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则（ ） AABDCuuu ruuu r BDADCDBuuu ruuu ruuu r CABADBDuuu ruuu ruuu r D1()2OBDABAuuu ruuu ruu u r 10已知向
6、量(1,1)ab，( 3,1) ab，(1,1)c，设a，b的夹角为，则（ ） Aab Bac Cbc D135 11已知( 1, , 2) a，(2, 1,1)b，且a与b夹角为120，则的取值可以是（ ） A17 B17 C1 D1 12已知圆22:(3)(4)1Cxy和两点(,0)Am，( ,0)B m（0m） 若圆C上存在点P， 使得90APB，则实数m的取值可以为（ ） A4 B5 C6 D7 三、填空题 13已知(1, 2)a，(2, )b，若ab，则实数 ；若ab，则实数 14若平面向量a，b满足2ab，3ab，则 a b 15已知非零向量a与b的夹角为23，2b，若()aab，
7、则a 16已知非零向量OAuuu r与OBuuu r的夹角为60，1OA uuu r，2OB uuu r，则对于任意的tR，OAtOBuuu ruuu r的最小值为 1 【答案】3 【解析】因为a，b为单位向量，所以1a，1b， 所以222()2221 ababaa bba b，解得21 a b， 所以222()23 ababaa bb 故答案为3 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题 2 【答案】22 【解析】由题意可得21 1 cos452 a b， 由向量垂直的充分必要条件可得()0k aba， 即2202kkaa b，解得22k ， 故答案为22 【点睛】本题主
8、要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 一、单选题 1 【答案】A 【解析】向量( ,1)ta，(1,2)b， 若ab，则20t a b，实数2t ，故选 A 2 【答案】D 【解析】由题知，( 1,2)m ab， 因为()aba，所以22m，从而4m，故选 D 3 【答案】C 答案答案与解析与解析 【解析】因为(1,2)a，( 2,3) b，所以(12 ,23 )ab， 又()abc，(4,5)c，所以()0ab c， 即4(1 2 )5(23 )0，解得2，故选 C 4 【答案】C 【解析】向量a与b的夹角为60，1a，2b
9、， 由(2)bab，知(2)0bab，220b ab， 22 2 1 cos6020 ，解得12故选 C 5 【答案】B 【解析】因为a，b为单位向量，且(2)abb，所以(2)0abb， 所以221a bb，所以22222443 ababaa bb，故选 B 6 【答案】A 【解析】因为在ABC中，2AB ，60ABC，AD为BC边上的高， 所以sin603ADAB，ADBC， 又E为AD的中点， 则21113()2222AE ACAD ACADADDCADuuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，故选 A 7 【答案】C 【解析】不妨设(1,0)
10、a，(0,1)b，则2( 2,1)ab，( ,1)xxab， 则23ab，21xxab，( 2) ()21xxabab， 由向量夹角公式可知2221231xx，解得2 23x ， 210 x ，则22x ，故舍去一根2 23x ，3 2 2x ，故选 C 8 【答案】C 【解析】 AFADDFuuu ruuu ruuu r，()AB AFABADDFAB ADAB DFuuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu r22AB DFDFuuu r uuu ruuu r， 1DF uuu r，21CF uuu r，() ()2( 21) 1 22AE
11、 BFABBEBCCFAB CFBE BC uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu r， 故答案为 C 二、多选题 9 【答案】AB 【解析】因为O是平行四边形ABCD对角线的交点， 对于选项 A，结合相等向量的概念可得，ABDCuuu ruuu r，即 A 正确； 对于选项 B，由平行四边形法则可得DADCDBuuu ruuu ruuu r，即 B 正确； 对于选项 C，由向量的减法可得ABADDBuuu ruuu ruuu r，即 C 错误； 对于选项 D，由向量的加法运算可得1()2CODABAOBuuu ruuu ruu
12、u ruuu r，即 D 错误， 综上可得 A、B 正确，故选 AB 10 【答案】BD 【解析】根据题意，(1,1)ab，( 3,1) ab，则( 1,1) a，(2,0)b， 依次分析选项：对于 A，2a，2b，则ab不成立，A 错误； 对于 B，( 1,1) a，(1,1)c，则0 a c，即ac，B 正确； 对于 C，(2,0)b，(1,1)c，bc不成立，C 错误； 对于 D，( 1,1) a，(2,0)b，则2 a b，2a，2b， 则22cos22 2 ，则135，D 正确， 故选 BD 11 【答案】AC 【解析】因为cos,a ba bab，且( 1, , 2) a，(2,
13、1,1)b，a与b夹角为120， 所以2222221 2( 1)2 1cos120( 1)( 2)2( 1)1 ，解得17或1， 故选 AC 12 【答案】ABC 【解析】圆22:(3)(4)1Cxy的圆心(3,4)C，半径1r ， 设( , )P a b在圆C上，则(, )APam buuu r，(, )BPam buuu r， 若90APB，则APBPuuu ruuu r，2()()0AP BPam ambuuu r uuu r， 2222mabOP， m的最大值即为OP的最大值，等于5 16OCr ，最小值为5 14 ， m的取值范围是4,6，故选 ABC 三、填空题 13 【答案】4，
14、1 【解析】由ab，可得1( 2) 2 ，解得4； 由ab，得0 a b，即1 2( 2)0 ，解得1 故答案为4，1 14 【答案】14 【解析】因为向量a，b满足2ab，3ab， 所以2220 aa bb，2223 aa bb， 由，得41 a b，即14 a b， 故答案为14 15 【答案】1 【解析】由()aab，可得()0aab，所以20aa b，即22cos03aa b， 又由2b，可得20aarr，解得0a（舍）或1a， 故答案为1 16 【答案】32 【解析】由平面向量数量积的定义可得cos601OA OBOA OBuuu r uuu ruuu ruuu r， 所以，2222221332421(2)244OAtOBOAtOA OBt OBttt uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r， 所以，当14t 时，OAtOBuuu ruuu r取最小值32， 故答案为32
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