1、7.4 基本不等式及应用基本不等式及应用 典例精析典例精析 题型一 利用基本不等式比较大小 【例 1】(1)设 x,yR,且 xy(xy)1,则( ) A.xy2( 21) B.xy2( 21) C.xy2( 21)2 D.xy( 21)2 (2)已知 a,bR,则 ab,ab2,a2b22,2abab的大小顺序是 . 【解析】(1)选 A.由已知得 xy1(xy),又xy(xy2)2,所以(xy2)21(xy). 解得 xy2( 21)或 xy2(1 2). 因为 xy0,所以 xy2( 21). (2)由ab2 ab有 ab2 ab,即 ab2abab,所以 ab2abab. 又ab2a2
2、2abb242(a2b2)4,所以a2b22ab2, 所以a2b22ab2 ab2abab. 【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来,可作为结论使用. 【变式训练 1】设 abc,不等式1ab1bcac恒成立,则 的取值范围是 . 【解析】(,4).因为 abc,所以 ab0,bc0,ac0. 而(ac)(1ab1bc)(ab)(bc)(1ab1bc)4,所以 4. 题型二 利用基本不等式求最值 【例 2】(1)已知 x54,则函数 y4x214x5的最大值为 ; (2)已知二次函数 f(x)ax2bxc 的导数 f(x),f(0)0,对任意实数 x,有 f(x)0,则f(1)f(
3、0)的最小值为( ) A.3 B.52 C.2 D.32 【解析】(1)因为 x54,所以 54x0. 所以 y4x214x5(54x154x)3231. 当且仅当 54x154x,即 x1 时,等号成立. 所以 x1 时,ymax1. (2)选 C.因为 f(x)0,所以 所以 cb24a.又 f(x)2axb,所以 f(0)b0, f(1)f(0)abcb1acb14a2b24ab12 4a2b24ab2, 当且仅当 cb24a且 4a2b2 时等号成立. 【点拨】应用基本不等式求最值时,常见的技巧是“拆或凑”,同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件,避免出现错误. 【变式训练 2】已知
4、 x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,求(ab)2cd的取值范围. 【解析】由等差数列、等比数列的性质得 abxy, cdxy,所以(ab)2cd(xy)2xy2xyyx, 当yx0 时,(ab)2cd4;当yx0 时,(ab)2cd0, 故(ab)2cd的取值范围是(,04,). 题型三 应用基本不等式解实际应用问题 【例 3】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1 800 元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才
5、能使. 0402acba用); (2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210 吨时,其价格可享受 9 折优惠(即原价的 90%),问该厂是否可以利用此优惠条件?请说明理由. 【解析】(1)设该厂 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨,面粉的保管等其他费用为 36x6(x1)6 26 19x(x1). 设平均每天所支付的总费用为 y1,则 y11x9x(x1)9006 1 800900 x9x10 809210 80910 989, 当且仅当 9x900 x,即 x10 时,取等号. 即该厂应 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件,
6、 则至少应 35 天购买一次面粉, 设该厂利用此优惠条件后, 每 x(x35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2,则 y21x9x(x1)9006 1 800 0.9900 x9x9 729(x35). 因为 y29900 x2,当 x35 时,y20. 所以 y2900 x9x9 729 在35,)上是增函数. 所以 x35 时,y2 取最小值70 4887. 由70 488710 989 知,该厂可以利用此优惠条件. 【点拨】解决这类应用题,首先要依题意构造出相应的数学模型,并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构,再求最值.当等号不能成立时,常利用函数的单调性来处理.
7、 【变式训练 3】已知 a0,b0,且 2ab1,求 S2 ab4a2b2 的最大值. 【解析】因为 a0,b0,2ab1, 所以 4a2b2(2ab)24ab14ab, xx9900且 12ab2 2ab,即 ab24,ab18. 所以 S2 ab4a2b22 ab(14ab)2 ab4ab1212, 当且仅当 a14,b12时,等号成立. 总结提高总结提高 1.基本不等式的几种常见变形公式: ab(ab2)2a2b22(a,bR); 2abab abab2a2b22(a0,b0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件. 2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧,配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值,且等号能够成立. 3.多次使用基本不等式求最值时,要特别注意等号能否同时成立.