1、12.7 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 典例精析典例精析 题型一 条件概率的求法 【例 1】 一张储蓄卡的密码共 6 位数字， 每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1)任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率. 【解析】设第 i 次按对密码为事件 Ai(i1,2)，则 AA1(A2)表示不超过 2 次就按对密码. (1)因为事件 A1 与事件A2 互斥， 由概率的加法公式得 P(A)P(A1)P(A2)1109 110 915. (2)用 B
2、表示最后一位是偶数的事件，则 P(A|B)P(A1|B)P(A2|B)154 15 425. 【点拨】此类问题解题时应注意着重分析事件间的关系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再运用相应的公式求解. 【变式训练 1】设某种动物从出生算起活到 20 岁以上的概率为 0.8，活到 25 岁以上的概率为0.4.现有一只 20 岁的这种动物，问它能活到 25 岁以上的概率是 . 【解析】设此种动物活到 20 岁为事件 A，活到 25 岁为事件 B，所求概率为 P(B|A)， 由于 BA，则 P(AB)P(B)，所以 P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(A)0.40.812. 题型二 相互独立事件的
3、概率 【例 2】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为15，14，13，且他们是否破译出密码互不影响. (1)求恰有二人破译出密码的概率； 1A1A1A1A(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. 【解析】(1)记三人各自破译出密码分别为事件 A，B，C，依题意知 A，B，C 相互独立，记事件 D：恰有二人破译密码， 则 P(D)P(AB)P(AC)P(BC) 1514 (113)15 (114)13(115)1413960320. (2)记事件 E：密码被破译，：密码未被破译， 则 P()P()(115) (114) (113)246025， 所以
4、P(E)1P()35，所以 P(E)P(). 故密码被破译的概率大. 【点拨】解决事件的概率问题的一般步骤：记取事件；揭示事件的关系；计算事件的概率. 【变式训练 2】甲、乙、丙三个口袋内都分别装有 6 个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的 6 个球均有 1 个红球，2 个黑球，3 个无色透明的球，现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出 1 个球，求恰好摸出红球、黑球和无色球各 1 个的概率. 【解析】由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为16，13，12，可得 PA3 316131216. 题型三 综合问题 【例 3】某公司招聘员工，指定三门考试课程
5、，有两种考试方案. 方案一：三门课程中至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. CBAEEA BCEE(1)分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【解析】记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C，则 P(A)a，P(B)b，P(C)c. (1)应聘者在方案一下考试通过的概率 P1P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC) ab(1c)bc(1a)ac
6、(1b)abc abbcca2abc. 应聘者在方案二下考试通过的概率 P213P(AB)13P(BC)13P(AC)13(abbcca). (2)由 a，b，c0,1，则 P1P223(abbcca)2abc23ab(1c)bc(1a)ca(1b)0， 故 P1P2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大. 【点拨】本题首先以相互独立事件为背景，考查两种方案的概率，然后比较概率的大小，要求运用 a，b，c0,1这一隐含条件. 【变式训练 3】甲，乙，丙三人分别独立地进行某项体能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲，乙，丙三人都能通过测试的概率是320，甲，乙，丙三人都不能通过测试的概
7、率是340，且乙通过的概率比丙大. (1)求乙，丙两人各自通过测试的概率分别是多少？ (2)测试结束后，最容易出现几人通过的情况？ 【解析】(1)设乙、丙两人各自通过的概率分别为 x，y，依题意得 CAB即或 (舍去)， 所以乙、丙两人各自通过的概率分别为34，12. (2)因为三人都不能通过测试的概率为 P0340， 三人都能通过测试的概率为 P3320640， 三人中恰有一人通过测试的概率： P125 (134) (112)(125)34 (112)(125) (134)127201440， 三人恰有两人通过测试的概率： P21(P0P1P3)1740， 所以测试结束后，最容易出现两人通过
8、的情况. 总结提高总结提高 1.互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别： 对于事件 A、B，在一次试验中，A、B 如果不能同时发生，则称 A、B 互斥.一次试验中，如果 A、B 互斥且 A、B 中必有一个发生，则称 A、B 对立.显然，A为必然事件，A、B 互斥则不能同时发生，但可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件的发生的概率没有影响.事实上： A、B 互斥，则 P(AB)0； A、B 对立，则 P(AB)0 且 P(A)P(B)1； A、B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B). 它们是不相同的. 2.由于当事件 A、B 相互独立时，P(AB)P(A)P(B)，因此式子 1P(A)P(B)表示相互独立事件A、B 中至少有一个不发生的概率.对于 n 个随机事件 A1，A2，An，有 ,403)1)(1 (53,20352yxxy21,43yx4321y，xAP(A1A2An)1P()，此称为概率的和与积的互补公式. 1A2AnA
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