1、第七章第七章 不等式不等式 高考导航高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组; (2)了解二元一次不等式组的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决
2、. 4.基本不等式: (a,b0) (1)了解基本不等式的证明过程; (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 本章重点: 1.用不等式的性质比较大小;2.简单不等式的解法; 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题; 4.基本不等式的应用. 本章难点: 1.含有参数不等式的解法; 2.不等式的应用; 3.线性规划的应用. 不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、 方程、数列、三角函数、解析几何、 立体几何及实际应用问题相互交叉和综合, 将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查. 线性规划是数学应用的重要内容, 高考中除考查线性规划问题的
3、求解与应用外, 也考查线性规划方法的迁移. 知识网络知识网络 2baab 7.1 不等式的性质不等式的性质 典例精析 题型一 比较大小 【例 1】已知 a0,a1,Ploga(a3a1),Qloga(a2a1),试比较 P 与 Q 的大小. 【解析】因为 a3a1(a2a1)a2(a1), 当 a1 时,a3a1a2a1,PQ; 当 0a1 时,a3a1a2a1,PQ; 综上所述,a0,a1 时,PQ. 【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一,其解题步骤为:作差; 变形;判断符号;得出结论. 【变式训练 1】已知 ma1a2(a2),nx2(x12),则 m,n 之间的大小关系为(
4、 ) A.mn B.mn C.mn D.mn 【解析】选 C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. ma1a2a21a22224,而 nx2(12)24. 题型二 确定取值范围 【例 2】已知22,求2,2的取值范围. 【解析】因为22,所以424,424, 两式相加得222. 又424,所以222, 又因为 ,所以20,所以220, 综上222,220 为所求范围. 【点拨】求含字母的数(式)的取值范围,一定要注意题设的条件,否则易出错,同时在变换过程中,要注意准确利用不等式的性质. 【变式训练 2】已知函数 f(x)ax2c,且4f(1)1,1f(2)5,求 f(3)的取值
5、范围. 【解析】由已知4f(1)ac1,1f(2)4ac5. 令 f(3)9ac(ac)(4ac), 所以 故 f(3)53(ac)83(4ac)1,20. 题型三 开放性问题 【例 3】已知三个不等式:ab0; cadb;bcad.以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组成多少个正确命题? 【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式作等价变形:cadbbcadab0. (1)由 ab0,bcadbcadab0,即; (2)由 ab0,bcadab0bcad0bcad,即; (3)由 bcad0,bcadab0ab0,即. 故可组成 3 个正确命题. 【点拨】这是一类开放性问题,要求熟练掌握不
6、等式的相关性质,并能对题目条件进行恰当的1, 9438,35等价变形. 【变式训练 3】a、b、c、d 均为实数,使不等式abcd0 和 adbc 都成立的一组值(a,b,c,d)是_(只要写出符合条件的一组即可). 【解析】写出一个等比式子,如21420.此时内项的积和外项的积相等,减小42的分子,把上式变成不等式21320,此时不符合 adbc 的条件,进行变换可得21320,此时 2 (2)1 (3).故(2,1,3,2)是符合要求的一组值. 总结提高 1.不等式中有关判断性命题,主要依据是不等式的概念和性质.一般地,要判断一个命题是真命题,必须严格证明.要判断一个命题是假命题,只要举出反例,或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中,关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系,要注意条件的弱化与加强,不可想当然.如在应用 ab0,ab1a1b这一性质时,不可弱化为ab1a1b,也不可强化为 ab01a1b. 2.题设条件含有字母,而结论唯一确定的选择题,采用赋值法解答可事半功倍. 3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法,变形是关键.