1、4.3 平面向量的数量积及向量的应用平面向量的数量积及向量的应用 典例精析典例精析 题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】 已知a，b 夹角为 120 ，且|a|4，|b|2，求： (1)|ab|； (2)(a2b) (ab)； (3)a 与(ab)的夹角 . 【解析】(1)(ab)2a2b22ab 1642 4 21212， 所以|ab|2 3. (2)(a2b) (ab)a23ab2b2 163 4 2122 412. (3)a(ab)a2ab164 21212. 所以 cos 124 2 332，所以 6. 【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角
2、等问题. 【变式训练 1】已知向量 a，b，c 满足：|a|1，|b|2，cab，且 ca，则 a 与 b 的夹角大小是 . 【解析】由 caca0a2ab0， 所以 cos 12，所以 120 . 题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题 【例 2】 在ABC 中，(2，3)， (1，k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 的值. |)(baabaaABAC【解析】当A90 时，有0， 所以 2 13k0，所以 k23； 当B90 时，有0， 又(12，k3)(1，k3)， 所以 2 (1)3 (k3)0k113； 当C90 时，有0， 所以1k(k3)0， 所以 k23k10k3 132
3、. 所以 k 的取值为23，113或3 132. 【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨 论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角. 【变式训练 2】ABC 中，AB4，BC5，AC6， 求. 【解析】因为 222 ()()() ()()() 42625277. 所以772. 题型三 平面向量的数量积的综合问题 【例 3】数轴 Ox，Oy 交于点 O，且xOy3，构成一个平面斜坐标系，e1，e2 分别是与 Ox，Oy 同向的单位向量，设 P 为坐标平面内一点，且xe1ye2，则点 P 的坐标为(x，y)，已ABACABBCBCACABACBCABBCBCCACAABA
4、BBCBCCACAABABBCCAABCAABBCCABCCABCABABBCCACAABBCBCCAABABBACAACBCCBABBCBCCACAABOP知 Q(1，2). (1)求|的值及与 Ox 的夹角； (2)过点 Q的直线 lOQ，求 l 的直线方程(在斜坐标系中). 【解析】(1)依题意知，e1e212， 且e12e2， 所以2(e12e2)2144e1e23. 所以| 3. 又 e1(e12e2) e1e2 12e1 e20. 所以e1，即与 Ox 成 90 角. (2)设 l 上动点 P(x，y)，即xe1ye2， 又l，故， 即(x1)e1(y2)e2 (e12e2)0.
5、所以(x1)(x1)(y2) 122(y2)0， 所以 y2，即为所求直线 l 的方程. 【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势. 【变式训练 3】 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A(5， 0).对于某个正实数 k， 存在函数 f(x)ax2(a0)， 使得 ()( 为常数)， 其中点 P， Q的坐标分别为(1， f(1)， (k， f(k)，则 k 的取值范围为( ) A.(2，) B.(3，) C.(4，) D.(8，) OQOQOQOQOQOQOQOQOPOQOQQPOP
6、|OAOA|OQOQ【解析】如图所示，设，则.因为 P(1，a)， Q(k， ak2)，(1， 0)，(kk2a2k4，ak2k2a2k4)，(kk2a2k41，ak2k2a2k4)，则直线 OG 的方程为 yak2k k2a2k4x，又，所以 P(1，a)在直线 OG 上，所以 aak2k k2a2k4，所以 a212k. 因为| 1a21，所以 12k0，所以 k2. 故选 A. 总结提高 1.本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(ab) ca(bc)；数量积不满足消去律，即 abac 推不出 bc. 2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直. 3.向量的线性运算、 数量积运算是平面向量的最基本知识， 在解决向量与不等式、 函数、 方程、数列、 三角函数、 解析几何等综合性问题时， 往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径. |OAOAOM|OQOQONOMONOGOPOGOMONOGOPOGOP
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