1、 6.5 数列的综合应用数列的综合应用 典例精析典例精析 题型一 函数与数列的综合问题 【例 1】已知 f(x)logax(a0 且 a1)，设 f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首项为 4，公差为2 的等差数列. (1)设 a 是常数，求证：an成等比数列； (2)若 bnanf(an)，bn的前 n 项和是 Sn，当 a 2时，求 Sn. 【解析】(1)f(an)4(n1) 22n2，即 logaan2n2，所以 ana2n2， 所以anan1a2n2a2na2(n2)为定值，所以an为等比数列. (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2， 当 a 2
2、时，bn(2n2)( 2)2n2(n1)2n2， Sn223324425(n1) 2n2， 2Sn224325n2n2(n1)2n3， 两式相减得 Sn22324252n2(n1)2n31624(12n1)12(n1)2n3， 所以 Snn2n3. 【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解. 【变式训练 1】设函数 f(x)xmax 的导函数 f(x)2x1，则数列1f(n)(nN*)的前 n 项和是( ) A.nn1 B.n2n1 C.nn1 D.n1n 【解析】由 f(x)mxm1a2x1 得
3、m2，a1. 所以 f(x)x2x，则1f(n)1n(n1)1n1n1. 所以 Sn112121313141n1n111n1nn1.故选 C. 题型二 数列模型实际应用问题 【例 2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到 2009 年底全县的绿化率已达 30%， 从 2010 年开始， 每年将出现这样的局面： 原有沙漠面积的 16%将被绿化， 与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的 4%又被沙化. (1)设全县面积为 1,2009 年底绿化面积为 a1310，经过 n 年绿化面积为 an1，求证：an145an425； (2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到
4、 60%？ 【解析】(1)证明：由已知可得 an 确定后，an1 可表示为 an1an(14%)(1an)16%， 即 an180%an16%45an425. (2)由 an145an425有，an14545(an45)， 又 a145120，所以 an14512(45)n，即 an14512(45)n， 若 an135，则有4512(45)n35，即(45)n112，(n1)lg 45lg 2， (n1)(2lg 2lg 5)lg 2，即(n1)(3lg 21)lg 2， 所以 n1lg 213lg 24，nN*， 所以 n 取最小整数为 5，故至少需要经过 5 年的努力，才能使全县的绿化率
5、达到 60%. 【点拨】解决此类问题的关 键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题. 【变式训练 2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进 3步，然后再后退 2 步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以 1 步的距离为1 单位长移动，令 P(n)表示第 n 秒时机器狗所在的位置坐标，且 P(0)0，则下列结论中错误的是( ) A.P(2 006)402 B.P(2 007)403 C.P(2 008)404 D.P(2 009)405 【解析】考查数列的应用.构造数列Pn，由题知 P(0)0，P(5
6、)1，P(10)2，P(15)3.所以P(2 005)401，P(2 006)4011402，P(2 007)40111403，P(2 008)401 3404，P(2 009)4041403.故 D 错. 题型三 数列中的探索性问题 【例 3】an，bn为两个数列，点 M(1,2)，An(2，an)，Bn(n1n，2n)为直角坐标平面上的点. (1)对 nN*，若点 M，An，Bn 在同一直线上，求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 log2Cna1b1a2b2anbna1a2an， 其中Cn是第三项为 8， 公比为 4 的等比数列，求证：点列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)
7、在同一直线上，并求此直线方程. 【解析】(1)由an2212n2n1n1，得 an2n. (2)由已知有 Cn22n3，由 log2Cn 的表达式可知： 2(b12b2nbn)n(n1)(2n3)， 所以 2b12b2(n1)bn1(n1)n(2n5). 得 bn3n4，所以bn为等差数列. 故点列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)共线，直线方程为 y3x4. 【变式训练 3】已知等差数列an的首项 a1 及公差 d 都是整数，前 n 项和为 Sn(nN*).若 a11，a43，S39，则通项公式 an . 【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式. 由 a11，a4
8、3，S39 得 令 xa1，yd 得 在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1)，即 a12，d1.所以an2n1n1.故答案填 n1. 总结提高 1.数列模型应用问题的求解策略 (1)认真审题，准确理解题意； (2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、前 n 项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解； (3)验证、反思结果与实际是否相符. 2.数列综合问题的求解策略 (1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解； (2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题.
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