1、3.13.1 导数的应用导数的应用( (一一) ) 典例精析典例精析 题型一 求函数 f(x)的单调区间 【例 1】已知函数 f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函数 f(x)的单调区间. 【解析】函数 f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1，). f(x)2xaax12x(xa22)x1， 若 a0，则a221，f(x)2x(xa22)x10 在(1，)上恒成立，所以 a0 时，f(x)的增区间为(1，). 若 a0，则a221， 故当 x(1，a22时，f(x)2x(xa22)x10； 当 xa22，)时，f(x)2x(xa22)x10， 所以 a0 时，f(x)的减区间为(1
2、，a22，f(x)的增区间为a22，). 【点拨】在定义域 x1 下，为了判定 f(x)符号，必须讨论实数a22与 0 及 1 的大小，分类讨论是解本题的关键. 【变式训练 1】已知函数 f(x)x2ln xax 在(0,1)上是增函数，求 a 的取值范围. 【解析】因为 f(x)2x1xa，f(x)在(0,1)上是增函数， 所以 2x1xa0 在(0,1)上恒成立， 即 a2x1x恒成立. 又 2x1x2 2(当且仅当 x22时，取等号). 所以 a2 2， 故 a 的取值范围为(，2 2. 【点拨】当 f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0 在(a，b)上恒成立；同样，当函数 f(
3、x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0 在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 题型二 求函数的极值 【例 2】已知 f(x)ax3bx2cx(a0)在 x 1 时取得极值，且 f(1)1. (1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x 1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f(x)3ax22bxc. 因为 x 1 是函数 f(x)的极值点， 所以 x 1 是方程 f(x)0，即 3ax22bxc0 的两根. 由根与系数的关系，得 又 f(1)1，所以 abc1. 由解得 a12，b0，c32. (2)由(1)得 f(x)
4、12x332x， 所以当 f(x)32x2320 时，有 x1 或 x1； 当 f(x)32x2320 时，有1x1. , 13 , 032acab所以函数 f(x)12x332x 在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数. 所以当 x1 时，函数取得极大值 f(1)1；当 x1 时，函数取得极小值 f(1)1. 【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数 f(x)来讲， f(x)在点 xx0 处取极值的必要条件是 f(x)0.但是， 当 x0 满足 f(x0)0 时， f(x)在点 xx0 处却未必取得极值，只有在x0 的两侧 f(x)的导数异号时，x0 才是 f(x)的极
5、值点.并且如果 f(x)在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果 f(x)在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f(x)的极小值点，f(x0)是极小值. 【变式训练 2】定义在 R 上的函数 yf(x)，满足 f(3x)f(x)，(x32)f(x)0，若 x1x2，且 x1x23，则有( ) A. f(x1)f(x2) B. f(x1)f(x2) C. f(x1)f(x2) D.不确定 【解析】由 f(3x)f(x)可得 f3(x32)f(x32)，即 f(32x)f(x32)，所以函数 f(x)的图象关于 x32对称.又因为(x32)
6、f(x)0，所以当 x32时，函数 f(x)单调递减，当 x32时，函数f(x)单调递增.当x1x2232时，f(x1)f(x2)，因为 x1x23，所以x1x2232，相当于 x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以 f(x1)f(x2).故选 B. 题型三 求函数的最值 【例 3】 求函数 f(x)ln(1x)14x2 在区间0,2上的最大值和最小值. 【解析】f(x)11x12x，令11x12x0，化简为 x2x20，解得 x12 或 x21，其中 x12 舍去. 又由 f(x)11x12x0，且 x0,2，得知函数 f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数 f(x)的单调递减区
7、间是(1,2)，所以 f(1)ln 214为函数 f(x)的极大值.又因为 f(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0 为函数 f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 214为函数 f(x)在0,2上的最大值. 【点拨】求函数 f(x)在某闭区间a，b上的最值，首先需求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函数值 f(a)、f(b)比较，才能得出函数 f(x)在a，b上的最值. 【变式训练 3】(2008 江苏)f(x)ax33x1 对 x1,1总有 f(x)0 成立，则 a . 【解析】若 x0，则无论
8、 a 为何值，f(x)0 恒成立. 当 x(0,1时，f(x)0 可以化为 a3x21x3， 设 g(x)3x21x3，则 g(x)3(12x)x4， x(0，12)时，g(x)0，x(12，1时，g(x)0. 因此 g(x)maxg(12)4，所以 a4. 当 x1,0)时，f(x)0 可以化为 a3x21x3，此时 g(x)3(12x)x40， g(x)ming(1)4，所以 a4. 综上可知，a4. 总结提高 1.求函数单调区间的步骤是： (1)确定函数 f(x)的定义域 D； (2)求导数 f(x)； (3)根据 f(x)0，且 xD，求得函数 f(x)的单调递增区间；根据 f(x)0，且 xD，求得函数f(x)的单调递减区间. 2.求函数极值的步骤是： (1)求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)0 的根； (3)判断 f(x)在方程根左右的值的符号，确定 f(x)在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是： 先求 f(x)在(a，b)内的极值；再将 f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
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