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    高考数学一轮复习总教案:6.3等比数列

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    高考数学一轮复习总教案:6.3等比数列

    1、 6.3 等比数列等比数列 典例精析典例精析 题型一 等比数列的基本运算与判定 【例 1】数列an的前 n 项和记为 Sn,已知 a11,an1n2nSn(n1,2,3,).求证: (1)数列Snn是等比数列;(2)Sn14an. 【解析】(1)因为 an1Sn1Sn,an1n2nSn, 所以(n2)Snn(Sn1Sn). 整理得 nSn12(n1)Sn,所以Sn1n12Snn, 故Snn是以 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知Sn1n14Sn1n14ann1(n2), 于是 Sn14(n1)Sn1n14an(n2). 又 a23S13,故 S2a1a24. 因此对于任意正整数 n1,都

    2、有 Sn14an. 【点拨】运用等比数列的基本公式,将已知条件转化为关于等比数列的特征量 a1、q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一,同时应注意在使用等比数列前 n 项和公式时,应充分讨论公比 q 是否等于 1;应用定义判断数列是否是等比数列是最直接,最有依据的方法,也是通法, 若判断一个数列是等比数列可用an1anq(常数)恒成立, 也可用 a2 n1 an an2 恒成立,若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可,也可以用反证法. 【变式训练 1】等比数列an中,a1317,q12.记 f(n)a1a2an,则当 f(n)最大时,n 的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

    3、 【解析】 an317 (12)n1, 易知 a931712561, a100,0a111.又 a1a2a90, 故 f(9)a1a2a9 的值最大,此时 n9.故选 C. 题型二 性质运用 【例 2】在等比数列an中,a1a633,a3a432,anan1(nN*). (1)求 an; (2)若 Tnlg a1lg a2lg an,求 Tn. 【解析】(1)由等比数列的性质可知 a1a6a3a432, 又 a1a633,a1a6,解得 a132,a61, 所以a6a1132,即 q5132,所以 q12, 所以 an32(12)n126n . (2)由等比数列的性质可知,lg an是等差数列

    4、, 因为 lg anlg 26n(6n)lg 2,lg a15lg 2, 所以 Tn(lg a1lg an)n2n(11n)2lg 2. 【点拨】历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积性”,题目“小而巧”且背景不断更新,要熟练掌握. 【变式训练 2】在等差数列an中,若 a150,则有等式 a1a2ana1a2a29n(n29,nN*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列bn中,若 b191,能得到什么等式? 【解析】由题设可知,如果 am0,在等差数列中有 a1a2ana1a2a2m1n(n2m1,nN*)成立, 我们知道,如果 mnpq,则 amanapaq, 而对于等比数列bn,则有若

    5、 mnpq,则 amanapaq,所以可以得出结论: 若 bm1,则有 b1b2bnb1b2b2m1n(n2m1,nN*)成立. 在本题中则有 b1b2bnb1b2b37n(n37,nN*). 题型三 综合运用 【例 3】设数列an的前 n 项和为 Sn,其中 an0,a1 为常数,且a1,Sn,an1 成等差数列. (1)求an的通项公式; (2)设 bn1Sn,问是否存在 a1,使数列bn为等比数列?若存在,则求出 a1 的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得 2Snan1a1. 所以当 n2 时,有 两式相减得 an13an(n2). 又 a22S1a13a1,an0, 所

    6、以an是以首项为 a1,公比为 q3 的等比数列. 所以 ana13n1. (2)因为 Sna1(1qn)1q12a112a13n,所以 bn1Sn112a112a13n. 要使bn为等比数列,当且仅当 112a10,即 a12,此时 bn3n. 所以bn是首项为 3,公比为 q3 的等比数列. 所以bn能为等比数列,此时 a12. 【变式训练 3】已知命题:若an为等差数列,且 ama,anb(mn,m、nN*),则 amnbnamnm.现在已知数列bn(bn0,nN*)为等比数列,且 bma,bnb(mn,m,nN*),类比上述结论得 bmn . 11, 1122aaSaaSnnnn【解析】nmbnam. 总结提高 1.方程思想,即等比数列an中五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可“知三求二”,通过求和与通项两公式列方程组求解. 2.对于已知数列an递推公式 an 与 Sn 的混合关系式,利用公式 anSnSn1(n2),再引入辅助数列,转化为等比数列问题求解. 3.分类讨论思想:当 a10,q1 或 a10,0q1 时,等比数列an为递增数列;当 a10,0q1 或 a10,q1 时,an为递减数列;q0 时,an为摆动数列;q1 时,an为常数列.


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