1、第六章第六章 数列数列 高考导航高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.数列的概念和简单表示法 （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） ； （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2.等差数列、等比数列 （1）理解等差数列、等比数列的概念； （2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式； （3）能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系， 并能用有关知识解决相应的问题； （4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 本章重点： 1.等差数列、 等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质; 2.注重提炼一些重要的思想和方法，如：
2、观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系. 本章难点： 1.数列概念的理解； 2.等差等比数列性质的运用；3.数列通项与求和方法的运用. 仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前 n 项和公式及性质， 在解答题中， 会保持以前的风格，注重数列与其他分支的综合能力的考查，在高考中，数列常考常新，其主要原因是它作为一个特殊函数，使它可以与函数、不等式、解析几何、三角函数等综合起来，命出开放性、探索性强的问题，更体现了知识交叉命题原则得以贯彻；又因为数列与生产、生活的联系，使数列应用题也
3、倍受欢迎. 知识网络知识网络 6.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 典例精析典例精析 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式： (1)7,77,777,7 777， (2)23，415，635，863， (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9， 【解析】(1)将数列变形为79(101)，79(1021)，79(1031)，79(10n1)， 故 an79(10n1). (2)分开观察，正负号由(1)n1 确定，分子是偶数 2n，分母是 1 3,3 5,5 7， ，(2n1)(2n1)，故数列的通项公式可写成 an(1)n1.
4、 (3)将已知数列变为 10,21,30,41,50,61,70,81,90，. 故数列的通项公式为 ann. ) 12)(12(2nnn2) 1(1n【点拨】 联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项. 【变式训练 1】如下表定义函数 f(x)： x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 对于数列an，a14，anf(an1)，n2,3,4，则 a2 008 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】a14，a21，a35，a42，a54，可
5、得 an4an. 所以 a2 008a42，故选 B. 题型二 应用 an求数列通项 【例 2】已知数列an的前 n 项和 Sn，分别求其通项公式： (1)Sn3n2； (2)Sn18(an2)2 (an0). 【解析】(1)当 n1 时，a1S13121， 当 n2 时，anSnSn1(3n2)(3n12)2 3n1， 又 a11 不适合上式， 故 an (2)当 n1 时，a1S118(a12)2，解得 a12， 当 n2 时，anSnSn118(an2)218(an12)2， 所以(an2)2(an12)20，所以(anan1)(anan14)0， )2(),1(11nSSnSnn)2(
6、32),1( 11nnn又 an0，所以 anan14， 可知an为等差数列，公差为 4， 所以 ana1(n1)d2(n1)44n2， a12 也适合上式，故 an4n2. 【点拨】本例的关键是应用 an求数列的通项，特别要注意验证 a1 的值是否满足“n2”的一般性通项公式. 【变式训练 2】已知 a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是( ) A.2n1 B.(n1n)n1 C.n2 D.n 【解析】由 ann(an1an)an1ann1n. 所以 ananan1an1an2a2a1nn1n1n23221n，故选 D. 题型三 利用递推关系求数列的通项 【例 3】已
7、知在数列an中 a11，求满足下列条件的数列的通项公式： (1)an1an12an；(2)an12an2n1. 【解析】(1)因为对于一切 nN*，an0， 因此由 an1an12an得1an11an2，即1an11an2. 所以1an是等差数列，1an1a1(n1)22n1，即 an12n1. (2)根据已知条件得an12n1an2n1，即an12n1an2n1. 所以数列an2n是等差数列，an2n12(n1)2n12，即 an(2n1)2n1. 【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式
8、. 【变式训练 3】 设an是首项为 1 的正项数列， 且(n1) a2 n1na2 nan1an0(n1,2,3， )，)2(),1(11nSSnSnn求 an. 【解析】因为数列an是首项为 1 的正项数列， 所以 anan10，所以(n1)an1annanan110， 令an1ant，所以(n1)t2tn0， 所以(n1)tn(t1)0， 得 tnn1或 t1(舍去)，即an1annn1. 所以a2a1a3a2a4a3a5a4anan112233445n1n，所以 an1n. 总结提高 1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一. 2.由 Sn 求 an 时，要分 n1 和 n2 两种情况. 3.给出 Sn 与 an 的递推关系，要求 an，常用思路是：一是利用 SnSn1an(n2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.
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