1、考点 04 不等式及性质 【命题解读】【命题解读】 不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、两个实数比较大小的依据 (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0ab. 2、不等式的性质 (1)对称性：abbb，bcac； (3)可加性：abacbc；ab，cdacbd； (4)可乘性：ab，c0acbc; ab0，cd0acbd； cb0anbn(nN N，n1)； (6)可开方性：ab0na nb(nN N，n2) 3、常见的结论 (
2、1)ab，ab01a1b. (2)a0b1ab0,0cbd. (4)0axb 或 axb01b1xb0，m0，则 (1)babmam(bm0) (2)abambm；ab0) 1、下列四个命题中，为真命题的是( ) A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，cd，则 acbd C若 a|b|，则 a2b2 D若 ab，则1a1，31，而 23|b|知 a0，所以 a2b2，故选 C 2、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考） （多选题）设11ab ，0b，则下列不等式中恒成立的是（ ） A11ab B11ab C2ab D22ab 【答案】CD 【解析】 当12,2ab ，满足条件但1
3、1ab不成立，故 A 错误， 当0ab时，11ab，故 B 错误， 11,0bb Q，201b ，则2ab，故 C 正确， 11,0,0ababab Q，22()()0abab ab，故 D 正确. 故选：CD 3、 （2020 江苏盐城中学月考） （多选题）下列命题为真命题的是（ ）. A若，则 B若，则 C若，且，则 ab11ba0ab0cdabdc0ab0c22ccabD若，且，则 【答案】BCD 【解析】 选项 A：当取，时，本命题是假命题. 选项 B：已知，所以， ，故，本命题是真命题. 选项 C：， ，本命题是真命题. 选项 D：， ，本命题是真命题. 故选：BCD 4、若 aln
4、 22，bln 33，则 a_b(填“”或“”) 【答案】 【解析】 ：易知 a，b 都是正数，ba2ln 33ln 2log891，所以 ba. 5、已知1x4,2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_ 【答案】 ：(4,2) (1,18) 【解析】1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2yy0，则( ) A1x1y0 Bsinxsiny0 C12x12y0 【答案】 C 【解析】 函数 y12x在(0，)上为减函数，当 xy0 时，12x12y，即12x12yy01x1y1x1yy0 时，不能比较 sinx 与 siny
5、的大小，故 B 错误；xy0 xy1ln (xy)0ln xln y0，故 D 错误 变式 3、 （2020 邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ） A若 ab0，则 a2b2 B若 ab4，则 ab4 C若 ab，则 ac2bc2 D若 ab0，m0，则 【答案】AD 【解析】 对于 A，若，根据不等式的性质则，故 A 正确； 对于 B，当，时，显然 B 错误； 对于 C，当时，故 C 错误； 对于 D， 因为，所以，所以 所以，即成立，故 D 正确 故选 AD 方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方
6、式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、 负数或 0； 不等式左边是正数， 右边是负数， 当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等. 考向二 不等式的比较大小 例 2、设 ab0，试比较a2b2a2b2与abab的大小 解法一(作差法)： a2b2a2b2abab222222abababababab bbmaam0ab22ab2a 2b 44ab 0c =22acbcb ama bmba mbbmaama ama am0ab0m0ba0am0ba ma am0bbmaambbmaam 222
7、22222abababab ababababab 因为 ab0，所以 ab0，ab0，2ab0 所以222ab ababab0，所以a2b2a2b2abab 解法二(作商法)： 因为 ab0，所以a2b2a2b20，abab0 所以a2b2a2b2abab222ababa2b22aba2b212aba2b21 所以a2b2a2b2abab 变式 1、若 a0，b0，则 pb2aa2b与 qab 的大小关系为( ) Apq Dpq 【答案】 ： B 【解析】(作差法)pqb2aa2bab b2a2aa2b2b(b2a2)1a1b b2a2baabba2baab， 因为 a0，b0，所以 ab0.
8、 若 ab，则 pq0，故 pq； 若 ab，则 pq0，故 pb0，比较 aabb与 abba的大小 【解析】 aabbabbaaabbabbaba， 又 ab0，故ab1，ab0， baba1，即aabbabba1， 又 abba0，aabbabba， aabb与 abba的大小关系为 aabbabba. 变式 3、设 0 x0 且 a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小 解法一：当 a1 时，由 0 x1 知， loga(1x)0， |loga(1x)|loga(1x)| loga(1x)loga(1x)loga(1x2)， 01x21， loga(1x2)0， 故|
9、loga(1x)|loga(1x)| 当 0a|loga(1x)| 解法二(平方作差)： |loga(1x)|2|loga(1x)|2 loga(1x)2loga(1x)2 loga(1x2) loga1x1x loga(1x2) loga12x1x0 |loga(1x)|2|loga(1x)|2， 故|loga(1x)|loga(1x)| 方法总结：比较大小的方法 (1)作差法，其步骤：作差变形判断差与 0 的大小得出结论 (2)作商法，其步骤：作商变形判断商与 1 的大小得出结论 (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小 考向三 运用不等式求代数式的取值范围 例 3、设 f(x)
10、ax2bx，若 1f(1)2，2f(1)4，则 f(2)的取值范围是_. 【答案】5，10 【解析】方法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)， 即 4a2b(mn)a(nm)b. 于是得mn4，nm2，解得m3，n1. f(2)3f(1)f(1). 又1f(1)2，2f(1)4. 53f(1)f(1)10， 故 5f(2)10. 变式 1、设(0,),0,22那么23的取值范围是_ 【答案】 (, )6 【解析】 ：由题设得02,036 063 ， 263 变式 2、(2020天津模拟)若 ， 满足22，则 2 的取值范围是( ) A20
11、 B2 C3222 D02 【答案】C 【解析】 ：22，2. 22，22， 32232. 又 0，2，22. 故322b，则 Aln(ab)0 B3a0 Dab 【答案】C 【解析】取2,1ab，满足ab，ln()0ab，知 A 错，排除 A；因为9333ab，知 B 错，排除 B； 取1 ,2ab ， 满足ab，12ab， 知 D 错， 排除 D， 因为幂函数3yx是增函数，ab，所以33ab，故选 C 2、 （2016新课标，理 8）若1ab，01c，则( ) Accab Bccabba Cloglogbaacbc Dloglogabcc 【答案】C 【解析】1abQ，01c，函数( )
12、cf xx在(0,)上为增函数，故ccab，故A错误， 函数1( )cf xx在(0,)上为减函数，故11ccab，故ccbaab，即ccabba；故B错误； log0ac ，且log0bc ，log1ab ，即loglog1loglogcacbbcac，即loglogabcc故D错误； 0loglogabcc ， 故l o gl o gabbcac ， 即l o gl o gabbcac， 即l o gl o gbaacbc， 故C正确； 故选C 3、 （2014 山东）若0ab，0cd，则一定有（ ） Aabcd Babcd Cabdc Dabdc 【答案】D 【解析】由1100cddc
13、，又0ab，由不等式性质知：0abdc ，所以abdc，故选 D 4、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）若xy，则下列不等式中正确的是（ ） A22xy B2xyxy C22xy D222xyxy 【答案】AD 【解析】 对 A，由指数函数的单调性可知，当xy，有22xy，故 A 正确； 对 B，当0,0,xyxy时，2xyxy不成立，故 B 错误； 对 C，当0 xy时，22xy不成立，故 C 错误； 对 D，2222()0 xyxyxyQ成立，从而有222xyxy成立，故 D 正确； 故选：AD. 5、已知11xy ，13xy，则182yx的取值范围是 【答案】72,2 【解析】令3
14、xys xyt xyst xst y 则31stst ， 12st， 又11xy ， 13xy， 226xy 得137xy 则371822,22yxx y 6、若22( )31, ( )21f xxxg xxx则( ), ( )f x g x的大小关系是_ 【答案】( )( )f xg x 【解析】 ：22( )( )22(1)10( )( )f xg xxxxf xg x 7、(1)若 bcad0，bd0，求证：abbcdd； (2)已知 cab0，求证：acabcb. 证明 (1)bcad，bd0，cdab， cd1ab1，abbcdd. (2)cab0，ca0，cb0. ab0，1a0，cacb，caa0，cb0，acabcb. 8、已知 1a4,2b8，试求 ab 与ab的取值范围 【解析】 ：因为 1a4,2b8， 所以8b2. 所以 18ab42， 即7ab2. 又因为181b12， 所以18ab422，即18ab2. 故 ab 的取值范围为(7,2)，ab的取值范围为18，2 .
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