1、考点 11 函数的奇偶性与周期性 【命题解读】【命题解读】 关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点） 、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查； 【基础知识回顾基础知识回顾】 1 1、 奇、偶函数的定义 对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0)，则称 f(x)为奇函数；对于函数 f(x)的定义
2、域内的任意一个 x，都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0)，则称 f(x)为偶函数 2 2、 奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) (2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称 (3)若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)_0_ (4)若函数 f(x)是偶函数，则有 f(|x|)f(x) (5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反 3 3、 周期性 (1)周期函数 对于函数 yf(x)， 如果存在一个非零常数 T， 使得当 x 取定义域内的任何值时，
3、都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 4、函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x0 处有定义， 则一定有f(0)0； 如果函数f(x)是偶函数， 那么f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 5、函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x： (1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0) (2)若f(xa)1f（x），则T2a(a0
4、) (3)若f(xa)1f（x），则T2a(a0) 6、函数图象的对称性 (1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称 (2)若对于 R R 上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称 (3)若函数yf(xb)是奇函数， 即f(xb)f(xb)0， 则函数yf(x)关于点(b， 0)中心对称 1、下列函数为奇函数的是 Ayx Bsinyx Ccosyx Dxxyee 2、若函数)(12()(axxxxf为奇函数，则a= (A)21 (B)32 (C)43 (D)1 3、设)(xf是定义在R上的
5、奇函数，当0 x时，2( )2f xxx， 则(1)f= A3 B1 C1 D3 4、设函数( )f x，( )g x的定义域都为 R，且( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，则下列结论正确的是 A( )f x( )g x是偶函数 B( )f x|( )g x|是奇函数 C|( )f x|( )g x是奇函数 D|( )f x( )g x|是奇函数 5、（2019 福建莆田一中模拟）定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有( ) Af32f14f14 Bf14f14f32 Cf32f14f14 Df14f320，x2x，x0，x22x1，x0；
6、 变式 2、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 1x2x21； (2)f(x)(x1) 1x1x； (3)f(x)4x2x2. 方法总结： 1. 1. 判断函数的奇偶性， 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据 f(x)与 f(x)的关系结合定义作出判断 2. 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明 f(x)f(x)(f(x)f(x)对定义域中的任意 x 都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了 3. 3. 分段函数指在定义域的不
7、同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从 x0 或 x0 来寻找等式 f(x)f(x)或 f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性 考向二 函数的周期性及应用 例 2、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R上的函数满足(3)(3)fxfx ，且( )f x图像关于1x 对称，当(1,2x时，2( )log (21)f xx，则8252f_. 变式 1、 已知函数 f （x） 满足 f （0） 2， 且对任意 xR 都满足 f （x+3） f （x） ， 则 f （2019） 的值为 （ ） A2019 B2
8、C0 D2 变式 2、 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 019)_ 变式 3、设( )f x是定义在R上的周期为 2 的函数，当 1,1)x 时，242,10,( ),01,xxf xxx ，则3( )2f 变式 4、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)，当 x0，2时，f(x)2xx2 (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x2，4时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)f(1)f(2)f(2 016) 方法总结：(1
9、)判断函数的周期性只需证明 f(xT)f(x)(T0)即可，且周期为 T (2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 (3)在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期”的应用 (4)除 f(xT)f(x)(T0)之外，其它一些隐含周期的条件：f xaf xb，f xaf xb， cf xf xa， 111f xf x， 1111f xf xf x， 111f xf x 等 考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用 例 3、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知函数( )f x是
10、定义在R上的奇函数，当12xx时，有1212 ( )()()0f xf xxx恒成立，若(31)(2)0fxf，则 x 的取值范围是_ 变式 1、 （2020 河南高三月考（理） ）已知(2)f x是偶函数，( )f x在2，上单调递减，(0)0f，则(23 )0fx的解集是（ ） A2()(2)3 ，U B2(2)3， C22()33， D22()()33 ，U 变 式 2 、 （ 2017 江 苏 ） 已 知 函 数31( )2xxf xxxee， 其 中e是 自 然 数 对 数 的 底 数 ， 若2(1)( 2)0f afa，则实数a 的取值范围是 变式 3、 （2020 届山东省德州市
11、高三上期末）已知 f x为定义在R上的奇函数，当0 x时，有 1f xf x，且当0,1x时， 2log1f xx，下列命题正确的是（ ） A201920200ff B函数 f x在定义域上是周期为2的函数 C直线yx与函数 f x的图象有2个交点 D函数 f x的值域为1,1 变式 4、 （多选题） （2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数 yf x满足条件 2f xf x，且函数1yf x为奇函数，则（ ） A函数 yf x是周期函数 B函数 yf x的图象关于点1,0对称 C函数 yf x为R上的偶函数 D函数 yf x为R上的单调函数 方法总结： 1. 1. 已知
12、函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由 f(x)f(x)或 f(x)f(x)对定义域内的任意 x 恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果 2. 2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视 1、（2020 全国文 10）设函数 331f xxx，则 f x （ ） A是奇函数，且在0, 单调递增 B是奇函数，且在0, 单调
13、递减 C是偶函数，且在0, 单调递增 D是偶函数，且在0, 单调递减 2、 （2020 山东 8）若定义在R上的奇函数( )f x在(,0)单调递减，且(2)0f，则满足(1)0 xf x的x的取值范围是 （ ） A 1,13,U B 3,10,1U C 1,01,U D 1,01,3U 3、(2018 全国卷)已知( )f x是定义域为(,) 的奇函数，满足(1)(1)fxfx 若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff A50 B0 C2 D50 3、 (2016 山东)已知函数 f(x)的定义域为 R 当 x0 时， ； 当 时，；当 时，则 f(6)= A2 B1 C0 D2
14、4、 （多选题） （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在,0上单调递减的是（ ） A2xy B23yx C1yxx D2ln1yx 5、（多选题）（2020 届山东省潍坊市高三上期中） 已知函数22 ,0( )(2),0 xx xf xf xx， 以下结论正确的是 （ ） A( 3)(2019)3ff B f x 在区间4,5上是增函数 C若方程( ) 1f xk x恰有 3 个实根，则11,24k D若函数( )yf xb在(,4)上有 6 个零点(1,2,3,4,5,6)ix i ，则 61iiix f x的取值范围是0,6 6、 （2017 新课标）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当(,0)x 时，32( )2f xxx，则(2)f= 7、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且在0,上是减函数， 10,3f则不等式18log0fx的解集为_ 3( )1f xx11x ()( )fxf x 12x 11()()22f xf x
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