1、考点 13 指数与对数的运算 【命题解读】【命题解读】 学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质； 【基础知识回顾基础知识回顾】 1根式 (1)概念：式子na叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 (2)性质：(na)na(a 使na有意义)；当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan|a|a，a0，a，a0. 2分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 amnnam(a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是 amn1nam(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指
2、数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ 3对数的概念 如果 abN(a0 且 a1)，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数 4对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN； logaMnnlogaM (nR)；malogMnnmlogaM (2)对数的性质 Naalog_N_；logaaN_N_(a0 且 a1
3、) (3)对数的重要公式 换底公式：logaNlogcNlogcb (a，c 均大于零且不等于 1)； logab1logba，推广 logab logbc logcdlogad 1、设 a， b， c 均为不等于 1 的正实数， 则下列等式中恒成立的是 A B C()logogglloaaabcbc g D 【答案】【答案】B 【解析】a，b，c1 考察对数 2 个公式： ，对选项 A：，显然与第二个公式不符，所以为假对选项 B：，显然与第二个公式一致，所以为真对选项 C：， 显然与第一个公式不符， 所以为假 对选项 D：，同样与第一个公式不符，所以为假所以选 B 2、23(log 9) (
4、log 4)= A 14 B12 C 2 D 4 【答案】【答案】D 【解析】23lg9lg42lg32lg2log 9 log 44lg2lg3lg2lg3 3、化简 4a23b1323a13b23的结果为( ) A2a3b B8ab C6ab D6ab 【答案】C logloglogaccbab loglologgaaabab()loggogollaaabbccabbyxxyccaaaalogloglog,logloglogbababbccaccaloglogloglogloglogabbbabccaccaloglogloglogloglogcbbcaaalogloglog）（cbcbaa
5、aloglog)log（【解析】原式6a2313b13236ab16ab. 4、(多选)已知 aa13，在下列各选项中，其中正确的是( ) Aa2a27 Ba3a318 Ca12a12 5 Da a1a a2 5 【答案】ABD 【解析】在选项 A 中，因为 aa13，所以 a2a2(aa1)22927，故 A 正确；在选项 B中，因为 aa13，所以 a3a3(aa1)(a21a2)(aa1) (aa1)233618，故 B 正确；在选项 C 中，因为 aa13，所以(a12a12)2aa125，且 a0，所以 a12a12 5，故 C 错误；在选项 D 中，因为 a3a318，且 a0，所
6、以a a1a a2a3a3220，所以 a a1a a2 5，故D 正确 5、lg5lg20的值是_ 【答案】【答案】1 【解析】lg5lg20lg101 6、计算：log5412log210(3 3)237log72_ 【答案】0 【解析】原式log52log210(332)232log5(1032)log551. 7、 （2012 北京）已知函数( )lgf xx，若()1f ab ，则22()()f af b 【答案】【答案】2 【解析】由()1f ab ，得10ab，于是2222()()lglgf af bab 2(lglg )2lg()2lg102abab 考向一 指数幂的运算 例
7、1 化简下列各式(其中各字母均为正数) (1)278230.0021210( 52)10 (2)a3b23ab2（a14b12）4a13b13(a0，b0) (3)1253(0.064 )2.5 33380； (4)12112133265ababa bgggg 【解析】(1)原式3225001210（ 52）（ 52）（ 52）1 4910 510 52011679. (2)原式(a3b2a13b23)12ab2a13b13a3216113b113213ab. (3 原式253112536427110008=152133523343102 1523210. (4)原式11111 111 1 5
8、33223 262 3 61566a bababa b gg1a. 变式 1、 计算下列各式的值： （）； （） 【解析】 （）原式； （）原式 变式 2、已知1122xx3，求22332223xxxx的值 【解析】设12xt，则12x1t，已知即 t1t3. 于是，3322xxt31t3t1tt21t21 ， 而 x2x2t41t42221()tt2, 将 t1t3，平方得 t21t229，于是 t21t27.从而，原式t21t222t1tt21t21 37223（71）34715. 方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：必须同底数
9、幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 考向二 对数的运算 例 1、 （1）化简：lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40_ （2）化简：45 . 0log32_ （3）设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于( ) A. 100 B. 10 C. 2log 10 D. 10 【解析】 （1） 原式lg 2 58lg 5040lg 54lg 541 （2） 45 . 0l o g3223 2log0548421log2 8 2log24841log228142 （3）
10、D 由 2a5bm 得 alog2m，blog5m， 1a1blogm2logm5logm10 1a1b2，logm102，m210，m 10 变式 1、 化简下列各式： (1)12lg25lg2lg 10lg(0.01)1； (2)(lg2)2lg2lg50lg25； (3)计算(log32log92) (log43log83)； （4）2log32log3329log383log55； 【解析】 (1)原式lg251221012（102）1 lg521012102 72lg10 72. (2) 原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5 (11)lg22lg
11、5 2(lg2lg5) 2. (3) (log32log92) (log43log83) lg2lg3lg2lg9lg3lg4lg3lg8 lg2lg3lg22lg3lg32lg2lg33lg2 3lg22lg35lg36lg2 54. （4）2log32log3329log383log55 log322log3(3225)log3233 log3(22322523)3 log3323 23 1. 变式 2、(1)2log32log3329log385log 35； (2)(log2125log425log85) (log52log254log1258) 【解析】(1)原式2log325log
12、3223log3231. (2)(方法 1)原式log253log225log24log25log28 log52log54log525log58log5125 3log252log252log22log253log22log522log522log553log523log55 3113log253log52 13log55log52log52 13. (方法 2) 原式lg125lg2lg25lg4lg5lg8lg2lg5lg4lg25lg8lg125 3lg5lg22lg52lg2lg53lg2lg2lg52lg22lg53lg23lg5 133lg5lg23lg2lg5 13. 方法总结
13、：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如： (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 考向三 指数是与对数式的综合 例 3 (1)已知 a，b，c 均为正数，且 3a4b6c，求证：2a1b2c ； (2)若 60a3，60b5，求12(1)12a bb 的值 【解析】 (1)设 3a4b6ck，则 k1.由对数定义得 alog3k，blog4k，clog6k， 则
14、2a1b2log3k1log4k 2logk3logk4 logk9logk4 logk36. 又2c2log6k2logk6logk36， 2a1b2c. (2)由 alog603，blog605，得 1b1log605log6012， 于是 1ab1log603log605log604， 则有1ab1blog604log6012log124， 121ab2（1b） 1212log124 12log1222. 变式 1、设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于_. 由 2a5bm 得 alog2m，blog5m， 1a1blogm2logm5logm10. 1a1b2，logm102，m2
15、10，m 10. 方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注： 1. 1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低” ，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法 2. 2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果 1、 （2013 浙江）已知为正实数，则 A B C D 【答案】【答案】D 【解析】取特殊值即可，如取 2、（2020 全国文 8）设3lo
16、g 42a，则4a （ ） A116 B19 C18 D16 【答案】B 【解析】由3log 42a可得3log 42a，49a，有149a，故选 B 3、 （2017 新课标）设, ,x y z为正数，且235xyz，则 A235xyz B523zxy C352yzx D325yxz 【答案】D 【解析】设235xyzk，因为, ,x y z为正数，所以1k ，则2logxk，3logyk，5logzk，所 以22 l gl g 3l g 913l g 23 l gl g 8xkyk， 则23xy， 排 除A 、 B ； 只 需 比 较2x与5z，22lglg5lg2515lg25lglg3
17、2xkzk，则25xz，选 D 4、 （2017 北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3048） A3310 B5310 C7310 D9310 【答案】【答案】D 【解析】设36180310MxN，两边取对数得，36136180803lglglg3lg10361 lg3 8093.2810 x ，所yx,yxyxlglglglg222lg()lglg222x yxygyxyxlglglglg222lg()lglg222xyxyglglglglg10,1,22,223,xyx
18、yxylglg11lglg22,21x yxy以93.2810 x ，即MN最接近9310，选 D 5、（2020 全国理 12）若242log42logabab，则 （ ） A2ab B2ab C2ab D2ab 【答案】B 【思路导引】设2( )2logxf xx，利用作差法结合( )f x的单调性即可得到答案 【解析】设2( )2logxf xx，则( )f x为增函数，22422log42log2logabbabb， ( )(2 )f afb2222log(2log 2 )abab22222log(2log 2 )bbbb21log102 ， ( )(2 )f afb，2ab 2( )
19、()f af b22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb， 当1b时，2( )()20f af b，此时2( )()f af b，有2ab；当2b时，2( )()10f af b ，此时2( )()f af b，有2ab，C、D 错误，故选 B 6、 化简下列各式： (1)(0.06415)2.52333380； (2)56a13 b23a12b14a23 b312. 【解析】(1)原式641 000155223278131 4103155223323131 523210. (2)原式52a16b34a23 b312 54a16b3 (a13b32)54a12 b32 541ab35 ab4ab2.
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