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    2022届高三数学一轮复习考点13:指数与对数的运算(解析版)

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    2022届高三数学一轮复习考点13:指数与对数的运算(解析版)

    1、考点 13 指数与对数的运算 【命题解读】【命题解读】 学生应指数幂的含义及运算法则,实数指数幂的意义;理解对数的概念及其运算性质,换底公式使用方法,对数函数的概念、图象与性质; 【基础知识回顾基础知识回顾】 1根式 (1)概念:式子na叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数 (2)性质:(na)na(a 使na有意义);当 n 为奇数时,nana,当 n 为偶数时,nan|a|a,a0,a,a0. 2分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 amnnam(a0,m,nN*,且 n1);正数的负分数指数幂的意义是 amn1nam(a0,m,nN*,且 n1);0 的正分数指

    2、数幂等于 0;0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理指数幂的运算性质:arasars;(ar)sars;(ab)rarbr,其中 a0,b0,r,sQ 3对数的概念 如果 abN(a0 且 a1),那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaNb,其中_a_叫做对数的底数,_N_叫做真数 4对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0 且 a1,M0,N0,那么 loga(MN)logaMlogaN;logaMNlogaMlogaN; logaMnnlogaM (nR);malogMnnmlogaM (2)对数的性质 Naalog_N_;logaaN_N_(a0 且 a1

    3、) (3)对数的重要公式 换底公式:logaNlogcNlogcb (a,c 均大于零且不等于 1); logab1logba,推广 logab logbc logcdlogad 1、设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 A B C()logogglloaaabcbc g D 【答案】【答案】B 【解析】a,b,c1 考察对数 2 个公式: ,对选项 A:,显然与第二个公式不符,所以为假对选项 B:,显然与第二个公式一致,所以为真对选项 C:, 显然与第一个公式不符, 所以为假 对选项 D:,同样与第一个公式不符,所以为假所以选 B 2、23(log 9) (

    4、log 4)= A 14 B12 C 2 D 4 【答案】【答案】D 【解析】23lg9lg42lg32lg2log 9 log 44lg2lg3lg2lg3 3、化简 4a23b1323a13b23的结果为( ) A2a3b B8ab C6ab D6ab 【答案】C logloglogaccbab loglologgaaabab()loggogollaaabbccabbyxxyccaaaalogloglog,logloglogbababbccaccaloglogloglogloglogabbbabccaccaloglogloglogloglogcbbcaaalogloglog)(cbcbaa

    5、aloglog)log(【解析】原式6a2313b13236ab16ab. 4、(多选)已知 aa13,在下列各选项中,其中正确的是( ) Aa2a27 Ba3a318 Ca12a12 5 Da a1a a2 5 【答案】ABD 【解析】在选项 A 中,因为 aa13,所以 a2a2(aa1)22927,故 A 正确;在选项 B中,因为 aa13,所以 a3a3(aa1)(a21a2)(aa1) (aa1)233618,故 B 正确;在选项 C 中,因为 aa13,所以(a12a12)2aa125,且 a0,所以 a12a12 5,故 C 错误;在选项 D 中,因为 a3a318,且 a0,所

    6、以a a1a a2a3a3220,所以 a a1a a2 5,故D 正确 5、lg5lg20的值是_ 【答案】【答案】1 【解析】lg5lg20lg101 6、计算:log5412log210(3 3)237log72_ 【答案】0 【解析】原式log52log210(332)232log5(1032)log551. 7、 (2012 北京)已知函数( )lgf xx,若()1f ab ,则22()()f af b 【答案】【答案】2 【解析】由()1f ab ,得10ab,于是2222()()lglgf af bab 2(lglg )2lg()2lg102abab 考向一 指数幂的运算 例

    7、1 化简下列各式(其中各字母均为正数) (1)278230.0021210( 52)10 (2)a3b23ab2(a14b12)4a13b13(a0,b0) (3)1253(0.064 )2.5 33380; (4)12112133265ababa bgggg 【解析】(1)原式3225001210( 52)( 52)( 52)1 4910 510 52011679. (2)原式(a3b2a13b23)12ab2a13b13a3216113b113213ab. (3 原式253112536427110008=152133523343102 1523210. (4)原式11111 111 1 5

    8、33223 262 3 61566a bababa b gg1a. 变式 1、 计算下列各式的值: (); () 【解析】 ()原式; ()原式 变式 2、已知1122xx3,求22332223xxxx的值 【解析】设12xt,则12x1t,已知即 t1t3. 于是,3322xxt31t3t1tt21t21 , 而 x2x2t41t42221()tt2, 将 t1t3,平方得 t21t229,于是 t21t27.从而,原式t21t222t1tt21t21 37223(71)34715. 方法总结:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,这时要注意:必须同底数

    9、幂相乘,指数才能相加;运算的先后顺序 (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数 考向二 对数的运算 例 1、 (1)化简:lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40_ (2)化简:45 . 0log32_ (3)设 2a5bm,且1a1b2,则 m 等于( ) A. 100 B. 10 C. 2log 10 D. 10 【解析】 (1) 原式lg 2 58lg 5040lg 54lg 541 (2) 45 . 0l o g3223 2log0548421log2 8 2log24841log228142 (3)

    10、D 由 2a5bm 得 alog2m,blog5m, 1a1blogm2logm5logm10 1a1b2,logm102,m210,m 10 变式 1、 化简下列各式: (1)12lg25lg2lg 10lg(0.01)1; (2)(lg2)2lg2lg50lg25; (3)计算(log32log92) (log43log83); (4)2log32log3329log383log55; 【解析】 (1)原式lg251221012(102)1 lg521012102 72lg10 72. (2) 原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5 (11)lg22lg

    11、5 2(lg2lg5) 2. (3) (log32log92) (log43log83) lg2lg3lg2lg9lg3lg4lg3lg8 lg2lg3lg22lg3lg32lg2lg33lg2 3lg22lg35lg36lg2 54. (4)2log32log3329log383log55 log322log3(3225)log3233 log3(22322523)3 log3323 23 1. 变式 2、(1)2log32log3329log385log 35; (2)(log2125log425log85) (log52log254log1258) 【解析】(1)原式2log325log

    12、3223log3231. (2)(方法 1)原式log253log225log24log25log28 log52log54log525log58log5125 3log252log252log22log253log22log522log522log553log523log55 3113log253log52 13log55log52log52 13. (方法 2) 原式lg125lg2lg25lg4lg5lg8lg2lg5lg4lg25lg8lg125 3lg5lg22lg52lg2lg53lg2lg2lg52lg22lg53lg23lg5 133lg5lg23lg2lg5 13. 方法总结

    13、:对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质,不能把公式记错,当然也有一定的运算技巧,例如: (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并; (2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 考向三 指数是与对数式的综合 例 3 (1)已知 a,b,c 均为正数,且 3a4b6c,求证:2a1b2c ; (2)若 60a3,60b5,求12(1)12a bb 的值 【解析】 (1)设 3a4b6ck,则 k1.由对数定义得 alog3k,blog4k,clog6k, 则

    14、2a1b2log3k1log4k 2logk3logk4 logk9logk4 logk36. 又2c2log6k2logk6logk36, 2a1b2c. (2)由 alog603,blog605,得 1b1log605log6012, 于是 1ab1log603log605log604, 则有1ab1blog604log6012log124, 121ab2(1b) 1212log124 12log1222. 变式 1、设 2a5bm,且1a1b2,则 m 等于_. 由 2a5bm 得 alog2m,blog5m, 1a1blogm2logm5logm10. 1a1b2,logm102,m2

    15、10,m 10. 方法总结: 这是一道关于指数式与对数式的混合问题,求解这类问题,以下两点值得关注: 1. 1. 根据对数的定义,对数式与指数式能够相互转化,其解答过程体现了化归与转化的数学思想,其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简,困难之处在于将指数由“高”降“低” ,便于进一步计算,这是指、对数运算经常使用的方法 2. 2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式,先将底数统一,再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简,求得结果 1、 (2013 浙江)已知为正实数,则 A B C D 【答案】【答案】D 【解析】取特殊值即可,如取 2、(2020 全国文 8)设3lo

    16、g 42a,则4a ( ) A116 B19 C18 D16 【答案】B 【解析】由3log 42a可得3log 42a,49a,有149a,故选 B 3、 (2017 新课标)设, ,x y z为正数,且235xyz,则 A235xyz B523zxy C352yzx D325yxz 【答案】D 【解析】设235xyzk,因为, ,x y z为正数,所以1k ,则2logxk,3logyk,5logzk,所 以22 l gl g 3l g 913l g 23 l gl g 8xkyk, 则23xy, 排 除A 、 B ; 只 需 比 较2x与5z,22lglg5lg2515lg25lglg3

    17、2xkzk,则25xz,选 D 4、 (2017 北京)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010则下列各数中与MN最接近的是 (参考数据:lg3048) A3310 B5310 C7310 D9310 【答案】【答案】D 【解析】设36180310MxN,两边取对数得,36136180803lglglg3lg10361 lg3 8093.2810 x ,所yx,yxyxlglglglg222lg()lglg222x yxygyxyxlglglglg222lg()lglg222xyxyglglglglg10,1,22,223,xyx

    18、yxylglg11lglg22,21x yxy以93.2810 x ,即MN最接近9310,选 D 5、(2020 全国理 12)若242log42logabab,则 ( ) A2ab B2ab C2ab D2ab 【答案】B 【思路导引】设2( )2logxf xx,利用作差法结合( )f x的单调性即可得到答案 【解析】设2( )2logxf xx,则( )f x为增函数,22422log42log2logabbabb, ( )(2 )f afb2222log(2log 2 )abab22222log(2log 2 )bbbb21log102 , ( )(2 )f afb,2ab 2( )

    19、()f af b22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb, 当1b时,2( )()20f af b,此时2( )()f af b,有2ab;当2b时,2( )()10f af b ,此时2( )()f af b,有2ab,C、D 错误,故选 B 6、 化简下列各式: (1)(0.06415)2.52333380; (2)56a13 b23a12b14a23 b312. 【解析】(1)原式641 000155223278131 4103155223323131 523210. (2)原式52a16b34a23 b312 54a16b3 (a13b32)54a12 b32 541ab35 ab4ab2.


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