1、考点 15 对数函数 【命题解读】【命题解读】 1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质； 2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质 底数 a1 0a1 时，恒有 y0； 当 0 x1 时，恒有 y1 时，恒有 y0； 当 0 x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 注 意 当对数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a1 和 0a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称 对数函数的图象与底
2、数大小的比较 3、如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底 数 故 0cd1ab. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大 1、函数 f(x)log2(x22 2)的值域为( ) A. ，32 B. ，32 C. 32， D. 32， 【答案】B 【解析】 由题意可得x22 20，即x22 2(0，2 2 得所求函数值域为，32.故选 B. 2、当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象为( ) 【答案】 C来源:学。科。网 【解析： yax1ax，a1，01a1， 则 yax在(，)上是减函数，过定点(0，1)； 对数函数 y
3、logax 在(0，)上是增函数，过定点(1，0).故选 C. 3、不等式 log12(2x3)0，5x60，2x35x6，解得65xlog2ea， 所以 ca. 因为 bln 21log2e1log2ea， 所以 ab. 所以 cab. （3）由题意得a0，log2alog2a 或a0，log2（a）log2（a）， 解得 a1 或1a0.故选 C. 变式 2、 （1）已知是偶函数，则（ ） A B C D （2） （2020 浙江衢州 期中）已知，则（ ） 0.22a 2log 0.2b 0.2log0.3c A B C D 【答案】 （1） C （2）C 【解析】 （1）是偶函数， ，函
4、数为增函数， ， 故选：C （2） ： ， ，且， 所以，故. 故选：C 方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等 (1)对数值大小比较的主要方法：化为同底数后利用函数的单调性；化为同真数后利用图像比较；借用中间量(0 或 1 等)进行估值比较 (2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数 0a1 两种情形进行分类讨论，防止错解 考向二 对数函数的图像及其应用 例 1、 （1） 已知函数 yloga(xc)(a， c 为常数， 其中 a0， 且 a1)的图象如图，给出以下结
5、论正确的是（ ） Aa1，c1 Ba1，0c1； C0a1，c1 D0a1，0c1 （2）当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是（ ） A. 20,2 B. 2,12 C. 2,2 D. 1,12 abcacbbcacab0.20221a 22log 0.2log 10b 0.20.2log0.3log0.21c 0.20.2log0.3log101a 0b 01cbca（3）若函数 f(x)x6，x2，3logax，x2(a0，且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 （1） C （2）B （3）1a2 【解析】 （1） 由题图可知，函数在定义域内为减函
6、数，所以 0a1又当 x0 时，y0，即 logac0，所以 0c1 （2） 由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax0 x12， 即当 0 x12时，函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方又当 x12时，4122， 即函数 y4x的图象过点12，2 把点12，2 代入函数 ylogax，得 a22若函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方，则需22a1(如图所示) 当 a1 时，不符合题意，舍去 所以实数 a 的取值范围是22，1 （3） 由题意 f(x)的图象如下图，则a1，3loga24，1a2 变式 1、函数 yln(2|x|)的大致图象为( ) 【答案】
7、A 【解析】令 f(x)ln(2|x|)，易知函数 f(x)的定义域为x|2x2， 且 f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除选项 C、D. 由对数函数的单调性及函数 y2|x|的单调性知 A 正确 变式 2、关于函数( ) |2|f xlnx下列描述正确的有( ) A函数( )f x在区间(1,2)上单调递增 B函数( )yf x的图象关于直线2x 对称 C若12xx，但12()()f xf x，则124xx D函数( )f x有且仅有两个零点 【答案】ABD 【解析】函数( ) |2|f xlnx的图象如下图所示： 由图可得： 函数( )f x在
8、区间(1,2)上单调递增，A正确； 函数( )yf x的图象关于直线2x 对称，B正确； 若12xx，但12()()f xf x，则124xx，C错误； 函数( )f x有且仅有两个零点，D正确 故选：ABD 变式 3、（2020 浙江月考） 已知函数 y=sinax+b(a0)的图像如图所示， 则函数 y=loga(x+b)的图像可能是 （ ） A B C D 【答案】C 【解析】 根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论 详解： 由函数的图象可得， 故函数是定义域内的减函数，且过定点. 结合所给的图像可知只有 C 选项符合题意. 故选：C. 方法总结：(1)
9、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解 考向三 对数函数的综合及应用 例 3、关于函数 f (x)ln 1x1x，下列说法中正确的有( ) Af (x)的定义域为(，1)(1，) Bf (x)为奇函数 Cf (x)在定义域上是增函数 D对任意 x1，x2(1,1)，都有 f (x1)f (x2)f x1x21x1x2 【答案】 BD 【解析】 函数 f (x)ln 1x1xln21x1， 其定义域满足(1x)(1x)0，解得1x1，
10、 定义域为x|1x1A 不对 由 f (x)ln 1x1xln1x1x1ln 1x1xf (x)，是奇函数，B 对 sin(0)yaxb aablog ()ayxbsin(0)yaxb a201,23ba213alog ()ayxb(1,0)b函数 y21x1 在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， f (x)在定义域内是减函数，C 不对 f (x1)f (x2)ln 1x11x1ln 1x21x2 ln1x11x11x21x2f x1x21x1x2.D 对 变式 1、(多选)已知函数 f (x)的图象与 g(x)2x的图象关于直线 yx 对称，令 h(x)f (1|x|)，则关
11、于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为( ) Ah(x)的图象关于原点对称 Bh(x)的图象关于 y 轴对称 Ch(x)的最大值为 0 Dh(x)在区间(1,1)上单调递增 【答案】 BC 【解析】 函数 f (x)的图象与 g(x)2x的图象关于直线 yx 对称， f (x)log2x，h(x)log2(1|x|)，为偶函数，不是奇函数， A 错误，B 正确； 根据偶函数性质可知 D 错误； 1|x|1，h(x)log210，故 C 正确 变式 2、已知函数 f(x)32log2x，g(x)log2x (1)当 x1,4时，求函数 h(x)f(x)1 g(x)的值域； (2)如果对任意的
12、 x1,4，不等式 f(x2) f( x)k g(x)恒成立，求实数 k 的取值范围 【解析】 (1)h(x)(42log2x) log2x2(log2x1)22， 因为 x1,4，所以 log2x0,2， 故函数 h(x)的值域为0,2 (2)由 f(x2) f( x)k g(x)得 (34log2x)(3log2x)k log2x， 令 tlog2x，因为 x1,4，所以 tlog2x0,2， 所以(34t)(3t)k t 对一切 t0,2恒成立， 当 t0 时，kR； 当 t(0,2时，k(34 )(3)ttt恒成立，即 k0 且 a1 (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集 【解析】(1)要使函数 f(x)有意义则x10，1x0，解得1x1 故所求函数 f(x)的定义域为x|1x1 (2)由(1)知 f(x)的定义域为x|1x1 时，f(x)在定义域x|1x0 x11x1，解得 0 x0 的 x 的解集是x|0 x1
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