1、考点 20 导数的概念及其运算 【命题解读】【命题解读】 从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力. 【基础知识回顾基础知识回顾】 1. 导数的概念 设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0(a，b)，若x 无限趋近于 0 时
2、，比值yxf（x0 x）f（x0）x无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0) 若函数 yf(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f(x) 2. 导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，过点 P的切线方程为 yy0f(x0)(xx0) 3. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)C(C 为常数) f(x
3、)0 f(x)x f(x)x1 续表 基本初等函数 导函数 f(x)sinx f(x)cosx f(x)cosx f(x)sinx f(x)ex f(x)ex f(x)ax(a0) f(x)axlna f(x)lnx f(x)1x f(x)logax(a0，且 a1) f(x)1xlna 4. 导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g2（x）(g(x)0) 5. 复合函数的求导法则 (1)一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug
4、(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x) (2)复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 1、下列求导结果正确的是（ ） A2112xx Bcos30sin30 C1ln 22xx D332xx 【答案】D 【解析】对于 A，2(1)2xx ，故 A 错误； 对于 B，(cos30 )0 ，故 B 错误； 对于 C，11 (2 )(2 )2lnxxxx ，故 C 错误； 对于 D
5、，3132233()22xxxx，故 D 正确 故选：D 2、若( )ln2xf xex，则( )fx（ ） Aln22xxeexx Bln2xxeexx Cln2xxeexx D12xex 【答案】C 【解析】 ( )ln2(ln2 )xxfxexex ln2xxeexx 故选：C 3、 （2020 广东肇庆市 高三月考）已知函数1( )elnxf xxx，则 1f （ ） A0 B1 Ce D2 【答案】D 【解析】因为1( )elnxf xxx，所以111( )elne1 lnxxfxxxxx ， 所以1 1(1)e1 ln12f ， 故选：D 4、 设 M 为曲线 C：y2x23x3
6、上的点，且曲线 C 在点 M 处切线倾斜角的取值范围为34，则点 M横坐标的取值范围为(D ) A. )1， B. ，34 C. 1，34 D. 1，34 【答案】D 【解析】 、 由题意 y4x3，切线倾斜角的范围是34，则切线的斜率 k 的范围是)1，0，14x30，解得1x0，所以 21x0 时，h(x)0， h(x)在(0，)上是单调增函数，h(x)0 最多只有一个根. 又 h1e2e21e2ln1e210， x01e2. 由 f(x0)1 得切线方程是 xy1e20. 变式 2、已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程； (2)若直线 l
7、为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y14x3 垂直，求切点坐标与切线方程 【解析】 (1)由函数 f(x)的解析式可知点(2，6)在曲线 yf(x)上，f(x)(x3x16)3x21， 在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13， 切线的方程为 y(6)13(x2)， 即 y13x32. (2)(方法 1)设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f(x0)3x201， 直线 l 的方程为 y(3x201)(xx0)x30 x016. 又直线 l 过点(0，0)， 0(3x201)(x0)x30 x016
8、， 整理得 x308，x02， y0(2)3(2)1626， f(2)3(2)2113， 故直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) (方法 2)设直线 l 的方程为 ykx，切点坐标为(x0，y0)，则 ky00 x00 x30 x016x0. 又kf(x0)3x201， x30 x016x03x201，解得 x02， y0(2)3(2)1626， k3(2)2113，直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) (3)曲线 f(x)的某一切线与直线 yx43 垂直，该切线的斜率 k4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则 f(x0)3x2014， x0 1，x01，y0
9、14或x01，y018. 故切线方程为 y(14)4(x1) 或 y(18)4(x1)，即 y4x18 或 y4x14. 方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标 (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点 (3)曲线 yf(x)“在”点 P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的切线的区别：曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指点 P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为 kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线 yf(x)过点 P(x0
10、，y0)的切线，是指切线经过点 P，点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条 考向三 导数几何意义的应用 例 3、已知函数32( )3611f xaxxax，2( )3612g xxx和直线:9m ykx，且( 1)0f (1)求a的值； (2)是否存在k，使直线m既是曲线( )yf x的切线，又是曲线( )yg x的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由 【解析】 ：(1)由已知得 f(x)3ax26x6a， f(1)0，3a66a0，a2. (2)存在 由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 yg(x)的切线， 则设切点为(x0,3x20
11、6x012)g(x0)6x06， 切线方程为 y(3x206x012)(6x06)(xx0)， 将(0,9)代入切线方程，解得 x0 1.当 x01 时，切线方程为 y9； 当 x01 时，切线方程为 y12x9.由(1)知 f(x)2x33x212x11， 由 f(x)0 得6x26x120，解得 x1 或 x2. 在 x1 处，yf(x)的切线方程为 y18； 在 x2 处，yf(x)的切线方程为 y9，yf(x)与 yg(x)的公切线是 y9. 由 f(x)12 得6x26x1212，解得 x0 或 x1. 在 x0 处，yf(x)的切线方程为 y12x11； 在 x1 处，yf(x)的
12、切线方程为 y12x10； yf(x)与 yg(x)的公切线不是 y12x9. 综上所述，yf(x)与 yg(x)的公切线是 y9，此时 k0. 变式 1、已知函数 3cos2sin2 ,4f xxxx affx是 f x的导函数，则过曲线3yx上一点,P a b的切线方程为_ 变式 2：若直线2yxm是曲线lnyxx的切线，则实数m的值为_ 【答案】 ：(1)3xy20 或 3x4y10 (2)e 【解析】 ：(1)由 f(x)3xcos 2xsin 2x 得 f(x)32sin 2x2cos 2x， 则 af(4)32sin 22cos 21.由 yx3得 y3x2， 当 P 点为切点时，
13、切线的斜率 k3a23 123.又 ba3，则 b1，所以切点 P 的坐标为(1,1) 故过曲线 yx3上的点 P 的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20. 当 P 点不是切点时，设切点为(x0，x30)，切线方程为 yx303x20(xx0)， P(a，b)在曲线 yx3上，且 a1，b1.1x303x20(1x0)， 2x303x2010，2x302x20 x2010，(x01)2(2x01)0，切点为11,28， 此时的切线方程为131842yx， 综上，满足题意的切线方程为 3xy20 或 3x4y10. (2)设切点为(x0，x0ln x0)， 由 y(xln x)ln xx1
14、xln x1，得切线的斜率 kln x01， 故切线方程为 yx0ln x0(ln x01)(xx0)，整理得 y(ln x01)xx0，与 y2xm 比较得 ln x012，x0m，解得 x0e，故 me. 变式3、 (2019常州期末） 若直线kxyk0与曲线yex(e是自然对数的底数)相切， 则实数k_ 【答案】 、 e2 【解析】 、设切点 A(x0，ex0)，由(ex)ex，得切线方程为 yex0ex0(xx0)，即 yex0 x(1x0)ex0，所以kex0，k（1x0）ex0，解得x02，ke2. 方法总结：1利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的
15、方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围 2求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上 1、 【2020 年高考全国卷理数】函数43( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为 A21yx B21yx C23yx D21yx 【答案】B 【解析】 432f xxxQ， 3246fxxx， 11f， 12f ， 因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx . 故选：B 2、 【2019 年高考全国卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2
16、x+b，则 Ae1ab， Ba=e，b=1 C1e1ab， D1ea，1b 【答案】D 【解析】eln1,xyax 切线的斜率1|e 12xkya ，1ea， 将(1,1)代入2yxb，得21,1bb . 故选 D 3、 【2018 年高考全国卷理数】设函数32( )(1)f xxaxax.若( )f x为奇函数，则曲线( )yf x在点(0,0)处的切线方程为 A2yx Byx C2yx Dyx 【答案】D 【解析】因为函数()是奇函数，所以 1 = 0，解得 = 1，所以() = 3+ ，() = 32+ 1， 所以(0) = 1,(0) = 0， 所以曲线 = ()在点(0,0)处的切线
17、方程为 (0) = (0)，化简可得 = . 故选 D. 4、 【2019 年高考全国卷理数】曲线23()exyxx在点(0 )0，处的切线方程为_ 【答案】30 xy 【解析】223(21)e3()e3(31)e ,xxxyxxxxx 所以切线的斜率0|3xky， 则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30 xy 5、 【2018 年高考全国卷理数】曲线1 exyax在点0,1处的切线的斜率为2，则a_ 【答案】3 【解析】e1 exxyaax，则0|12xya ，所以 = 3. 6、 【江苏省南通市 2019-2020 学年高三上学期期初】 给出下列三个函数： 1y
18、x； sinyx； exy ，则直线12yxb(bR)不能作为函数_的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号） 【答案】 【解析】直线12yxb的斜率为 k12， 对于1yx，求导得：21yx ，对于任意 x0，21x12无解，所以，直线12yxb不能作为切线； 对于sinyx，求导得：1cos2yx有解，可得满足题意； 对于xye，求导得：12xye有解，可得满足题意； 故答案为： 7、 【江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测】已知函数( )()xf xaxb e，若曲线yf x （ ）在点(0,(0)f处的切线方程为310 xy ，则(1)f的值为_. 【答案】
19、3e 【解析】因为( )()xf xaxb e，所以() xxxax bf xaeaexb ea， 则(0)fab， 又曲线yf x （ ）在点(0,(0)f处的切线方程为310 xy ， 当0 x时，1y ，即(0)1f， 所以有31abb，解得2,1ab. 因此( )(21)xf xxe，所以(1)3fe. 故答案为3e 8、 【2020 届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】如图，曲线( )2fxx在点( )()M tf t，处的切线为l，直线l与x轴和直线1x 分别交于点P、Q，点1,0N，则PQNV的面积取值范围为_ 【答案】80,27（ 【解析】( )2fxx的导数为( )2fxx=, 在点( )()M tf t，处的切线斜率为2kt=,切点为()2, t t, 切线方程为2201ytt xtt-=（）, 令1x 可得22ytt=-；令0y ,可得2tx , 则PQNV的面积为21112222tSPNQNtt, 由()211384(2)(32)44Stttt=-+=- , 当203t 时,0S ,函数S递增；当213t时,0S ,函数S递减, 可得23t 处S取得极大值,且为最大值827, 且0t时,0S；1t时,14S = , 可得PQNV的面积取值范围为80,27（, 故答案为：80,27（.
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