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    2022届高三数学一轮复习考点29:三角函数的图象与性质(解析版)

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    2022届高三数学一轮复习考点29:三角函数的图象与性质(解析版)

    1、考点 29 三角函数的图象与性质 【命题解读】【命题解读】 三角函数图象与性质的考查力度有所加强,往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查,先利用三角公式进行化简, 然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、 单调性、 奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象,难度以中档以下为主. 【基础知识回顾基础知识回顾】 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理: 在正弦函数 ysin x,x0,2的图象上,五个关键点是:(0,0),2,1 ,(,0),32,1 ,(2,0) 在余弦函数 ycos x,x0,2的图象上,五个关键点是:(0,1),2,0

    2、 ,(,1),32,0 ,(2,1). (2)五点法作图的三步骤:列表、描点、连线(注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定 义 域 R R R R x xR R,且xk2,kZ Z 值域 1,1 1,1 R R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在22k,22k(kZ Z)上是递增函数, 在22k,322k (kZ Z)上是递减函数 在2k,2k(kZ Z)上是递增函数,在2k,2k(kZ Z)上是递减函数 在2k,2k (kZ Z)上是递增函数 周 周 期 是 2k(k Z Z 且周期是2k(kZ Z周期是 k(k

    3、Z Z 且 k0), 最小正期 性 k0),最小正周期是 2 且 k0),最小正周期是 2 周期是 对 称 性 对称轴是 x2k(kZ Z),对称中心是(k,0)(kZ Z) 对称轴是 xk(kZ Z),对称中心是 k2,0 (kZ Z) 对称中心是 k2,0 (kZ Z) 1、函数2tan 23yx的定义域为( ) A|12x x B|12x x C|,12x xkkZ D|,212kx xkZ 【答案】D 【解析】因为2,32xkkZ,所以,212kxkZ 故函数的定义域为 |,212kx xkZ,选 D。 2、下列关于函数 y4sin x,x,的单调性的叙述,正确的是( ) A在,0上是

    4、增函数,在0,上是减函数 B在2,2上是增函数,在,2和2, 上是减函数 C在0,上是增函数,在,0上是减函数 D在2, 和,2上是增函数,在2,2上是减函数 【答案】B 【解析】函数 y4sin x 在,2和2, 上单调递减,在2,2上单调递增故选 B. 3、 (安徽省淮南市 2019 届高三模拟) 若函数 f(x)sin x(0)在区间0,3 上单调递增,在区间3,2 上单调递减,则 等于( ) A.23 B.32 C2 D3 【答案】B 【解析】因为 f(x)sin x(0)过原点, 所以当 0 x2,即 0 x2时,ysin x 是增函数; 当2x32,即2x32时, ysin x 是

    5、减函数由 f(x)sin x(0)在0,3 上单调递增, 在3,2 上单调递减知,23,所以 32。 4、下列关于函数tan()3yx的说法正确的是( ) A在区间5(,)66 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于(,0)4成中心对称 D图象关于直线6x成轴对称 【答案】AB 【解析】令232kxk,解得566kxk,kZ,显然5(,)66 满足上述关系式,故A正确;易知该函数的最小正周期为,故B正确; 令32kx,解得23kx,kZ,任取k值不能得到4x,故C错误; 正切函数曲线没有对称轴,因此函数tan()3yx的图象也没有对称轴,故D错误 5、 函数 ycos42x 的单调减区间为_

    6、【答案】 :k8,k58(kZ) 【解析】 :由 ycos42x cos2x4得 2k2x42k(kZ), 解得 k8xk58(kZ) 所以函数的单调减区间为k8,k58(kZ) 6、 函数 ytan2x4的图象与 x 轴交点的坐标是_ 【答案】 :k28,0 ,kZ 【解析】 :由 2x4k(kZ)得,xk28(kZ) 函数 ytan2x4的图象与 x 轴交点的坐标是k28,0 ,kZ 考向一 三角函数的定义域 例 1 (1)函数 y sinxcosx的定义域为 (2)函数 y 12cosxlg(2sinx1)的定义域为 【答案】 (1)x2k4x2k54,kZ (2)32k,562k (k

    7、Z) 【解析】 (1)要使函数有意义,必须使 sinxcosx0.利用图象,在同一坐标系中画出上 ysinx 和 ycosx的图象, 如图所示在0,2内,满足 sinxcosx 的 x 为4,54,再结合正弦、余弦函数的周期是 2,原函数的定义域为x2k4x2k54,kZ. (2)由题意得12cosx0,2sinx10,根据图象解得32kx562k, 即定义域为32k,562k (kZ) 变式 1、 (1)函数 y1tan x1的定义域为_. (2)函数 ylg(sin x)cos x12的定义域为_. 【答案】 ((1)x|x4k,且x2k,kZ (2)x|2k0,cos x120,即sin

    8、 x0,cos x12, 解得2kx2k(kZ),32kx32k(kZ), 所以 2kx32k(kZ), 所以函数的定义域为x|2kx32k,kZ . 变式 2、函数 y sin xcos x的定义域为_ 【答案】x 2k4x2k54,kZ Z 【解析】法一:要使函数有意义,必须使 sin xcos x0.利用图象,在同一坐标系中画出0,2上 ysin x和 ycos x 的图象,如图所示在0,2内,满足 sin xcos x的x为4,54,再结合正弦、余弦函数的周期是 2,所以原函数的定义域为x 2k4x2k54,kZ . 法二:sin xcos x 2sinx40,将 x4视为一个整体,由

    9、正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx4 2k (k Z Z) , 解 得2k 4x 2k 54(k Z Z) 所 以 定 义 域 为x 2k4x2k54,kZ Z.方法总结:三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例, 应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式 (2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 2简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解 (2)利用三角函数的图象求解 考向二 三角函数的值域(最值) 例 2、 (1)2017 全国高考函数 f( )xsin2x 3cosx34(x0,2)的最大值是_ (2)

    10、函数 ysinx2sinx1的值域为_ _ (3)函数 f(x)cos2x6cos(2x)的最大值为_ 【答案】 (1)1; (2)32,) (3)5 【解析】 (1)f(x)1cos2x 3cosx34cos2x 3cosx14cosx3221,由自变量的范围:x0,2可得:cosx0,1,当 cosx32时,函数 f(x)取得最大值 1. (2)ysinx2sinx111sinx1,当 sinx1 时, ymin11232,值域为32,) (3) f(x)cos2x6cos2x 12sin2x6sinx2sinx322112, 当 sinx1 时函数的最大值为 5. 变式 1、(1)函数

    11、f(x)3sin2x6在区间0,2上的值域为_ (2)设 x0,2,则函数 ysin 2x2sin2x1的最大值为_ (3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 【答案】 (1)32,3 (2)33 (3)12 2,1 【解析】 (1)当 x0,2时,2x66,56, sin2x612,1 , 故 3sin2x632,3 , 函数f(x)在区间0,2上的值域为32,3 . (2)因为x0,2,所以 tan x0,ysin 2x2sin2x12sin x cos x3sin2xcos2x2tan x3tan2x123tan x1tan x22 333, 当且仅当 3tan

    12、 x1tan x时等号成立,故最大值为33. (3)设tsin xcos x,则 2t 2,t2sin2xcos2x2sin xcos x,则 sin xcos x1t22, yt22t1212(t1)21. 当t1 时,ymax1;当t 2时,ymin12 2. 函数的值域为12 2,1 . 变式 2、函数2cossin (| |)4yxx x的最大值为_,最小值为_ 【答案】 54 1 22 【解析】 :(1)由2sin2090 xx ,得,233kxkkxZ . 3x2或 0 x2 函数 ylg(sin 2x) 9x2的定义域为3,20,2 (2)令 tsin x,|x|4,t22,22

    13、 yt2t1t12254, 当 t12时,ymax54,当 t22时,ymin1 22 函数2cossin (|)4yxx x的最大值为54,最小值为1 22 方法总结:求三角函数的值域(最值)的 3 种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式,再求值域(最值); (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数,可先设 sin xt,化为关于 t 的二次函数求值域(最值); (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数, 可先设 tsin x cos x, 化为关于 t 的二次函数求值域(最值)

    14、 考向三 三角函数的单调性 例 3、写出下列函数的单调区间:(1)ysin2x3;(2)y|tan x| 【解析】 :(1)ysin2x3sin2x3, 它的递增区间是 ysin2x3的递减区间, 它的递减区间是 ysin2x3的递增区间 由 2k22x32k2,kZ, 得 k12xk512,kZ 由 2k22x32k32,kZ, 得 k512xk1112,kZ 故所给函数的递减区间为k12,k512,kZ; 递增区间为k512,k1112,kZ (2)观察图象(图略)可知,y|tan x|的递增区间是k,k2,kZ, 递减区间是k2,k ,kZ 变式变式 1 1:已知 0,函数 f(x)si

    15、nx4在2, 上单调递减,则 的取值范围是_ 【答案】 :12,54 【解析】 :由2x,0 得,24x44,又 ysin x 在2,32上递减, 所以242342,解得1254 变式变式 2:函数 ycos2x6的单调递增区间为_ 【答案】 :k712,k12(kZ) 【解析】 :函数 ycos x 的单调递增区间为2k,2k,kZ 由 2k2x62k,kZ,得 k712xk12,kZ 方法总结: 本题考查三角函数的单调性 首先化成 yAsin(x)的形式, 再把 x 看作整体代入 ysinx的相应单调区间内求 x 的范围即可 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题, 首先,

    16、明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解考查运算求解能力,整体代换及转化与化归的思想 考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 例 4、 (1) 函数 y2cos24x 1 是_ 最小正周期为 的奇函数; 最小正周期为 的偶函数; 最小正周期为2的奇函数; 最小正周期为2的非奇非偶函数 (2)当 x4时,函数 f(x)sin(x)取得最小值,则函数 yf34x 满足_ 是奇函数且图象关于点2,0 对称; 是偶函数且图象关于点(,0)对称; 是奇函数且图象关于直线 x2对称; 是偶函数且图象关于直线 x 对称 (3) 函数 ycos

    17、(3x)的图象关于原点成中心对称图形,则 _ 【答案】 : (1)(2) (3)k2(kZ) 【解析】 : (1)因为 ycos22x sin 2x,所以是最小正周期为 的奇函数 (2)当 x4时,函数 f(x)取得最小值, sin4 1,2k34(kZ) f(x)sinx2k34sinx34 yf34x sin(x)sin x yf34x 是奇函数,且图象关于直线 x2对称 (3)由题意,得 ycos(3x)是奇函数,故 k2(kZ) 变式 1、(1)若函数 f(x)3sin2x3 ,(0,)为偶函数,则 的值为_ (2)若函数 ycosx6(N*)图象的一个对称中心是6,0 ,则 的最小值

    18、为_ 【答案】(1)56.(2)2 【解析】 (1)由题意知 f(x)为偶函数,关于 y 轴对称,f(0)3sin3 3, 3k2,kZ,又 0,56. (2)由题意知66k2(kZ),6k2(kZ),又 N*,min2. 变式 2、下列函数,最小正周期为的偶函数有( ) Atanyx B|sin|yx C2cosyx Dsin(2 )2yx 【答案】BD 【解析】 :函数tanyx的最小正周期为,且该函数为奇函数,故排除A; 函数|sin|yx的最小正周期为,且该函数为偶函数,故B满足条件; 函数2cosyx的最小正周期为2,且该函数为偶函数,故C不满足条件,故排除C; 函数sin(2 )c

    19、os22yxx的最小正周期为22,且该函数为偶函数,故D满足条件, 方法总结:本题考查三角函数的奇偶性与对称性求 f(x)的对称轴,只需令x2k(kZ),求 x 即可;如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 xk(kZ),求 x 即可奇偶性可以用定义判断,也可以通过诱导公式将 yAsin(x)转化为 yAsinx 或 yAcosx.考查运算求解能力,整体代换及转化与化归的思想 1、【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)=在, 的图象大致为 A B C D 【答案】D 【解析】 由22sin()()sin()( )cos()()cosxxxxfxf xxxxx , 得( )f x是奇函

    20、数, 其图象关于原点对称,排除 A又221422( )1,2( )2f2()01f ,排除 B,C,故选 D 2、 【2019 年高考全国卷理数】关于函数( )sin |sin |f xxx有下述四个结论: f(x)是偶函数 f(x)在区间(2,)单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 【答案】C 2sincosxxxx【解析】 sinsinsinsin,fxxxxxf xf xQ为偶函数,故正确 当2x时, 2sinf xx,它在区间,2单调递减,故错误 当0 x时, 2sinf xx,它有两个零点:0 ;当0 x 时, si

    21、nsinf xxx 2sinx,它有一个零点:,故 f x在, 有3个零点:0 ,故错误 当2, 2xkkkN时 , 2 s i nfxx; 当2, 22xkkk N时 , s i ns i n0fxxx,又 f x为偶函数, f x的最大值为2,故正确 综上所述,正确,故选 C 3、【2019 年高考全国卷理数】下列函数中,以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是 Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为sin |yx的图象如下图 1,知其不是周期函数,排除 D; 因为coscosyxx,周期为2

    22、,排除 C; 作出cos2yx图象如图 2,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)单调递增,A 正确; 作出sin2yx的图象如图 3,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)单调递减,排除 B, 故选 A 图 1 图 2 图 3 4、【2018 年高考全国卷 II 理数】若 cossinf xxx在, a a是减函数,则a的最大值是 A4 B2 C34 D 【答案】A 【解析】因为 cossin2cos4f xxxx, 所以由02 2 ()4kxkkZ得32 2 ()44kxkkZ, 因此 33,044444a aaaaaa ,从而a的最大值为4, 故选 A. 5、【2019 年高考北京卷理数

    23、】函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是_ 【答案】2 【解析】函数 2sin 2f xx1cos42x,周期为2. 6、 【2020 年高考全国 III 卷理数】.关于函数 f(x)=1sinsinxx有如下四个命题: f(x)的图象关于 y 轴对称 f(x)的图象关于原点对称 f(x)的图象关于直线 x=2对称 f(x)的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_ 【答案】 【解析】对于命题,152622f,152622f ,则66ff, 所以,函数 f x的图象不关于y轴对称,命题错误; 对于命题,函数 f x的定义域为,x xkkZ,定义域关于原点对称, 111sinsinsinsinsinsinfxxxxf xxxx , 所以,函数 f x的图象关于原点对称,命题正确; 对于命题,11sincos22cossin2fxxxxxQ, 11sincos22cossin2fxxxxx,则22fxfx, 所以,函数 f x的图象关于直线2x对称,命题正确; 对于命题,当0 x 时,sin0 x,则 1sin02sinf xxx, 命题错误. 故答案为:. 7、【2018 年高考全国理数】函数 cos 36f xx在0,的零点个数为_ 【答案】3 【解析】0 xQ,193666x,由题可知3336262xx,或5362x,解得 4,99x ,或79,故有 3 个零点.


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