1、考点 32 正弦定理、余弦定理的应用 【命题解读】【命题解读】 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾基础知识回顾】 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角：相对于某
2、一正方向的水平角 (1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种角 (1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角) (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比 1 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图)，要测量 A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC50 m，
3、ABC105 ，BCA45 就可以计算出 A，B 两点的距离为_ A20 2 m B30 2 m C40 2 m D50 2 m 【答案】 ：D 【解析】 ：由正弦定理得，则 AB50 2(m) 2 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min若此人步行的速度为每分钟 50 m，则该扇形的半径为_m A50 3 B50 5 C50 7 D50 11 【答案】 ：C 【解析】连结 OC，在OCD 中，OD100，CD
4、150，CDO60 ， 由余弦定理可得 OC2100215022 100 1501217 500，解得 OC50 7(m) 3 如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处，且与它相距 8 2 n mile此船的航速是_n mile/h A16 B32 C64 D128 【答案】 ：B 【解析】 ：设航速为 v n mile/h，在ABS 中，AB12v，BS8 2 n mile，BSA45 ， 由正弦定理，得8 2sin3012vsin45， v32 n m
5、ile/h 4 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45距离为 10 海里的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向，以 9 海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为_小时 A12 B23 C34 D1 【答案】 ：B 【解析】 ：如图，设舰艇在 B处靠近渔轮，所需的时间为 t 小时，则 AB21t，CB9t 在ABC 中，根据余弦定理，则有 AB2AC2BC22AC BCcos120 ， 可得 212t210281t22 10 9t12 整理得 360t290t10
6、00，解得 t23或 t512(舍去) 故舰艇需23小时靠近渔轮 考向一 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例 1、 某市电力部门需要在 A， B 两地之间架设高压电线， 因地理条件限制， 不能直接测量 A， B 两地距离 现测量人员在相距 3 km 的 C， D 两地(假设 A， B， C， D 在同一平面上)， 测得ACB75， BCD45，ADC30，ADB45(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是 A，B 距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ 【解析】 ：在ACD 中，由已知可得CAD30 ，所以 AC 3 km 在BCD 中，由
7、已知可得，CBD60 sin75 sin(45 30 )6 24 由正弦定理，BC3sin75sin606 22 cos75 cos(45 30 )6 24 在ABC 中，由余弦定理 AB2AC2BC22AC BCcosBCA 326 2222 36 22 cos75 5 所以 AB 5，故施工单位应该准备电线长为435 km 变式 1、如图，有一段河流，河的一侧是以 O 为圆心，半径为 10 3 m 的扇形区域 OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸 l，岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离)，且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直，设 OB 与圆弧的交点为 E经测量，扇形区域和河岸处于同一
8、水平面，在点 C，点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为45，30和 60 (1) 求烟囱 AB 的高度； (2) 如果要在 CE 间修一条直路，求 CE 的长 【解析】 ：(1) 设 AB 的高度为 h在CAB 中，因为ACB45 ，所以 CBh 在OAB 中，因为AOB30 ，AEB60 ， 所以 OB 3h，EB33h 由题意得 3h3h310 3，解得 h15 故烟囱 AB 的高度为 15 m (2) 在OBC 中，cosCOBOC2OB2BC22OC OB300225 32252 10 3 15 356 所以在OCE 中，CE2OC2OE22OC OE cosCOE3003
9、0060056100 故 CE 的长为 10 m 变式 2、在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距离 A 为( 31) nmile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西75的方向，距离 A 为 2 nmile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 nmile/h 的速度追截走私船此时，走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【解析】 ： 如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在 D 处相遇，则可先在ABC中求出 BC，再在BCD 中求BCD 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD10 3t
10、，BD10t，在ABC 中， AB 31，AC2，BAC120 ， 由余弦定理得 BC2AB2AC22AB AC cosBAC ( 31)2222 ( 31) 2 cos120 6， BC 6 cosCBABC2AB2AC22BC AB6（ 31）242 6 （ 31）22， CBA45 ，即 B 在 C 正东 CBD90 30 120 ，在BCD 中，由正弦定理得 sinBCDBD sinCBDCD10tsin12010 3t12， BCD30 即缉私船沿北偏东 60 方向能最快追上走私船 变式 3、如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船
11、乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 h 追上，此时到达 C 处 (1) 求渔船甲的速度； (2) 求 sin 的值 【解析】 ：(1) 依题意知，BAC120 ，AB12 海里，AC10 220 海里， BCA在ABC 中，由余弦定理， 得 BC2AB2AC22AB AC cosBAC 1222022 12 20 cos120 784，解得 BC28 海里 所以渔船甲的速度为BC214 海里/小时 (2) 在ABC 中，因为 AB12 海里，BAC120 ，BC28 海里，BCA， 由正弦定理，得ABsi
12、nBCsin120 即 sinAB sin120BC1232283 314 方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 考向二 正余弦定理在三角形中的运用 例 2、(2015 南京、盐城、徐州二模）如图，在ABC 中，D 是 BC 上的一点已知B60 ，AD2，AC 10，DC 2，则 AB_. 【答案答案】2 63 【解析解析】 、在ACD 中，因为 AD2，AC 10，DC 2，所以 cosADC241022 222，从而A
13、DC135 ，所以ADB45 .在ADB 中，ABsin452sin60，所以 AB222322 63 变式 1、(2015 南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在ABC 中，AB3，AC2，BC4，点 D 在边BC 上，BAD45 ，则 tanCAD 的值为_ 【答案答案】8 157 【解析解析】 、 从构造角的角度观察分析， 可以从差的角度(CADA45 )， 也可以从和的角度(ACAD45 )，所以只需从余弦定理入手求出A 的正切值，问题就迎刃而解了 解法 1 在ABC 中，AB3，AC2，BC4，由余弦定理可得 cosA32224223214，所以 tanA 15，于是 tanCADt
14、an(A45 )tanAtan451tanAtan458 157. 解法 2 由解法 1 得 tanA 15.由 tan(45 CAD) 15得tan45 tanCAD1tan45 tanCAD 15，即1tanCAD1tanCAD 15，解得 tanCAD8 157. 变式 2、 (2017 徐州、 连云港、 宿迁三检） 如图， 在ABC中， 已知点D在边AB上，3ADDB，4cos5A，5cos13ACB，13BC （1）求cosB的值； （2）求CD的长 A B C D (第 15 题) 解析： （1）在ABC中，4cos5A，(0,)A， 所以2243sin1 cos1 ( )55AA
15、 同理可得，12sin13ACB 所以coscos()cos()BAACBAACB sinsincoscosAACBAACB 3 12451651351365 （2）在ABC中，由正弦定理得，1312sin203sin135BCABACBA 又3ADDB，所以154BDAB 在BCD中，由余弦定理得，222cosCDBDBCBD BCB 22165132 5 1365 9 2 变式 3、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，AD1，BD2 10，CAD4，tanADC2. (1) 求 CD 的长； (2) 求BCD 的面积 解析： (1)因为 tanA
16、DC2，且ADC(0，)，所以 sinADC2 55，cosADC55. 所以 sinACDsinADC4 sinADC4 sinADC cos4cosADC sin4 1010，(6 分) 在ADC 中，由正弦定理得 CDAD sinDACsinACD 5 (2) 因为 ADBC, 所以 cosBCDcosADC55，sinBCDsinADC2 55 在BDC 中，由余弦定理得 BD2BC2CD22BC CD cosBCD， 得 BC22BC350，解得 BC7, (12 分) 所以 SBCD12BC CD sinBCD127 52 557. 变式 4、 （2017 年苏北四市模拟）如图，在
17、四边形 ABCD 中，已知 AB13，AC10，AD5，CD 65，AB AC50. (1) 求 cosBAC 的值； (2) 求 sinCAD 的值； (3) 求BAD 的面积 解析： (1) 因为AB AC|AB|ACcosBAC， 所以 cosBACAB AC|AB|AC501310513. (2) 在ADC 中，AC10，AD5，CD 65. 由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22AC AD10252 652210535. 因为CAD(0，)，所以 sinCAD 1cos2CAD135245. (3) 由(1)知，cosBAC513. 因为BAC(0，)， 所以 sinBAC
18、 1cos2BAC151321213. 从而 sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD 121335513455665. 所以 SBAD12AB AD sinBAD121355665 方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。 1、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度， 某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得
19、“泉标”顶端的仰角为45， 沿点 A 向北偏东30前进 100 m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度为（ ） A50 m B100 m C120 m D150 m 【答案】A 【解析】 如图,CD为“泉标”高度,设高为h米，由题意,CD平面ABD,100AB米,60BAD，,4530CADCBDo 在CBDV中,BD3h,在CADV中,ADh, 在ABD中,3 ,BDh ADh，,100AB，60BAD, 由余弦定理可得223100002 100 cos60(50)(100)0hhhhh ， 解得50h或100h (舍去), 故选：B. 2、某小区有一个四
20、边形草坪 ABCD，BC120 ，AB40 m，BCCD20 m，则该四边形 ABCD 的面积等于_m2 【答案】 ：500 3 【解析】 ：连结 BD，在BCD 中，BCCD20，BCD120 ， CBD30 ，BD20 3，SBCD12 20 20 sin120 100 3 在ABD 中，ABD120 30 90 ，AB40，BD20 3， SABD12AB BD12 40 20 3400 3， 四边形 ABCD 的面积是 500 3 m2 3、 某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东30 方向上，15 min 后到点 B
21、 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75 方向上，则点 B 与电视塔的距离是_km 【答案】 ：3 2 【解析】 ：如题图，由题意知 AB2415606，在ABS 中，BAS30 ，AB6， ABS180 75 105 ，ASB45 ，由正弦定理知BSsin 30ABsin 45， BSAB sin 30sin 453 2 4、 如图，一栋建筑物的高为(3010 3)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD在它们之间的地面点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别为 15 和 60 ，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30 ，则通信塔 CD 的高为_ m 【答
22、案】 ：60 【解析】 ：如图，在 RtABM 中， AMABsinAMB3010 3sin 153010 3sin(45 30 )3010 36 2420 6 m 又易知MANAMB15 ，所以MAC30 15 45 ， 又AMC180 15 60 105 ，从而ACM30 在AMC 中，由正弦定理得MCsin 4520 6sin 30，解得 MC40 3 在 RtCMD 中，CD40 3 sin 60 60 m，故通信塔 CD 的高为 60 m 5、如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为 15
23、 ，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45 ，则山顶的海拔高度为_m(取 21.4， 31.7) 【答案】 ：2 650 【解析】 ： ： 如图， 作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D， 由题意知A15 ， DBC45 ，ACB30 ，AB50 42021 000(m) 又在ABC 中，BCsin AABsinACB， BC21 00012 sin 15 10 500( 6 2) CDAD，CDBC sinDBC10 500( 6 2)2210 500( 31)7 350 故山顶的海拔高度 h10 0007 3502 650(m) 6、如图，甲船从 A 处以每小时 30 海里的速度沿正北
24、方向航行，乙船在 B 处沿固定方向匀速航行，B 在 A北偏西 105 方向且与 A 相距 10 2海里处当甲船航行 20 分钟到达 C 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 D 处，此时两船相距 10 海里 (1) 求乙船每小时航行多少海里？ (2) 在 C 处北偏西 30 方向且与 C 相距8 33海里处有一个暗礁 E，暗礁 E 周围 2海里范围内为航行危险区域问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；如无危险，请说明理由 【解析】 ： ：(1) 如图，连结 AD，由题知 CD10，AC2060 3010，ACD60 ， ACD 是等边三角形
25、 AD10 又DAB45 ，在ABD 中，由余弦定理得 BD2AD2AB22AB ADcos45 100， BD10，v10 330(海里) 答：乙船的速度为每小时 30 海里 (2) 在海平面内，以 B 点为原点，分别以东西方向作 x 轴，以南北方向作 y 轴，建立如图所示平面直角坐标系危险区域在以 E 为圆心，半径为 r 2的圆内 DABDBA45 ，易知直线 BD 的方程为 y 3x， E 的横坐标为 ABcos15 CEsin30 ，纵坐标为 ABsin15 CEcos30 AC， 求得 A(5 35，5 35)，C(5 35，5 35)，E511 33，95 3 点 E 到直线 BD
26、 的距离为 D1|5 31195 3|21 2，故甲船没有危险 以 E 为圆心，半径为 2的圆截直线 BD 所得的弦长分别为 l2 r2d212， 乙船遭遇危险持续时间为 t230115(小时) 答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续115小时后脱险 7、 【2020 年江苏卷】在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得4cos5ADC ，求tanDAC的值 【答案】 （1）5sin5C ； （2）2tan11DAC. 【解析】 （1）由余弦定理得22222cos922 3252bacacB ，所以5b . 由正弦定理得sin5sinsinsin5cbcBCCBb. （2）由于4cos5ADC ，,2ADC，所以23sin1 cos5ADCADC. 由于,2ADC，所以0,2C，所以22 5cos1 sin5CC 所以sinsinDACDACsinADCC sincoscossinADCCADCC32 5452 5555525 . 由于0,2DAC，所以211 5cos1 sin25DACDAC. 所以sin2tancos11DACDACDAC.
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