1、山东省枣庄市薛城区山东省枣庄市薛城区 20212021- -20222022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来每一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来每小题小题 3 分，共分，共 36 分分. 1. 如果13aba，那么abb的值等于（ ） A. 53 B. 52 C. 43 D. 2 2. 一个三角形的两条边长分别是方程x28x+150的两根， 三角形的周长是12， 则该三角形的面积是 （ ） A 5 B. 6 C. 7.5 D. 12 3. 如图，菱形花坛 A
2、BCD的周长为 80m，ABC120，沿着菱形的对角线修建两条小路 AC 和 BD，则小路 AC 的长是（ ） A. 203m B. 103m C. 20m D. 20m 4. 已知关于x的一元二次方程2(1)410axx 有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. 4a B. 3a C. 3a且1a D. 3a且1a 5. 某市严格落实国家节水政策，2018 年用水总量为 6.5亿立方米，2020 年用水总量为 5.265亿立方米设该市用水总量的年平均降低率是 x，那么 x 满足的方程是（ ） A. 26.5(1)5.265x B. 26.5(1)5.265x C. 25.265(1)6.5
3、x D. 25.265(1)6.5x 6. 同时抛掷两枚质地均匀硬币，出现两个正面朝上的概率是（ ） A. 12 B. 14 C. 13 D. 18 7. 如图，/BCED，下列说法不正确的是（ ） A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. 点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应位似点 D. :AC AB是相似比 8. 如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体如果舞台 AB的长为 10 米，一名主持人现在站在 A 处，则她至少走多少米才最理想（ ） A. 5 55 B. 155 5 C. 5 55 D. 155 5或5 55 9. 已知关于 x
4、的一元二次方程 x2+mx+n0 的两个实数根分别为 x12，x24，则 m+n的值是（ ） A. 10 B. 10 C. 6 D. 2 10. 如图，一块矩形 ABCD绸布的长 AB=a，宽 AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形 ABCD 绸布相似，则 a的值等于（ ） A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 2 3 11. 如图，在ABC 中，点 D 为 BC边上的一点，且 ADAB6，ADAB于点 A，过点 D作 DEAD，DE 交 AC 于点 E，若 DE2，则ADC 的面积为（ ） A. 27 B. 3 C. 9 D. 32+6 12.
5、 如图，将两张长为 9，宽为 3 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值 9，那么菱形面积的最大值是（ ） A. 27 B. 13.5 C. 20 D. 15 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 6 小题，满分小题，满分 24 分）分） 13. 一元二次方程（x2）22x解为_ 14. 如图，点 C、D在线段 AB上，PCD是等边三角形当ACPPDB 时，APB_ 15. 一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子 6 颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在 0.3 左
6、右,则盒子中黑珠子可能有_颗. 16. 如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA3，AC4，点 D 是斜边 BC上的一个动点，过点 D分别作 DMAB 于点 M，DNAC于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为_ 17. 设 x1，x2是一元二次方程 2x23x100 的两根，则211222xxx_ 18. 如图，正方形 ABCD和正方形 CEFG 中，点 D在 CG 上，AD2，DG22，H 是 AF中点，那么 CH的长是_ 三、解答题（共三、解答题（共 7 道大题，满分道大题，满分 60分）分） 19. 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务 解方程：2x
7、23x50 解：2x23x50 23522xx，第一步 2223353( )( )2424xx，第二步 2349()416x，第三步 3744x ，第四步 3744x，或3744x ，第五步 x152，x21第六步 任务一： 小颖解方程的方法是 ； A直接开平方法 B因式分解法 C配方法 D公式法 解方程过程中第二步变形的依据是 ； 任务二：请你用“公式法“解该方程2x23x50 20. 如图，ABC中，C90 ，AC3cm，BC4cm，动点 P 从点 B出发以 2cm/s 速度向点 C 移动，同时动点 Q 从 C出发以 1cm/s 的速度向点 A移动，设它们的运动时间为 t秒 （1）根据题意
8、知：CQ cm，CP cm； （用含 t的代数式表示） （2）t为何值时，CPQ与ABC相似 21. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为 A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为 B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片 （1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是 ； （2）请用画树状图或列表方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率 22. 如图，在边长为 1
9、 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点ABC（顶点为网格线的交点） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2） 以点O为位似中心， 将ABC作位似变换得到A2B2C2， 使得A2B22AB， 画出位似变换后的A2B2C2 ，此时点 B2坐标为 ； （3）A1C1和 B2C2之间的位置关系为 23. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 过点 B作 BECD， 垂足为 E， 连结 AE， F为 AE上一点， 且BFE=C （1）求证：ABFEAD （2）若 AB=4，S ABCD=16 33，求 AE的长 （3）在（1） 、 （2）条件下，
10、若 AD=3，求 BF 的长（计算结果可含根号） 24. 超市销售某种商品， 每件盈利 50 元， 平均每天可达到 30件 为尽快减少库存， 现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价 1 元平均每天可多售出 2件 （1）当一件商品降价 5 元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到 2100 元？ （3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到 2200 元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由 25. 如图，在ABC 中，点 D、E分别是边 BC、AC的中点，过点 A作 AFBC
11、交 DE 的延长线于 F 点，连接 AD、CF，过 D作 DGCF于点 G （1）求证：四边形 ADCF是平行四边形； （2）当ABC满足什么条件时，四边形 ADCF是菱形？为什么？ （3）在（2）的条件下，若 AB6，BC10，求 DG的长 山东省枣庄市薛城区山东省枣庄市薛城区 20212021- -20222022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来每一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来每小题小题 3 分，共分，共 36 分分. 1. 如果13aba，那么ab
12、b的值等于（ ） A. 53 B. 52 C. 43 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依据13aba，即可得到 a=32b， ，进而得出abb的值 【详解】解：13aba， 3a3b= a， 2a=3b，即 a=32b， abb=32bbb=52 故选 B 【点睛】本题考查了比例的性质，解决问题的关键是运用内项之积等于外项之积 2. 一个三角形的两条边长分别是方程x28x+150的两根， 三角形的周长是12， 则该三角形的面积是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7.5 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别 3， 5，再计算出第三边长
13、为 4，接着利用勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算该三角形的面积 【详解】解：x28x+150， （x3） （x5）0， x30或 x50， 所以 x13，x25， 即三角形两条边长分别 3、5， 而三角形的周长是 12， 所以第三边长为 12-3-5=4， 因为 32+4252， 所以此三角形为直角三角形， 所以该三角形的面积12346 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式 3. 如图，菱形花坛 ABCD的周长
14、为 80m，ABC120，沿着菱形的对角线修建两条小路 AC 和 BD，则小路 AC 的长是（ ） A. 203m B. 103m C. 20m D. 20m 【答案】A 【解析】 【分析】 设对角线AC和BD交于点O， 首先根据菱形的基本性质确定出AOD为直角三角形， 且DAO=30 ，再求出 AD，从而结合勾股定理求解 AO，即可得出结论 【详解】解：如图，设对角线 AC 和 BD交于点 O， 四边形 ABCD为菱形，ABC=120 ， ADB=CDB=60 ，ACBD， AOD为直角三角形，DAO=30 ， 菱形周长为 80， AD=80 4=20， OD=10， 根据勾股定理可得：22
15、10 3OAADOD， 根据菱形的性质可得：AC=2OA=203， 故选：A 【点睛】本题考查菱形的基本性质，理解菱形的基本性质以及熟练运用勾股定理是解题关键 4. 已知关于x的一元二次方程2(1)410axx 有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. 4a B. 3a C. 3a且1a D. 3a且1a 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的二次项系数不能为 0，且当0V时，有两个实数根，计算即可得到参数取值范围 【详解】解：2(1)410axx 是一元二次方程 10a 1a 又一元二次方程有两个实数根 0V 即：2( 4)4(1) ( 1)0a 412a 3a 满足题意的a的取值范
16、围是：3a且1a 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程判别式，以及一元二次方程的定义，根据知识点解题是关键 5. 某市严格落实国家节水政策，2018 年用水总量为 6.5亿立方米，2020 年用水总量为 5.265亿立方米设该市用水总量的年平均降低率是 x，那么 x 满足的方程是（ ） A. 26.5(1)5.265x B. 26.5(1)5.265x C. 25.265(1)6.5x D. 25.265(1)6.5x 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意 2019 年用水总量为6.5(1)x亿立方米， 2020年用水总量为26.5(1) (1)6.5(1)xxxg亿立方米，从而可得 x
17、满足的方程 【详解】解：由题意可得： 2019年用水总量为6.5(1)x亿立方米， 2020年用水总量为26.5(1) (1)6.5(1)xxxg亿立方米， 所以26.5(1)5.265x 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解年平均降低率的含义 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两个正面朝上的概率是（ ） A. 12 B. 14 C. 13 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解 【详解】解：画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的
18、结果数为 1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率14 故答案为14， 故选：B 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A或 B 的概率 7. 如图，/BCED，下列说法不正确的是（ ） A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A是两个三角形的位似中心 C. 点 B与点 D、点 C与点 E 是对应位似点 D. :AC AB是相似比 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的概念判断即可 【详解】解：A、BCED， ADEABC， ADE与ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或
19、在同一条直线上， ADE与ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意； B、点 A 是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意； C、B与 D、C与 E 是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意； D、AC：AB不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 8. 如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体如果舞台 AB的长为 10 米，一名主持人现在站在 A 处，则她至少走多少米才最理想（
20、 ） A. 5 55 B. 155 5 C. 5 55 D. 155 5或5 55 【答案】B 【解析】 【分析】 设 C 点为 AB 的黄金分割点， 利用黄金分割的定义， 当 ACBC时， AC555； 当 ACBC 时，BC555，则 AC1555，从而确定她至少走的路程 【详解】解：设 C 点为 AB 的黄金分割点， 当 ACBC 时，AC512AB51210555； 当 ACBC 时，BC512AB51210555，则 AC10（555）1555， 因为 555（1555）1052010（51）0， 所以她至少走（1555）米才最理想 故选：B 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段 AB
21、分成两条线段 AC 和 BC(ACBC)，且使 AC 是 AB 和 BC的比例中项(即 AB：AC=AC：BC)，叫做把线段 AB黄金分割，点 C 叫做线段 AB的黄金分割点，其中 AC=512AB0.618AB，并且线段 AB的黄金分割点有两个 9. 已知关于 x的一元二次方程 x2+mx+n0 的两个实数根分别为 x12，x24，则 m+n的值是（ ） A. 10 B. 10 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一元二次方程 x2+mx+n0 的两个实数根分别为 x12，x24”，结合根与系数的关系，分别列出关于 m和 n 的一元一次不等式，求出 m 和 n 的值，代入
22、 m+n即可得到答案 【详解】解：根据题意得： x1+x2m2+4， 解得：m2， x1x2n24， 解得：n8， m+n2+（8）10， 故选：A 【点睛】本题考查根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解决问题的关键 10. 如图，一块矩形 ABCD绸布的长 AB=a，宽 AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形 ABCD 绸布相似，则 a的值等于（ ） A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论 【详解
23、】解：裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 1333aa， 解得：3 3a 或3 3a （不合题意，舍去） ， 3 3a ， 故选：C 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键 11. 如图，在ABC 中，点 D 为 BC边上的一点，且 ADAB6，ADAB于点 A，过点 D作 DEAD，DE 交 AC 于点 E，若 DE2，则ADC 的面积为（ ） A. 27 B. 3 C. 9 D. 32+6 【答案】C 【解析】 【分析】根据 ADAB6，ADAB，可以得到ABD是等腰直角三角形，作辅助线 CFAD交 AD的延长线于点 F，再根据三
24、角形相似可以求得 CF 的长，然后根据三角形面积公式即可求得ADC的面积 【详解】解：作 CFAD交 AD 的延长线于点 F， ADAB6，ADAB， BADB45 ， ADBCDF，CFAD， CDF45 ，CFD90 ， DCFCDF45 ， CFDF， ADDE，AFFC， DEFC， ADEAFC， ADDEAFFC， AD6，DE2，DFCF， 626DFCF， 626CFCF， 解得，CF3， ADC的面积是：63922AD CF， 故选 C 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的
25、思想解答 12. 如图，将两张长为 9，宽为 3 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值 9，那么菱形面积的最大值是（ ） A. 27 B. 13.5 C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可 【详解】解：如图， 此时菱形 ABCD的面积最大 设 ABBCx，则 EB9x，AE3， 在 RtABE中， 由勾股定理得到：AE2+EB2AB2， 即 32+（9x）2x2， 解得 x5， S菱形ABCD5 315， 故选：D 【点睛】本题考查
26、了菱形的性质，勾股定理，知道怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 6 小题，满分小题，满分 24 分）分） 13. 一元二次方程（x2）22x 的解为_ 【答案】x12，x21# x11，x22 【解析】 【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【详解】解： （x2）22x， （x2）2+（x2）0， （x2） （x2+1）0， x20，x2+10， x12，x21， 故答案为：x12，x21 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解此题关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程 14. 如图，点
27、 C、D在线段 AB上，PCD是等边三角形当ACPPDB 时，APB_ 【答案】120 【解析】 【分析】由ACPPDB，根据相似三角形对应角相等，可得ABPD，又由PCD 是等边三角形，即可求得APB 的度数 【详解】解：ACPPDB， ABPD， PCD是等边三角形， PCDCPD60， PCDA+APC60， APC+BPD60， APBAPC+CPD+BPD120 故答案为 120 【点睛】此题考查了相似三角形与等边三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 15. 一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子 6 颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,
28、通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在 0.3 左右,则盒子中黑珠子可能有_颗. 【答案】14 【解析】 【详解】试题分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解 解：由题意可得，60.36n， 解得 n=14 经检验 n=14是原方程的解 故估计盒子中黑珠子大约有 14 个 故答案为 14 考点：利用频率估计概率 16. 如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA3，AC4，点 D 是斜边 BC上的一个动点，过点 D分别作 DMAB 于点 M，DNAC于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为_ 【答案】125#225#2
29、.4 【解析】 【分析】由勾股定理求出 BC 的长，再证明四边形 DMAN 是矩形，可得 MNAD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题 【详解】解：BAC90，且 BA3，AC4， BC22BAAC5， DMAB，DNAC， DMADNABAC90， 四边形 DMAN 是矩形， MNAD， 当 ADBC 时，AD的值最小， 此时，ABC的面积12ABAC12BCAD， ADABCACB125， MN 的最小值为125； 故答案为：125 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 17. 设 x1，x2是一元二
30、次方程 2x23x100 的两根，则211222xxx_ 【答案】11.5#1112#232 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x232，x1x25；再变形得到 2x1+2x2+x1x22（x1+x2）+x1x2，然后利用整体思想计算即可 【详解】解：根据题意得 x1+x232，x1x25， x1是一元二次方程 2x23x100 的根， 21123100 xx， 则211222xxx， 10+3x1 2x1 +x2， 10+x1 +x2， 10+32， 11.5 故答案为：11.5 【点睛】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0） 的根与系数的关系： 若方程的两根为
31、 x1， x2， 则 x1+x2ba，x1x2ca也考查了代数式变形 18. 如图，正方形 ABCD和正方形 CEFG 中，点 D在 CG 上，AD2，DG22，H 是 AF 的中点，那么 CH的长是_ 【答案】10 【解析】 【详解】连接 AC、CF，根据正方形性质求出 AC、CF，ACDGCF45，再求出ACF90，然后利用勾股定理列式求出 AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可 【解答】解：如图，连接 AC、CF， 正方形 ABCD和正方形 CEFG 中，AD2，DG22， AC2，CG32， CF6， ACDGCF45， ACF90， 由勾股定理得，AF22= 4 3
32、6=2 10ACCF， H 是 AF 的中点， CH12AF122 1010 故答案为：10 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 7 道大题，满分道大题，满分 60分）分） 19. 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务 解方程：2x23x50 解：2x23x50 23522xx，第一步 2223353( )( )2424xx，第二步 2349()416x，第三步 3744x ，第四步 3744x，或3744x ，第五步 x152，x21第六步
33、 任务一： 小颖解方程的方法是 ； A直接开平方法 B因式分解法 C配方法 D公式法 解方程过程中第二步变形的依据是 ； 任务二：请你用“公式法“解该方程2x23x50 【答案】 任务一： C； 等式的基本性质 （或等式两边同时加 （或减） 同一个代数式， 所得结果仍是等式） ；任务二：x152，x21 【解析】 【分析】任务一：利用配方法，等式的基本性质； 任务二：利用公式法求解即可 【详解】任务一：小颖解方程的方法是配方法， 故选：C； 解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式） ， 故答案为等式的基本性质（或等式两边同时加（或减
34、）同一个代数式，所得结果仍是等式） ； 任务二 解方程：2x23x50， a2，b3，c5， b24ac（3）242（5）490， x349372 24， x152，x21 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法和步骤，掌握解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键 20. 如图，ABC中，C90 ，AC3cm，BC4cm，动点 P 从点 B出发以 2cm/s 速度向点 C 移动，同时动点 Q 从 C出发以 1cm/s 的速度向点 A移动，设它们的运动时间为 t秒 （1）根据题意知：CQ cm，CP cm； （用含 t的代数式表示） （2）t为何值时，CPQ与ABC相似 【答案】 （1）t； （
35、42t） ； （2）要使CPQ与CBA相似，运动的时间为 1.2 或1611秒 【解析】 【分析】 （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例设经过 t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：若Rt ABCRt QPC，若Rt ABCRt PQC，然后列方程求解 【详解】解： （1）经过 t秒后，CQt，CP42t， 故答案为：t； （42t） （2）设经过 t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， 若Rt ABCRt QPC，则ACQCBCPC，即3442tt，解得 t1.2； 若Rt ABCRt PQC，则PCACQCB
36、C，即4234tt，解得 t1611； 由 P 点在 BC边上的运动速度为 2cm/s，Q点在 AC边上的速度为 1cm/s，可求出 t的取值范围应该为 0t2， 验证可知两种情况下所求的 t均满足条件 答：要使CPQ与CBA相似，运动的时间为 1.2 或1611秒 【点睛】 本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题， 并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证 21. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为 A1、A2，正面印
37、有雪容融图案的卡片记为 B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片 （1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率 【答案】 （1）23； （2）49 【解析】 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，共有 9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有 4 个，再由概率公式求解即可 【详解】解： （1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是23， 故答案为：23； （2）画树状图如图： 共
38、有 9 个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有 4 个， P（小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）49 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 22. 如图，在边长为 1 个单位长度小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点ABC（顶点为网格线的交点） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2） 以点O为位似中心， 将ABC作位似变换得到A2
39、B2C2， 使得A2B22AB， 画出位似变换后的A2B2C2 ，此时点 B2坐标为 ； （3）A1C1和 B2C2之间的位置关系为 【答案】 （1）见解析； （2）图见解析， （- 2，8） ； （3） A1C1B2C2 【解析】 【分析】 （1）利用轴对称的性质分别作出 A，B，C的对应点 A1，B1，C1即可 （2）利用位似变换的性质分别作出 A，B，C的对应点 A2，B2，C2即可 （3）根据平行线的定义判断即可 【详解】解： （1）如图，A1B1C1即为所求 （2）如图，A2B2C2即为所求,点 B2坐标为（- 2，8） （3）A1C1B2C2 故答案为：A1C1B2C2 【点睛】本
40、题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，正确作出图形 23. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 过点 B作 BECD， 垂足为 E， 连结 AE， F为 AE上一点， 且BFE=C （1）求证：ABFEAD （2）若 AB=4，S ABCD=16 33，求 AE的长 （3）在（1） 、 （2）条件下，若 AD=3，求 BF 的长（计算结果可含根号） 【答案】 （1）见解析； （2）8 33； （3）3 32 【解析】 【分析】（1） 由平行四边形性质， 得BAF=AED， C+D=180 ， 再证C=BFE， BFE+BFA=180 ，D=BFA，
41、可得ABFEAD； （2） 由 SABCD=16 33， 得 AB BE=16 33， 求出 BE=4 33 ， 由勾股定理得 AE2=AB2+BE2=42+ （4 33）2 ，求得 AE=8 3.3 （3）解：由（1）得ABEA=BFAD，所以 BF=ABADEA=4 338 3=3 32. 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD为平行四边形， BAF=AED, C+D=180 ， C=BFE，BFE+BFA=180 ， D=BFA, ABFEAD. （2）解：SABCD=16 33， AB BE=16 33， AB=4, BE=4 33 , AE2=AB2+BE2=42+（4 33）2 ，
42、 AE=8 33. （3）解：由（1）有ABEA=BFAD， 又 AD=3， BF=ABADEA=4 338 3 =3 32 点睛】本题考核知识点：平行四边形，勾股定理，相似三角形. 解题关键点：熟记平行四边形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质. 24. 超市销售某种商品， 每件盈利 50 元， 平均每天可达到 30件 为尽快减少库存， 现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价 1 元平均每天可多售出 2件 （1）当一件商品降价 5 元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到 2100 元？ （3）在上述
43、条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到 2200 元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由 【答案】 （1）40，1800； （2）每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元； （3）商场日盈利不可以达到2200元，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）降价 1元，可多售出 2 件，降价 5元，可多售出 2 5 件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数，日盈利每件商品盈利的钱数 当天实际销售商品的件数； （2）根据日盈利每件商品盈利的钱数 （原来每天销售的商品件数 30+2 降价的钱数） ，列出方程求解即可； （3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可 【详解】
44、解： （1）降价 5元，销售量达到 30+2 540 件， 当天盈利： （505） （30+2 5）1800（元） ； 故答案为：40，1800； （2）根据题意，得： （50 x） （30+2x）2100， 解得：x15或 x20， 该商场为了尽快减少库存， 降的越多，越吸引顾客， 选 x20， 答：每件商品降价 20元，商场日盈利可达 2100元； （3）根据题意可得（30+2x） （50 x）2200， 整理得到：x235x+3500 由于b24ac122514001750， 所以该方程无解 故商场日盈利不可以达到 2200元 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，将实际问题转化为数学问题
45、，正确列出方程是解题关键 25. 如图，在ABC 中，点 D、E分别是边 BC、AC的中点，过点 A作 AFBC 交 DE 的延长线于 F 点，连接 AD、CF，过 D作 DGCF于点 G （1）求证：四边形 ADCF平行四边形； （2）当ABC满足什么条件时，四边形 ADCF是菱形？为什么？ （3）在（2）的条件下，若 AB6，BC10，求 DG的长 【答案】 （1）见解析； （2）直角三角形，理由见解析； （3）245 【解析】 【分析】 （1）先证明AEFCED，可得AFDC，根据已知条件即可求证四边形 ADCF 是平行四边形； （2）根据菱形的性质，可得ACDF，结合已知条件证明ABD
46、F是平行四边形，则/AB DF，进而可得ABAC，即可知ABCV是直角三角形； （3）根据菱形的面积及勾股定理即可求得DG 【详解】 （1）Q点 E 是边 AC的中点， AECE， /AF BCQ， FAEDCE， 又AEFCEDQ， AEFCED， AFDC， /AF DCQ， 四边形 ADCF 是平行四边形； （2）Q点 D是边 BC 的中点， BDDCAF， /AF BCQ， 四边形ABDF是平行四边形， /AB FD， 当四边形 ADCF是菱形时， ACDF， ABAC， ABCV是直角三角形， （3）QABCV是直角三角形，AB6，BC10， 228ACBCAB， Q四边形ABDF是平行四边形， 6DFAB， Q四边形 ADCF 是菱形， S菱形11=8 62422ADCFAC DF ，152CFDCBC， QDGCF， S菱形ADCF24CFDG， 245DG 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键
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