1、2021-2022 学年江苏省常州市天宁区九年级（上）期中数学试卷学年江苏省常州市天宁区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x20 B. x22x3 C. x24x10 D. xy10 2. 已知Oe的直径是 10，P点到圆心O的距离为 4，则P点与Oe的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 无法确定 3. 已知：甲乙两组数据平均数都是 5，甲组数据的方差21S12甲，乙组数据的方差 21S10乙，下列结论中正确的是 A. 甲
2、组数据比乙组数据的波动大 B. 乙组数据比甲组数据的波动大 C. 甲组数据与乙组数据波动一样大 D. 甲组数据与乙组数据的波动不能比较 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆上角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. .圆的切线垂直于半径 D. 半径相等的半圆是等弧 5. 如图，点 A、B、C 在O上，ACB52，则ABO 的度数是（ ） A. 52 B. 26 C. 38 D. 104 6. 如图，已知O 的直径 AD10任一圆周角ACB45，则弦 AB的长为（ ） A. 5 B. 52 C. 53 D. 55 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共
3、送 1056 张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x（x+1）1056 B. x（x1）10562 C. x（x1）1056 D. 2x（x+1）1056 8. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，以点 A 为圆心，3 为半径作圆，在圆上取一点 D，连接 BD 并取中点 M，连接 CM则 CM 长度的取值范围（ ） A. 3.5CM6.5 B. 3CM7 C. 5CM10 D. 4.5CM9.5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，本大题共分，本大题共 20 分）分） 9. 将一元二次方程 x212x1
4、化为一般形式是 _ 10. 若 x1 是一元二次方程 x2+mx10的一个根，则 m 的值是 _ 11. 一组数据 6、8、10、10，数据众数是 _，中位数是 _ 12. 某种商品原价是 250元，经两次降价后的价格是 160 元，则平均每次降价的百分率为_ 13. 已知三角形的两边长为 4和 5，第三边的长是方程 x2-8x+15=0的一个根，则这个三角形的面积是_. 14. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高 AO3 米，母线 AB5米，则该圆锥的侧面积是 _平方米（结果保留 ） 15. 如图，A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若ADB15，则这个正
5、多边形的边数为 _ 16. 如图，在 ABCD中，O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AE若D85，则BAE_ 17. 若直角三角形两直角边为 5cm、12cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 _cm 18. 如图，在矩形 ABCD中，AB8，BC12，E是 AB的中点，F是 BC边上一动点，将BEF沿着 EF 翻折，使得点 B 落在点 B处，矩形内有一动点 P，连接 PB、PC、PD，则 PB+PC+PD的最小值为 _ 三、计算与作图题（三、计算与作图题（19 题每小题题每小题 16 分，分，20 题题 6 分，共分，共 22 分）分） 19. 解下列方程 （1）2x280
6、（2）x210 x+160 （3）x2+4x10 （4） （x1） （x+3）5（x1） 20. 如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（不写作法，尺规作图） 21. 一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中随机摸出两个球是白球的概率是多少？并画出树状图 22. 已知ABCD边 AB、AD的长是关于 x 的方程212xmx0的两个实数根 （1）当 m为何值时，四边形 ABCD是菱形？ （2）当 AB=3 时，求ABCD 的周长 23
7、. 如图，已知 AB 是O的直径，点 C、D 在O上，点 E 在O 外，EACD （1）请说明 AE是O的切线： （2）若 OABC2时，求劣弧 AC长 24. 新冠疫情期间药店采购 N95口罩销售，该口罩每只的进价为 12元，原定售价为 15 元，规定：N95口罩销售价不得高于 30 元/只，根据药店市场调研发现：平时每周的销售量 350只，售价每涨一元销售量下降10 只若该口罩销售每周要获利 2400元，才能保证正常采购需要的运输费和人工费，问该药店需将 N95口罩的售价格定为每只多少元？ 25. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】 （1）如图 1，正方形
8、 ABCD的四个顶点在O 上，点 E 在弧 AB上，连结 AE、BE、DE若在 DE 上截取一点 F，使得 DFBE：连结 AF，发现ADF 与ABE 全等，请说明理由 【变式探究】 （2）如图 2，正方形 ABCD 的四个顶点在O 上，若点 E 在弧 AD 上，过点 A 作 AGBE，探究线段 BE、DE、AG之间是否满足 BEDE2AG的关系，请说明理由 【结论运用】 （3）如图 3，在正方形 ABCD 中，AB22，若一点 P满足 PD2，并且BPD90，请直接写出点 A到 BP的距离 2021-2022 学年江苏省常州市天宁区九年级（上）期中数学试卷学年江苏省常州市天宁区九年级（上）期
9、中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x20 B. x22x3 C. x24x10 D. xy10 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2.逐一判断即可. 【详解】A、20 x是一元一次方程，不合题意； B、223xx是二次三项式，不合题意； C、2410 xx 是一元二次方程，符合题意； D、10 xy 是二元二次方程，不合题意.
10、故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键. 2. 已知Oe的直径是 10，P点到圆心O的距离为 4，则P点与Oe的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断即可 【详解】点P到圆心的距离4d ，半径5rdr， 点P与Oe的位置关系是点P在Oe内 故选：B 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当dr时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr时，点在圆内 3. 已知：甲乙两组数据的平均数都是 5，甲组
11、数据的方差21S12甲，乙组数据的方差 21S10乙，下列结论中正确的是 A. 甲组数据比乙组数据的波动大 B. 乙组数据比甲组数据的波动大 C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大 D. 甲组数据与乙组数据的波动不能比较 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定 111210，乙组数据的比甲组数据的波动大 故选 B 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆上的角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. .圆的切线垂直于半径 D. 半径相等的半圆是等弧
12、【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义逐项分析即可 【详解】A.圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，故该选项不正确，不符合题意； B. 不共线的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； C.圆的切线垂直于过切点的半径，故该选项不正确，不符合题意； D.半径相等半圆是等弧，故该选项正确，符合题意； 故选 D 【点睛】本题考查了判断真假命题，圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义，掌握以上知识是解题的关键 5. 如图，点 A、B、C 在O上，ACB52，则ABO 的度数是（ ） A. 52 B. 26 C. 38 D. 1
13、04 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出AOB，根据等腰三角形的性质求出ABO=BAO，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】解：ACB=52 ， AOB=2ACB=104 ， OB=OA， ABO=BAO=12（180 -AOB）=12（180 -104 ）=38 ， 故选 C 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角AOB的度数是解此题的关键 6. 如图，已知O 的直径 AD10任一圆周角ACB45，则弦 AB的长为（ ） A. 5 B. 52 C. 53 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】连接 OB根据圆周角定理求得A
14、OB90，在等腰 RtAOB 中根据勾股定理求得 AB 【详解】解：连接 OBACB45， AOB2ACB90， AO=BO=5 AOB是等腰直角三角形 AB225 2AOBO 故选：B 【点睛】本题考查圆周角定理应用，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养 7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1056 张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x（x+1）1056 B. x（x1）10562 C. x（x1）1056 D. 2x（x+1）1056 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有 x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有
15、 x 名同学，那么总共送的张数应该是 x（x-1）张，即可列出方程 【详解】解：全班有 x名同学， 每名同学要送出（x-1）张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是 x（x-1）=1056 故选 C 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键 8. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，以点 A 为圆心，3 为半径作圆，在圆上取一点 D，连接 BD 并取中点 M，连接 CM则 CM 长度的取值范围（ ） A. 3.5CM6.5 B. 3CM7 C. 5CM10 D. 4.5CM9.5 【答案】A 【解析】 【分析】取 A
16、B 的中点 E，连接 AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得 CE和 EM的长，然后确定 CM 的范围 【详解】解：取 AB的中点 E，连接 AD、EM、CE 在直角ABC中，AB=22226810ACBC， E是直角ABC 斜边 AB上的中点， CE=12AB=5 M是 BD的中点，E是 AB 的中点， ME=12AD=1.5 5-1.5CM5+1.5， 即 3.5CM6.5 故选：A 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间的关系解答 二、填空题（本大题
17、共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，本大题共分，本大题共 20 分）分） 9. 将一元二次方程 x212x1化为一般形式是 _ 【答案】x212x-10 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式的概念，通过移项即可 【详解】解：x212x1 x212x-10 故答案为：x212x-10 【点睛】此题主要考查了一元二次方程一般形式，是基础题 10. 若 x1 是一元二次方程 x2+mx10的一个根，则 m 的值是 _ 【答案】0 【解析】 【分析】先把 x 的值代入方程即可得到一个关于 m的方程，解一元一次方程即可 【详解】解：x=1 是一元二次方程210 xmx
18、 的一个根， 把 x=1 代入方程得：2110m ， 解得0m 故答案是：0 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 11. 一组数据 6、8、10、10，数据的众数是 _，中位数是 _ 【答案】 . 10 . 9 【解析】 【分析】先把数据按由小到大的顺序排列，然后根据中位数和众数的定义求解； 【详解】解：由题意可把数据按由小到大的顺序排列为 6、8、10、10， 所以该组数据的中位数为 9，众数为 10； 故答案为 10，9 【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小
19、)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 12. 某种商品原价是 250元，经两次降价后的价格是 160 元，则平均每次降价的百分率为_ 【答案】20% 【解析】 【分析】得第一次降价后的价格为：250（1x） ，那么第二次降价后的价格为：250（1x）（1x） ，那么相应的等量关系为：原价（1降低的百分率）2第二次降价后的价格，把相关数值代入即可 【详解】设平均每次降价的百分率为 x，由题意得： 250（1x）2160， 解得：x10.2，x21.8（不合题意，舍去） 故答案为 20% 【点
20、睛】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b得到第二次降价后价格的等量关系是解决本题的关键 13. 已知三角形的两边长为 4和 5，第三边的长是方程 x2-8x+15=0的一个根，则这个三角形的面积是_. 【答案】6 或2 21 【解析】 【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理看看是否符合，再根据面积公式求出三角形的面积即可 【详解】解： x2-8x+15=0， （x-5） （x-3）=0， x-5=0，x-3=0， x1=5，x2=3， 根据三角形的三边关系定理，第三边是 5 或 3都行， 当第三
21、边是 5 时，三角形的三边长为 5、4、5，则底边上的高为：225221，此三角形面积为：12142 212； 当第三边是 3 时，三角形的三边长为 3、4、5，根据勾股定理的逆定理得出此三角形为直角三角形，则面积为：13 462 ； 故答案为：6或 221 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解一元二次方程，熟练掌握相关的知识是解题的关键 14. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高 AO3 米，母线 AB5米，则该圆锥的侧面积是 _平方米（结果保留 ） 【答案】20 【解析】 【分析】根据勾股定理求得 OB，然后根据圆锥侧面积的计算方法Srl
22、，求得答案即可 【详解】解：AO3 米，AB5 米， 224OBABAO米， S侧面积20rl， 故答案为：20 【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握圆锥侧面积的计算方法Srl是解题的关键 15. 如图，A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若ADB15，则这个正多边形的边数为 _ 【答案】十二 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边 AB 所对的圆心角AOB30 ，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案 【详解】解：如图，连接OA，OB， 15ADBoQ， 230AOBADB o， 而3603012oo， 这个正多边形为正十二边形， 故答
23、案为：十二 【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提 16. 如图，在 ABCD中，O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AE若D85，则BAE_ 【答案】10 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补，以及邻补角的定义即可求得85AEBD,根据平行四边形的性质对角相等可得85B ，进而根据三角形内角和定理即可求得BAE 【详解】, ,A D C EQ四点共圆， 180DAEC 180AECAEBQ 85AEBD Q四边形ABCD是平行四边形 85BD 18010BAEABEAEB 故答案
24、为：10 【点睛】本题考查了圆内接四边形，邻补角的定义，平行四边形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键 17. 若直角三角形两直角边为 5cm、12cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 _cm 【答案】8.5 【解析】 【分析】设内切圆半径为 r，先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径计算出它的外接圆半径，然后根据11=22ABCSrabcab （其中 a、b 为直角边，c 为斜边）计算出它的内切圆半径 【详解】解：设内切圆半径为 r， 内切圆圆心到这个直角三角形的三边的距离相等，都为 r， 由勾股定理得：直角三角形的斜边22cm12351， 此直角
25、三角形的外接圆的半径13=6.5cm2（外接圆圆心即为斜边的中点） ； 11111=22222ABCSarrr rabcab， 2cmabrabc， 其外接圆和内切圆半径之和为 8.5cm 故答案为：8.5 【点睛】此题考查三角形的内切圆与外接圆，解题关键在于能够熟练掌握直角三角形外接圆圆心即为斜边的中点，内切圆圆心到三边的距离相等 18. 如图，在矩形 ABCD中，AB8，BC12，E是 AB的中点，F是 BC边上一动点，将BEF沿着 EF 翻折，使得点 B 落在点 B处，矩形内有一动点 P，连接 PB、PC、PD，则 PB+PC+PD的最小值为 _ 【答案】84 3 【解析】 【分析】 将
26、PDC绕点 D逆时针旋转 60 ， 得到DPC， 连接 PP， CP， EC 由作图可知， PDP， DCC都是等边三角形，推出 DPPP，由 CPPC，推出 PBPDPCPBPPPC，根据 EBPBPPPCEC，可得结论 【详解】 解： 将PDC 绕点 D 逆时针旋转 60 ， 得到DPC， 连接 PP， CP， EC， 由题意， AEEBEB， 点 B在AB上运动， 由作图可知，PDP，DCC都是等边三角形， DPPP， CPPC， PBPDPCPBPPPC， EBPBPPPCEC， 如图，连接EC，DC交于点G， EGAD 60CDGQ RtDGC中，130 ,2DC GDGDC 22=
27、34 3GCDCDGDG 又3124 32ECADDC PBPPPC124 3-4， PBPPPC84 3， PBPCPD的最小值为 84 3， 故答案为：84 3 【点睛】本题考查旋转的性质，最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线 三、计算与作图题（三、计算与作图题（19 题每小题题每小题 16 分，分，20 题题 6 分，共分，共 22 分）分） 19. 解下列方程 （1）2x280 （2）x210 x+160 （3）x2+4x10 （4） （x1） （x+3）5（x1） 【答案】 （1）x1=2，x2=-2； （2）
28、x1=8，x2=2； （3）x1=25 ，x2=25 ； （4）x1=1，x2=2 【解析】 【分析】 （1）利用直接开方法即可求解 （2）利用因式分解法即可求解 （3）利用公式法即可求解 （4）利用因式分解法即可求解 【详解】 （1）2x280 x2=4 x=2 x1=2，x2=-2； （2）x210 x+160 （x-8） （x-2）=0 x-8=0或 x-2=0 x1=8，x2=2； （3）x2+4x10 a=1，b=4，c=-1 =16+4=20 4202x =25x x1=25 ，x2=25 ； （4） （x1） （x+3）5（x1） （x1） （x+3）-5（x1）=0 （x1）
29、（x+3-5）=0 x-1=0或 x-2=0 x1=1，x2=2 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知解一元二次方程的方法 20. 如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（不写作法，尺规作图） 【答案】见解析 【解析】 【分析】要使得供水站到三个厂的距离相等，即供水站要在线段 AB、BC、AC 的垂直平分线上，因此作出AB、BC、AC 的垂直平分线，三者的交点 P 即为所求 【详解】解：如图所示：连接 AB，AC，BC， 以 A、B为圆心，以大于 AB 长的一半为半径画弧，两者分别交于 M、N，连接 M、N，则 MN 为
30、线段 AB 的垂直平分线，同理作出线段 AC，BC 的线段垂直平分线，三者交点 P 即为所求 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质 21. 一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中随机摸出两个球是白球的概率是多少？并画出树状图 【答案】 （1）23； （2）13 【解析】 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是白球的情
31、况，再利用概率公式即可求得答案 【详解】解： （1）一只不透明的箱子里共有 3个球，其中 2 个白球，1个红球，它们除颜色外均相同， 从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是：23； （2）画树状图得： 共有 6种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的有 2 种情况， P（两次都摸到白球）=2163 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 22. 已知ABCD边 AB、AD的长是关于 x 的方程212xmx0的两个实数根 （1）当 m为何值时，四边形 ABCD是菱形？ （2）当 AB=3 时，求ABCD周长 【答案】 （1）4 3； （2）14 【解析
32、】 【分析】 （1）由菱形的四边相等知方程有两个相等的实数根,据此利用根的判别式求解可得,注意验根; （2） 由 AB=3 知方程的一个解为 3,代入方程求出 m的值,从而还原方程,再利用根与系数的关系得出 AB+AD的值,从而得出答案 【详解】解： （1）若四边形 ABCD 是菱形,则 AB=AD, 所以方程有两个相等的实数根, 则=（-m）2-4 1 12=0, 解得 m=4 3, 检验：当 m=4 3时,x=2 3,符合题意;当 m=-4 3时,x=2 3,不符合题意,故舍去 综上所述,当 m为4 3时,四边形 ABCD 是菱形 （2）AB=3, 9-3m+12=0, 解得 m=7, 方
33、程为 x2-7x+12=0, 则 AB+AD=7, 平行四边形 ABCD的周长为 2（AB+AD）=14 【点睛】本题主要考查根与系数的关系,解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系,菱形和平行四边形的性质 23. 如图，已知 AB 是O的直径，点 C、D 在O上，点 E 在O 外，EACD （1）请说明 AE是O的切线： （2）若 OABC2时，求劣弧 AC的长 【答案】 （1）见解析； （2）43 【解析】 【分析】 （1）根据同弧所对的圆周角相等可得BD ，根据直径所对的圆周角是直角可得90BBAC ，结合条件可得90EACBAC，进而证明AE是Oe的切线； （2）连接OC，证明BCO
34、V是等边三角形，进而根据圆周角定理可得AOC的度数，进而根据弧长公式求解即可 【详解】 （1）ACACQ BD QEACD EACB Q AB是O的直径， 90ACB 90BBAC 90EACBAC BAAE AE是Oe的切线 （2）连接OC，如图， OBQOC= OABC2 BCO是等边三角形 60B ACACQ 2120COAB 12024=1803ACl 【点睛】本题考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，等边三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键 24. 新冠疫情期间药店采购 N95口罩销售，该口罩每只的进价为 12元，原定售价为 15 元，规定：N95口罩销售价不得高于 30 元/只，
35、根据药店市场调研发现：平时每周的销售量 350只，售价每涨一元销售量下降10 只若该口罩销售每周要获利 2400元，才能保证正常采购需要的运输费和人工费，问该药店需将 N95口罩的售价格定为每只多少元？ 【答案】20 【解析】 【分析】设每只口罩上涨 x 元，则平均每周可销售(350-10 x) 只，根据总利润=单件利润 销售数量，即可得出关于 x的一元二次方程，再根据题意检验结果即可得出结论； 【详解】解：设每只口罩上涨 x 元，由题意得： （15+x-12） （350-10 x）=2400 解得：x1=27， x2=5 N95口罩销售价不得高于 30 元/只 27+15=4230 x1=2
36、7（舍去） ， x2=5 15+x=15+5=20元 答：N95 口罩的售价格定为每只 20 元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 25. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】 （1）如图 1，正方形 ABCD的四个顶点在O 上，点 E 在弧 AB上，连结 AE、BE、DE若在 DE 上截取一点 F，使得 DFBE：连结 AF，发现ADF 与ABE 全等，请说明理由 【变式探究】 （2）如图 2，正方形 ABCD 的四个顶点在O 上，若点 E 在弧 AD 上，过点 A 作 AGBE，探究线段 BE、DE、AG之
37、间是否满足 BEDE2AG的关系，请说明理由 【结论运用】 （3）如图 3，在正方形 ABCD 中，AB22，若一点 P满足 PD2，并且BPD90，请直接写出点 A到 BP的距离 【答案】 （1）见解析； （2）满足BEDE2AG，理由见解析； （3）31或3+1 【解析】 【分析】 （1）中易证 ADAB，EBDF，所以只需证明ADFABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等； （2）中易证AEF是等腰直角三角形，所以 AFAE，因为 AGBE，所以 FGGEAG，EF2AG，EFBEBFBEDE，得出结论； （3）由 PD2可得：点 P在以点 D 为圆心，2为半径的圆上；由B
38、PD90 可得：点 P 在以 BD为直径的圆上显然，点 P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论然后，添加适当的辅助线，借助（2）中结论，即可解决问题 【详解】解： （1）在正方形 ABCD 中，ABAD， ABE 与ADE 都对应弧 AE， ABEADE， 在ADF和ABE中， ABADABEADEBEDF ADFABE（SAS） ； （2）满足 BEDE2AG，理由如下： 在 BE上取点 F，使 BFDE，连接 AF， 由（1）ADEABF， BFDE，AEAF，DAEBAF， 在正方形 ABCD中，BAD90 ， BAFDAF90 ， DAEDAF90 ，
39、 EAF90 ， EAF是等腰直角三角形三角形， AGBE， FGGEAG， EF2AG， EFBEBFBEDE， BEDE2AG； （3）解：点 A 到 BP 的距离是31或3+1， PD2， 点 P在以点 D 为圆心，2 为半径的圆上， BPD90 ， 点 P在以 BD 为直径的圆上， 点 P是这两圆的交点， 当点 P在如图 3所示位置时，连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H， 过点 A作 AEAP，交 BP于点 E，如图 3， 四边形 ABCD是正方形， ADB45 ABADDCBC2 2，BAD90 ， BD4 DP2， BP2 3， BPDBAD90 ， A、P、D、B
40、在以 BD为直径的圆上， APBADB45 ， PAE是等腰直角三角形， 又BAD 是等腰直角三角形，点 B、E、P共线，AHBP， 由（2）中的结论可得：BP2AHPD， 2 32AH2， AH31； 当点 P 在如图 3所示位置时， 连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H， 过点 A作 AEAP，交 PB的延长线于点 E，如图 3， 同理可得：BP2AHPD， 2 32AH2， AH3+1， 综上所述：点 A到 BP的距离为31或3+1 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键
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