1、2021-2022 学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每题小题，每题 4分，满分分，满分 40 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1. 下面四个图形中，其中不一定是轴对称图形的是( ) A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 2. 下列运算正确的是（ ） A. a2+a3a5 B. a3aa3 C. （a2）3a5 D. （a2b）2a4b2 3. 下列选项给出了三条线段的长度，则不能组成三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 3，4，5
2、C. 6，15，9 D. 8，8，15 4. 如图，ACBD，AB90，要根据“HL”证明 RtACERtBDF，则还需要添加一个条件是（ ） A. CEDF B. AEBF C. AFBE D. CD 5. 一个多边形内角和是外角和的 2倍，这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6 已知ABCDEF，A60，E70，那么C等于（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 7. 下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ） A. 三个角都相等的三角形 B. 有两个角等于 60三角形 C. 边上的高也是这边的中线的三角形 D. 有一个外角等于 120的
3、等腰三角形 8. 若 AD 是 ABC中线，则下列结论正确的是（ ） A. ADBC B. BDCD C. BADCAD D. AD12BC 9. 如图，一位同学拿了两块 45的三角尺MNK、ACB 做了一个探究活动：将MNK的直角顶点 M放在ABC的斜边 AB的中点处，设 ACBCa，猜想此时重叠部分四边形 CEMF的面积为（ ） A. 216a B. 215a C. 214a D. 213a 10. 如图，在ABC中，ABAC，尺规作图： （1）分别以 B，C 为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点 D；（2）连接 DB、DA、DC，DA交 BC于点 E，则下列结论中错误的是（ ） A. A
4、D 垂直平分 BC B. S四边形ABDCADBC C. 若BAC120，则 DE3AE D 若BAC60，则 BC垂直平分 AD 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 11. 在平面直角坐标系中，点P 12 ，关于x轴的对称点的坐标为_. 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做到一个测量工件内槽宽的工具（长钳） ，在图中要测量工件内槽宽 AB，只要测量A B 长度，其依据是全等三角形判定“_”和全等三角形对应边相等 13. 若 2m=3，2n=5，则 2m+2n 的值是_. 14. 如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，EF是
5、BC的垂直平分线，P是直线 EF上的一动点，则PA+PB 的最小值是 _ 15. 如图， ABC 中， ABAC， 作BCE， 点 A在BCE 内， 点 D在 BE 上， AD垂直平分 BE， 且EBA+ECAm，则BAC_ 16. 如图，在 RtABC 中，BAC90，AC：BC7：10，ABC 和ACD的角平分线相交于点 D，过点 D 作 BD的垂线， 交 CA延长线于点 E，连接 AD， 若BCD 的面积为 6， 下列结论： ACAB；EDC135；AD平分BAC；SAED185其中正确的是 _ （填序号） 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分，解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：mm7（2m4）2 18. 如图，在ABC 中，以点 B 为圆心，BA长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD， 若B42，C30，求DAC的度数 19. 如图，ACB=90 ，AC=BC，ADCE，BECE，垂足分别为 D，E.求证：BE=CD. 20. 如图，在ABC中，BC，过 BC的中点 D作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若BDE50，求BAC 的度数 21. 如图，在ABC与ADE 中，ABAD，ACAE，BCDE，点 D 在 BC边上，试判断1 与
7、2的数量关系，并说明理由 22. 求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半在探究过程中，老师发现班上的学生有两种不同辅助线添法，如图，在ABC 中，ACB90 甲同学：以 B 为圆心，以 BA 长为半径作弧，交 BC延长线于 D，连接 AD 乙同学：以 B 为圆心，以 BC 长为半径作弧，交 BA于 D，连接 CD 请你选择上述一种做法进行证明 （要求写出已知，求证，证明过程） 23. 如图，在ABC中，ABCC，D是 BA 延长线上一点，E是 AC的中点 （1）用直尺和圆规按要求作图，并在图中标出相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ：在射线 BD右侧，过
8、点 A 作射线AMBC，在射线 AM上截取 AFBC 连接 BE，EF； （2）在（1）条件下，求证：F，E，B三点共线 24. 如图 1，在 RtABC中，ABC90，ABBC，D 为 BC边上一点，连接 AD，将ABD沿 AB翻折得到ABE，过点 E 作 AD的垂线，垂足为 F，延长 EF 交 AC 于 G （1）求证：EAEG； （2）连接 DG 如图 2，当 DGAC 时，试判断 BD 与 CD的数量关系，并说明理由； 若 AB5，EDG的面积为 4，请直接写出CDG的面积 25. 如图 1，在平面直角坐标系中，等边ABC 的边长为 6，AB在 x 轴上，点 C在 x轴上方，AC 边交
9、 y轴于点 D，点 E为 AB边上一点，连接 CE、BD，已知 A（a，0） ，E（6+3a，0） （a0） （1）求证：BDCE； （2）如图 2，连接 DE，当ADE为直角三角形时，请直接写出点 A 的坐标； （3）如图 3，过点 B作ABFCDB，且 BDBF，当点 F 在 CE 延长线上时，求点 A的坐标 2021-2022 学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每题小题，每题 4分，满分分，满分 40 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1. 下面四个图形中，其中不
10、一定是轴对称图形的是( ) A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边的高线所在直线，故本选项不符合题意； B、正方形是轴对称图形，其对称轴是经过对边中点的直线或对角线所在直线，故本选项不符合题意； C、等边三角形是轴对称图形，其对称轴是任意一边的高线所在直线，故本选项不符合题意； D、当直角三角形不是等腰直角三角形时不是轴对称图形，所以直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项符合题意 故选 D 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判断是否是
11、轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2. 下列运算正确的是（ ） A. a2+a3a5 B. a3aa3 C. （a2）3a5 D. （a2b）2a4b2 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，合并同类项计算方法，分别进行计算，做出判断和选择 【详解】解：A、2a与3a不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、a3aa3+1a4，故此选项不符合题意； C、326aa，故此选项不符合题意； D、 （a2b）2a4b2，故此选项符合题意； 故选 D 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，掌握运算法则正确计算是本题的解
12、题关键 3. 下列选项给出了三条线段的长度，则不能组成三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 3，4，5 C. 6，15，9 D. 8，8，15 【答案】C 【解析】 【分析】根据组成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行逐一判断即可 【详解】解：A、2-2=022+2=4，能组成三角形，故此选项不符合题意； B、5-3=245+3=8，能组成三角形，故此选项不符合题意； C、6+9=15，不能组成三角形，故此选项符合题意； D、15-8=7815+8=23，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选 C 【点睛】本题主要考查了组成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握组
13、成三角形的条件 4. 如图，ACBD，AB90，要根据“HL”证明 RtACERtBDF，则还需要添加一个条件是（ ） A. CEDF B. AEBF C. AFBE D. CD 【答案】A 【解析】 【分析】根据 HL定理的条件进行判断即可； 【详解】ACBD，AB90， 当 CEDF 时，RtACERtBDF 故选 A 【点睛】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，准确分析判断是解题的关键 5. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）180和外角和定
14、理列出方程，然后求解即可 【详解】解：设多边形的边数为 n， 由题意得， （n-2）180=2360 ， 解得 n=6， 所以，这个多边形是六边形 故选：D 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键 6. 已知ABCDEF，A60，E70，那么C等于（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，可得70BE ，再根据三角形内角和即可求解 【详解】解：ABCDEF 70BE 18050CAB 故选 B 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的
15、关键 7. 下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ） A. 三个角都相等的三角形 B. 有两个角等于 60的三角形 C. 边上的高也是这边的中线的三角形 D. 有一个外角等于 120的等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质判断即可； 【详解】三个角都相等的三角形是等边三角形，故 A 不符合题意； 有两个角等于 60 的三角形是等边三角形，故 B不符合题意； 边上的高也是这边的中线的三角形有可能是等腰三角形，故 C不一定是等边三角形； 有一个外角等于 120 的等腰三角形， 则是有一个内角是 60 的等腰三角形是等边三角形， 故 D 不符合题意； 故选 C 【点睛】本题主
16、要考查了等边三角形判定，准确分析判断是解题的关键 8. 若 AD 是 ABC的中线，则下列结论正确的是（ ） A. ADBC B. BDCD C. BADCAD D. AD12BC 【答案】B 【解析】 【分析】三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段,一个三角形有 3 条中线，根据三角形的中线的定义即可判断 【详解】解：AD是 ABC 的中线， BDDC， 故选：B 【点睛】本题考查三角形中线，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 9. 如图，一位同学拿了两块 45的三角尺MNK、ACB 做了一个探究活动：将MNK的直角顶点 M放在ABC的斜边 AB的中点处，设 ACBC
17、a，猜想此时重叠部分四边形 CEMF的面积为（ ） A. 216a B. 215a C. 214a D. 213a 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB， ACM =B， CMF=BME， 从而证明CMFBME，根据四边形 CEMF 的面积=SCMF+SCEM= SBCM求出答案 【详解】解：连接 MC， ACB是等腰直角三角形，M 是 AB 的中点， MCAB，ACM=BCM=B=45 ， MC=MB，BMC=90 ， EMF=90 =BMC， EMF-CME=BCM-CME，即CMF=BME， CMFBME， SCMF=SBME， 四边形 CEMF面积=S
18、CMF+SCEM=SBME+ SCEM= SBCM=12SABC=214a， 故选：C 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键 10. 如图，在ABC中，ABAC，尺规作图： （1）分别以 B，C 为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点 D；（2）连接 DB、DA、DC，DA交 BC于点 E，则下列结论中错误的是（ ） A. AD垂直平分 BC B. S四边形ABDCADBC C. 若BAC120，则 DE3AE D 若BAC60，则 BC垂直平分 AD 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图方法可得BCD是等边三角形，则 BD=CD，
19、BDC=60 ，然后证明 ABD ACD得到BDA=CDA，BAE=CAE=30 ，即可判断 A；利用含 30 度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到223DEBDBEBE，由111=222ABDACDABCDSSSAD BEAD CEAD BCVV四边形即可判断 B；利用含 30 度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到223BEABAEAE即可判断C；由BAC=60 ，可得BAE=BDE=30 ，则 AB=DB，由此即可判断 D 【详解】解：由作图方法可知，BCD是等边三角形， BD=CD，BDC=60 又AB=AC，AD=AD， ABD ACD（SAS） ， BDA=CDA，BAE=C
20、AE=30 ， 由三线合一定理可知 AD垂直平分 BC，故 A 选项不符合题意； DEB=AEB， 2ADBE， 223DEBDBEBE， 111=222ABDACDABCDSSSAD BEAD CEAD BCVV四边形，故 B 选项符合题意； 当BAC120时，则ABE=30 ， 2ABAE， 223BEABAEAE， 3DEAE，故 C 选项不符合题意； BAC=60 ， BAE=BDE=30 ， AB=DB， 又BCAD， BC垂直平分 AD，故 D选项不符合题意， 故选 B 【点睛】本题主要考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股
21、定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 11. 在平面直角坐标系中，点P 12 ，关于x轴对称点的坐标为_. 【答案】12 （， ） 【解析】 【分析】关于 x 轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数. 【详解】解：P（-1，2）与对称点关于 x轴对称， 横坐标相同，纵坐标互为相反数， 对称点的坐标为（-1，-2） 故答案为(-1，-2). 【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做到一个
22、测量工件内槽宽的工具（长钳） ，在图中要测量工件内槽宽 AB，只要测量A B 长度，其依据是全等三角形判定“_”和全等三角形对应边相等 【答案】SAS 【解析】 【分析】根据中点连在一起可得 OA=OA，OB=OB，再根据对顶角相等，可证AOBAOB（SAS） ，得出 AB=AB即可 【详解】解：SAS，理由如下 点 O是 AA中点， OA=OA， 点 O是 BB中点， OB=OB， 在AOB和AOB中， OAOAAOBA OBOBOB ， AOBAOB（SAS） ， AB=AB， 要测量工件内槽宽 AB，只要测量A B 长度 故答案为：SAS 【点睛】本题考查中点定义，三角形全等判定与性质，
23、掌握中点定义，三角形全等判定与性质是解题关键 13. 若 2m=3，2n=5，则 2m+2n 的值是_. 【答案】75 【解析】 【详解】2m+2n=m2n22=2mn22=352=75. 故答案为 75. 14. 如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，EF是 BC的垂直平分线，P是直线 EF上的一动点，则PA+PB 的最小值是 _ 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意知点 B关于直线 EF 的对称点为点 C，故当点 P为 EF和 AC的交点时，AP+BP值最小为AC 的长为 4 【详解】解：如图：连结 BP，CP， EF 垂直平分 BC， B、C 关于 EF对称， BP=CP， AP+
24、BP=AP+CP， 根据两点之间相等最短 AP+PCAC， 当点 P 在 AC 与 EF 交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于 AC的长为 4 故答案为 4 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出 P 点的位置 15. 如图， ABC 中， ABAC， 作BCE， 点 A在BCE 内， 点 D在 BE 上， AD垂直平分 BE， 且EBA+ECAm，则BAC_ 【答案】2m 【解析】 【分析】根据垂直平分线可得 AB=AE，利用等边对等角可得ABE=BEA，由 ABAC，得出 AE=AC，等边对等角可得ACE=AEC，利用
25、三角形外角得出BAF= =2EBA，CAF =2ECA，由EBA+ECAm 再利用外角性质BAC=BAF+CAF =2EBA+2ECA 即可 【详解】解：连结 AE，并延长 EA 到 F， AD垂直平分 BE， AB=AE， ABE=BEA， ABAC， AE=AC， ACE=AEC， BAF为ABE的外角， BAF=EBA+BEA=2EBA， CAF为ACE的外角， CAF=ECA+CEA=2ECA， EBA+ECAm ， BAC=BAF+CAF =2EBA+2ECA=2（EBA+ECA）=2m 故答案为：2m 【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握线
26、段垂直平分线性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键 16. 如图，在 RtABC 中，BAC90，AC：BC7：10，ABC 和ACD的角平分线相交于点 D，过点 D 作 BD的垂线， 交 CA延长线于点 E，连接 AD， 若BCD 的面积为 6， 下列结论： ACAB；EDC135；AD平分BAC；SAED185其中正确的是 _ （填序号） 【答案】 【解析】 【分析】可设7ACx=，10BCx，则由勾股定理可得2251ABBCACx即可判断；根据三角形三个内角的角平分交于一点即可判断；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可以求得180=135BDCDBCDCBoo，再由BD
27、E=90 ，即可求得EDC=360 -BDE-BDC=135 ，即 可 判 断 ； 证 明 ECDBDC 得 到6E D CB D CSSVV， BC=CE ， 则3AECEACx，3=7AEDADCSAESACVV，即可判断 【详解】解：AC：BC7：10， 可设7ACx=，10BCx， BAC=90 ， 2251ABBCACx，=90ABCACBo 0 x， 751xx， ACAB，故错误； ABC和ACD的角平分线相交于点 D， AD平分BAC（三角形三个内角的角平分线交于一点） ，12DBCABC，1=2DCBACDACB故正确； 111=45222DBCDCBABCACBABCACB
28、o， 180=135BDCDBCDCBoo， BDED， BDE=90 ， EDC=360 -BDE-BDC=135 ，故正确； EDC=ADC， 又CD=CD，ECD=BCD， ECDBDC（ASA） ， 6EDCBDCSSVV，BC=CE， 3AECEACx， 3=7AEDADCSAESACVV， 39735AEDEDCSSV故错误， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形三个内角的角平分线交于一点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分，解答应写出文字说明、证
29、明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：mm7（2m4）2 【答案】83m 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项的计算法则进行求解即可 【详解】解：2472m mm 884mm 83m 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则 18. 如图，在ABC 中，以点 B 为圆心，BA长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD， 若B42，C30，求DAC的度数 【答案】39 【解析】 【分析】根据题意得到 AB=BD，求出BDA 的度数，利用三角形外角的性质求出答案即可 【详
30、解】解：由题意得 AB=BD， 11(180)(18042 )6922BADBDAB ， BDADACC，C30， 693039DACBDAC 【点睛】此题考查等边对等角的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键 19. 如图，ACB=90 ，AC=BC，ADCE，BECE，垂足分别为 D，E.求证：BE=CD. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】分析：如下图，由已知条件易得1+2=90 ，2+3=90 ，从而可得1=3，这样结合AC=BC，ADC=CEB=90 ，可证得 ACDCBE，由此可得 BE=CD. 详解：ACB=90 ， 1+2=90 . ADCE，B
31、ECE， 4=E=90 . 2+3=90 . 3=1. 又AC=BC. ACDCBE. BE=CD. 点睛：由已知条件证得1=3，这样结合 AC=BC和ADC=CEB=90 ，证得 ACDCBE 是解答本题的关键. 20. 如图，在ABC中，BC，过 BC的中点 D作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若BDE50，求BAC 的度数 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）100 【解析】 【分析】 （1）根基已知条件证明BEDCFD，即可得解； （2）根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】 （1）DEAB，DFAC， 90BEDCFD， D 是 BC
32、的中点， BDCD， 在BEDV和CFD中， BEDCFDBCBDCD， BEDCFD， DEDF； （2）BDE50， 905040B ， 1804040100BAC 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，准确计算是解题的关键 21. 如图，在ABC与ADE 中，ABAD，ACAE，BCDE，点 D 在 BC边上，试判断1 与2的数量关系，并说明理由 【答案】1=2，见详解 【解析】 【分析】根据已知可证ABCADE（SSS） ，得出B=ADE，由 AB=AD，得出B=ADB=ADE，利用三角形内角和1=180 -B-ADB=180 -2B，利用平角得出
33、2=180 -ADB-ADE=180 -B-B=180 -2B 即可得解 【详解】解：1=2，理由如下： 在ABC与ADE 中， ABADACAEBCDE， ABCADE（SSS） ， B=ADE， AB=AD， B=ADB=ADE， 1=180 -B-ADB=180 -2B， 2=180 -ADB-ADE=180 -B-B=180 -2B， 1=2 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，三角形内角和，平角定义，掌握三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，三角形内角和，平角定义是解题关键 22. 求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半在探究
34、过程中，老师发现班上的学生有两种不同辅助线添法，如图，在ABC 中，ACB90 甲同学：以 B 为圆心，以 BA 长为半径作弧，交 BC延长线于 D，连接 AD 乙同学：以 B 为圆心，以 BC 长为半径作弧，交 BA于 D，连接 CD 请你选择上述一种做法进行证明 （要求写出已知，求证，证明过程） 【答案】选甲，见详解；选乙，见详解 【解析】 【分析】 （1）以 B 为圆心，以 BA 长为半径作弧，交 BC 延长线于 D，连接 AD利用三角形内角和可求B=180 -ACB-BAC=60 ，根据 BA=BD，可证ABD 为等边三角形，可得 AB=BD=AD，利用等腰三角形三线合一性质可得 AC
35、为中线即可； （2）以 B 为圆心，以 BC长为半径作弧，交 BA 于 D，连接 CD由三角形内角和可求B=180 -ACB-BAC=60 ，由 BC=BD，可证CBD为等边三角形，可得 CB=BD=DC，BCD=60 ， 可求DCA=90 -BCD=90 -60 =30 由DCA=A=30 ，可得 AD=DC=BD=BC即可 【详解】 （1）选甲同学： 已知ABC 为直角三角形，ACB=90 ，BAC=30 ， 求证 BC=12AB 证明：以 B为圆心，以 BA 长为半径作弧，交 BC 延长线于 D，连接 AD ACB=90 ，BAC=30 ， B=180 -ACB-BAC=180 -90
36、-30 =60 ， BA=BD， ABD为等边三角形， AB=BD=AD， ACBD，AB=AD， AC为中线， BC=CD=12BD=12AB （2）选乙同学： 已知ABC 为直角三角形，ACB=90 ，BAC=30 ， 求证 BC=12AB 证明：以 B为圆心，以 BC长为半径作弧，交 BA于 D，连接 CD ACB=90 ，BAC=30 ， B=180 -ACB-BAC=180 -90 -30 =60 ， BC=BD， CBD 为等边三角形， CB=BD=DC，BCD=60 ， DCA=90 -BCD=90 -60 =30 ， DCA=A=30 ， AD=DC=BD=BC， AB=AD+
37、BD=BC+BC=2BC， BC=12AB 【点睛】本题考查证明 30 直角三角形性质，三角形内角和，等边三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，掌握证明 30 直角三角形性质，三角形内角和，等边三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质 23. 如图，在ABC中，ABCC，D是 BA 延长线上一点，E是 AC的中点 （1）用直尺和圆规按要求作图，并在图中标出相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ：在射线 BD右侧，过点 A 作射线AMBC，在射线 AM上截取 AFBC 连接 BE，EF； （2）在（1）条件下，求证：F，E，B三点共线 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （
38、1）过点 A作CAD 的平分线 AM 即可得到AMBC，再截取连接即可； （2）证明AEFCEB，推出AEB+AEF =180 ，即可得到结论 【详解】解： （1）如图： （2）证明：AMBC， CAM=C， E是 AC 的中点 AE=CE， AFBC， AEFCEB， AEF=CEB， AEB+AEF=AEB+CEB=180 ， F，E，B 三点共线 【点睛】此题考查作图能力，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定是解题的关键 24. 如图 1，在 RtABC中，ABC90，ABBC，D 为 BC边上一点，连接 AD，将ABD沿 AB翻折得到ABE，过点 E 作 AD的垂线，垂足为 F
39、，延长 EF 交 AC 于 G （1）求证：EAEG； （2）连接 DG 如图 2，当 DGAC 时，试判断 BD 与 CD的数量关系，并说明理由； 若 AB5，EDG的面积为 4，请直接写出CDG的面积 【答案】 （1）见解析； （2）BD=12CD；4 【解析】 【分析】 （1）证明BAE=DEG，根据等腰直角三角形的性质得到BAC+BAE=ACB+DEG，即可推出结论； （2）过点 G作 GNBC于 N，证明ABEENG，推出 GN=BE=BD，根据等腰直角三角形三线合一的性质推出 ND=NC=12CD，由此得到结论 BD=12CD； 由知 EB=BD=DN=NC，得到 ED=DC，根据
40、三角形面积公式计算即可 【详解】 （1）证明：由折叠得BAE=BAD，AED=ADE， EGAD， AFE=ABC=ABE90 ， AED+BAE=ADE+DEG90 ， BAE=DEG， 在 Rt ABC 中，ABC90 ，ABBC， BAC=ACB， BAC+BAE=ACB+DEG，即EAC=EGA， EAEG； （2）过点 G作 GNBC于 N，则ENG=ABE90 ， AE=AD，AE=EG， AE=EG， BAE=NEG， ABEENG， GN=BE， DGAC，BAC=ACB=45 ，NGAC， ND=NC=12CD， BE=BD， BD=12CD； 由知 EB=BD=DN=NC，
41、 ED=DC， EDG 的面积=12ED NG4， CDG 的面积=142DC NG 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，折叠的性质，解题的关键是正确掌握全等三角形的判定定理并熟练应用 25. 如图 1，在平面直角坐标系中，等边ABC 的边长为 6，AB在 x 轴上，点 C在 x轴上方，AC 边交 y轴于点 D，点 E为 AB边上一点，连接 CE、BD，已知 A（a，0） ，E（6+3a，0） （a0） （1）求证：BDCE； （2）如图 2，连接 DE，当ADE为直角三角形时，请直接写出点 A 的坐标； （3）如图 3，过点 B作ABFCDB，且 BDBF，当点 F 在 CE 延长线上时
42、，求点 A的坐标 【答案】 （1）见解析； （2）当ADE 为直角三角形时，A 的坐标为（-1，0）或（-2，0） ； （3）A 点坐标为（-1，0） 【解析】 【分析】 （1）先根据含 30 度角的直角三角形的性质得到 AD=2AO，再求出 OA=-a，OE=6+3a，得到BE=AB-OA-OE=6-6-3a+a=-2a，AD=2OA=-2a，则 AD=BE，即可证明DABEBC得到 BD=CE； （2）分ADE=90 或AED=90 两种情况利用含 30度角的直角三角形的性质进行求解即可； （3）在 AB上找一点 G，使得 AG=BE，连接 CG，先证明CAGCBE得到 CG=CE，AGC
43、=BEC，然后证明CGEFBE得到 GE=BE，由 BE=AG，则13AGGEBEAB，即26343AEaaAB，从而得解 【详解】解：三角形 ABC是等边三角形， BAC=ABC=60 ，AB=BC， 又DOA=90 ， ADO=30 ， AD=2AO， A（a，0） ，E（6+3a，0） ， OA=-a，OE=6+3a， BE=AB-OA-OE=6-6-3a+a=-2a，AD=2OA=-2a， AD=BE， 又AB=BC，DAB=EBC， DAB EBC（SAS） ， BD=CE； （2）DAE=60 ， 若ADE 为直角三角形时，只有ADE=90 或AED=90 ， 当ADE=90 时，
44、 AED=30 ， AE=2AD=-4a， 又AE=6+3a-a=6+2a， 6+2a=-4a， a=-1， A的坐标为（-1，0） ； 当AED=60， ADE=30 ， 12AEADa ， AE=6+3a-a=6+2a， 6+2a=-a， a=-2， A的坐标为（-2，0） ， 当 ADE 为直角三角形时，A 的坐标为（-1，0）或（-2，0） ； （3）如图所示，在 AB 上找一点 G，使得 AG=BE，连接 CG， ABC是等边三角形， AC=BC，CAG=CBE=60 ， CAGCBE（SAS） ， CG=CE，AGC=BEC， 由（1）得DAB EBC， ADB=BEC，BD=CE， BD=CE=CG，AGC=ADB， AGC+CGB=ADB+CDB=180 ， CDB=CGB=ABF， BD=BF=CG，CEG=FEB， CGEFBE（AAS） ， GE=BE， BE=AG， 13AGGEBEAB， 26343AEaaAB， 1a， A点坐标为（-1，0） 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件
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