2021年浙江省中考数学真题分类专题：圆（解析版）

1、2021 年浙江省中考数学真题分类专题：年浙江省中考数学真题分类专题：圆圆 一、选择题一、选择题 1 （2021 年绍兴中考真题）如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在上（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】根据正方形的性质得到 BC 弧所对的圆心角为 90，则BOC90，然后根据圆周角定理求解 【解答】解：连接 OB、OC， 正方形 ABCD 内接于O， BC 弧所对的圆心角为 90， BOC90， BPCBOC45 故选：B 2 （2021 年嘉兴中考真题）已知平面内有O 和点 A，B，若O 半径为 2cm，线段 OA3cm，OB2cm，则直线 AB 与O 的位置关系为（

2、） A相离 B相交 C相切 D相交或相切 【解答】解：O 的半径为 2cm，线段 OA3cm，OB2cm， 即点 A 到圆心 O 的距离大于圆的半径，点 B 到圆心 O 的距离等于圆的半径， 点 A 在O 外，点 B 在O 上， 直线 AB 与O 的位置关系为相交或相切， 故选：D 3 （2021 年丽水中考真题）如图，AB是Oe的直径，弦CDOA于点 E，连结,OC OD若Oe的半径为,mAOD ，则下列结论一定成立的是（ ） A. tanOEm B. 2sinCDm C. cosAEm D. 2sinCODSmV 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解

3、答 【详解】解：AB是Oe的直径，弦CDOA于点 E， 12DECD 在Rt EDO中，ODm，AOD tan=DEOE =tan2tanDECDOE，故选项 A 错误，不符合题意； 又sinDEOD sinDEODg 22sinCDDEmg，故选项 B 正确，符合题意； 又cosOEOD coscosOEODmgg AODOm cosAEAO OEm mg，故选项 C 错误，不符合题意； 2sinCDmg，cosOEmg 2112sincossincos22CODSCD OEmmmggg，故选项 D 错误，不符合题意； 故选 B 【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公

4、式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义 二、填空题二、填空题 1 （2021 年杭州中考真题）如图，已知O 的半径为 1，点 P 是O 外一点，T 为切点，连结 OT 【分析】根据圆的切线性质可得出OPT 为直角三角形，再利用勾股定理求得 PT 长度 【解答】解：PT 是O 的切线，T 为切点， OTPT， 在 RtOPT 中，OT1， PT， 故：PT 2 （2021 年宁波中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如示意图，,AC BD分别与Oe相切于点 C，D，延长,AC BD交于点 P若120P ，Oe的半径为6cm，则图中CD的长为_cm （

5、结果保留） 【答案】2 【解析】 【分析】连接 OC、OD，利用切线的性质得到90OCPODP，根据四边形的内角和求得60COD，再利用弧长公式求得答案 【详解】连接 OC、OD， ,AC BD分别与Oe相切于点 C，D， 90OCPODP， 120P ，360OCPODPPCOD ， 60COD， CD的长=6062180pp=（cm） ， 故答案为：2 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键 3 （2021 年温州中考真题）若扇形的圆心角为 30，半径为 17，则扇形的弧长为 【分析】根据弧长公式代入即可 【解

6、答】解：根据弧长公式可得： l 故答案为： 4 （2021 年温州中考真题）如图，O 与OAB 的边 AB 相切，切点为 B将OAB 绕点 B 按顺时针方向旋转得到OAB，边 AB 交线段 AO 于点 C若A25，则OCB 85 度 【分析】 根据切线的性质得到OBA90， 连接 OO， 如图， 再根据旋转的性质得AA25，ABAOBO，BOBO，则判断OOB 为等边三角形得到OBO60，所以ABA60，然后利用三角形外角性质计算OCB 【解答】解：O 与OAB 的边 AB 相切， OBAB， OBA90， 连接 OO，如图， OAB 绕点 B 按顺时针方向旋转得到OAB， AA25，ABAO

7、BO， OBOO， OOB 为等边三角形， OBO60， ABA60， OCBA+ABC25+6085 故答案为 85 5 （2021 年温州中考真题）图 1 是邻边长为 2 和 6 的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 2） 62 ；记图 1 中小正方形的中心为点 A，B，C，图 2 中的对应点为点 A，B，则当点 A，B，圆的最小面积为 (168) 【分析】 如图， 连接 FH,由题意可知点 A,O,C在线段 FH 上,连接 OB,BC,过点 O 作 OHBC于 H证明EGF30,解直角三角形求出 JK,OH,BH,再求出 OB2,可得结论 【解答】解：如

8、图，连接 FH,O,C在线段 FH 上,BC 大正方形的面积12， FGGH2, EFHK2, 在 RtEFG 中，tanEGF, EGF30, JKFG, KJGEGF30, dJKGK6)62, OFOHFH, OC, BCQH,BC2, OCHFHQ45, OHHC2, HB2(6)3, OB5OH2+BH2(1)2+(8)2163, OAOCOB, 当点 A，B，圆的最小面积为(168 故答案为：62，(168 6 （2021 年台州中考真题）如图，将线段 AB绕点 A 顺时针旋转 30，得到线段 AC若 AB12，则点 B经过的路径BC长度为_ （结果保留 ） 【答案】2 【解析】

9、【分析】直接利用弧长公式即可求解 【详解】解：30122180BCl， 故答案为：2 【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键 三、解答题三、解答题 1 （2021 年杭州中考真题）如图，锐角三角形 ABC 内接于O，BAC 的平分线 AG 交O 于点 G，连接BG （1）求证：ABGAFC （2）已知 ABa，ACAFb，求线段 FG 的长（用含 a，b 的代数式表示） （3）已知点 E 在线段 AF 上（不与点 A，点 F 重合） ，点 D 在线段 AE 上（不与点 A，点 E 重合） ，ABDCBE2GEGD 【分析】(1)根据BAC 的平分线 AG 交O 于点 G，知BACF

10、AC，由圆周角定理知GC，即可证ABCAFC； (2)由（1）知，由 ACAF 得 AGAB，即可计算 FG 的长度； (3)先证DGBBGE，得出线段比例关系，即可得证 BG2GEGD 【解答】 （1）证明：AG 平分BAC， BAGFAC， 又GC， ABCAFC； （2）解：由（1）知，ABCAFC， ， ACAFb， ABAGa， FGAGAFab； （3）证明：CAGCBG，BAGCAG， BAGCBG， ABDCBE， BDGBAG+ABDCBG+CBEEBG， 又DGBBGE， DGBBGE， ， BG2GEGD 2（2021 年宁波中考真题） 如图 1， 四边形ABCD内接于O

11、e，BD为直径，AD上存在点 E， 满足AECD，连结BE并延长交CD的延长线于点 F，BE与AD交于点 G （1）若DBC，请用含的代数式表列AGB （2）如图 2，连结,CE CEBG求证；EFDG （3）如图 3，在（2）的条件下，连结CG，2AG 若3tan2ADB，求FGDV的周长 求CG的最小值 【答案】 （1）90AGB； （2）见解析； （3）572；3 【解析】 【分析】 （1）利用圆周角定理求得90BAD，再根据AECD，求得ABGDBC，即可得到答案； （2）由90BECBDC，得到BECAGB，从而推出CEFBGD，证得CFEBDG ASAVV，由此得到结论； （3）

12、连结DE 利用已知求出332ABAD， 证得DACE， 得到2BGAD， 利用Rt ABGV中，根据正弦求出160 ,12AGBAGBG，求出 EF 的长，再利用RtDEG中，60EGD，求出 EG 及 DE，再利用勾股定理求出 DF即可得到答案； 过点 C 作CHBF于 H，证明BADCHF AASVV，得到FHAD，证明BHCCHFVV，得到BHCHCHFH，设GHx，得到22 2CHx，利用勾股定理得到222CGGHCH ，求得2222(2)(1)3CGxxx，利用函数的最值解答即可 【详解】解： （1）BD为Oe的直径， 90BAD， AECD， ABGDBC， 90AGB （2）BD

13、为Oe的直径， 90BCD， 90BECBDC， BECAGB， 180,180CEFBECBGDAGB， CEFBGD 又,CEBGECFGBD， CFEBDG ASAVV， EFDG （3）如图，连结DE BD为Oe的直径， 90ABED 在RtABD中，3tan2ADB，2AD ， 332ABAD AECD， AEDECDDE， 即DACE， ADCE CEBG， 2BGAD 在Rt ABGV中，3sin2ABAGBBG， 160 ,12AGBAGBG， 1EFDGADAG 在RtDEG中，60EGD， 1133,2222EGDGDEDG 在Rt FEDV中，2272DFEFDE， 57

14、2FGDGDF， FGDV的周长为572 如图，过点 C作CHBF于 H BDGCFEVV， ,BDCFCFHBDA 90BADCHF， BADCHF AASVV FHAD， ADBG， FHBG 90BCF， 90BCHHCF 90BCHHBC， HCFHBC， 90BHCCHF， BHCCHFVV， BHCHCHFH 设GHx， 2BHx， 22 2CHx 在Rt GHCV中，222CGGHCH ， 2222(2)(1)3CGxxx， 当1x 时，2CG的最小值为 3， CG的最小值为3 【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角

15、形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键 3 （2021 年温州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点 O（2，0） ，B（0，8） ，连结 AB直线 CM 分别交M 于点 D，E（点 D 在左侧） ，交 x 轴于点 C（17，0） （1）求M 的半径和直线 CM 的函数表达式； （2）求点 D，E 的坐标； （3） 点 P 在线段 AC 上， 连结 PE 当AEP 与OBD 的一个内角相等时， 求所有满足条件的 OP 的长 【分析】 （1）点 M 是 AB 的中点，则点 M（1,4） ，则圆的半径 AM，再用待定系数法即可求解； （2）由 AM得

16、： （x1）2+（x+4）2（）2，即可求解； （3）当AEPDBO45时，则AEP 为等腰直角三角形，即可求解；AEPBDO 时，则EAPDBO，进而求解；AEPBOD 时，同理可解 【解答】解： （1）点 M 是 AB 的中点，则点 M（1， 则圆的半径为 AM， 设直线 CM 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 CM 的表达式为 yx+； （2）设点 D 的坐标为（x，x+） ， 由 AM得： （x3）2+（x+2（）8， 解得 x5 或3， 故点 D、E 的坐标分别为（5、 （5； （3）过点 D 作 DHOB 于点 H，则 DH3， 故DBO45， 由点 A、E 的坐标； 由

17、点 A、E、B、D 的坐标得8， 同理可得：BD3，OB8， 当AEPDBO45时， 则AEP 为等腰直角三角形，EPAC， 故点 P 的坐标为（5,5） ， 故 OP5； AEPBDO 时， EAPDBO， EAPDBO， ，即，解得 AP8， 故 PO10； AEPBOD 时， EAPDBO， EAPOBD， ，即，解得 AP， 则 PO5+， 综上，OP 为 5 或 10 或 4 （2021 年丽水中考真题）如图，在ABCV中，ACBC，以BC为直径的半圆 O 交AB于点 D，过点D 作半圆 O的切线，交AC于点 E （1）求证：2ACBADE ； （2）若3,3DEAE，求CD的长 【

18、答案】 （1）见解析； （2）4 33 【解析】 【分析】 （1）连结,OD CD，利用圆的切线性质，间接证明：ADEODC，再根据条件中：ACBC且ODOC，即能证明：2ACBADE ； （2）由（1）可以证明：AEDV为直角三角形，由勾股定求出AD的长，求出tan A，可得到A的度数，从而说明ABCV为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出120COD，半径2 3OC ,最后根据弧长公式即可求解 【详解】解： （1）证明：如图，连结,OD CD DEQ与Oe相切，90 ,90ODEODCEDC BCQ是圆的直径，90 ,90BDCADC 90 ,ADEE

19、DCADEODC ,22ACBCACBDCEOCD Q ,ODOCODCOCD Q 2ACBADE （2）由（1）可知，90 ,90ADEEDCADEDCEAED ， 3,3DEAEQ， 223( 3)2 3AD，tan3,60AA， ,ACBCABCQV是等边三角形 60 ,24 3BBCABAD, 2120 ,2 3CODBOC ， 1202 34 31803lCD 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质. 5 （2021 年台州中考真题）如图，BD 是半径为 3 的O 的一条

20、弦，BD42，点 A 是O 上的一个动点（不与点 B，D重合） ，以 A，B，D为顶点作平行四边形 ABCD （1）如图 2，若点 A是劣弧BD的中点 求证：平行四边形 ABCD是菱形； 求平行四边形 ABCD的面积 （2）若点 A运动到优弧BD上，且平行四边形 ABCD有一边与O相切 求 AB 的长； 直接写出平行四边形 ABCD 对角线所夹锐角的正切值 【答案】证明见解析；8 2； （2）AB 的长为823或4 2；825 【解析】 【分析】 （1）利用等弧所对的弦相等可得ADAB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；连接 AO，交 BD 于点 E，连接 OD，根据垂径定理可得2 2

21、DEBE，利用勾股定理求出 OE 的长，即可求解； （2）分情况讨论当 CD与Oe相切时、当 BC 与Oe相切时，利用垂径定理即可求解；根据等面积法求出 AH 的长度，利用勾股定理求出 DH的长度，根据正切的定义即可求解 【详解】解： （1）点 A 是劣弧BD的中点， ADAB， ADAB， 四边形 ABCD是平行四边形， 平行四边形 ABCD是菱形； 连接 AO，交 BD 于点 E，连接 OD， ， 点 A是劣弧BD的中点，OA为半径， OABD，OA 平分 BD， 2 2DEBE， 平行四边形 ABCD是菱形， E为两对角线的交点， 在RtODE中，221OEODDE, 2AE ， 128

22、 22ABCDSBD AE； （2）如图，当 CD与Oe相切时，连接 DO并延长，交 AB于点 F， CD与Oe相切， DFCD， 2ABBF， 四边形 ABCD是平行四边形， /AB CD， DFAB， 在RtBDF中，2222323BFBDDFOF， 在RtBOF中，22229BFBOOFOF， 223239OFOF，解得73OF ， 423BF ， 8223ABBF； 如图，当 BC 与Oe相切时，连接 BO 并延长，交 AD于点 G， 同理可得423AGDG，73OG ， 所以224 2ABBGAG, 综上所述，AB长为823或4 2； 过点 A 作AHBD， ， 由（2）得：87164 2,2,3,333BDADBG 根据等面积法可得1122BD AHAD BG， 解得329AH ， 在在Rt ADHV中，22829DHADAH， 8102 22299HI ， 8tan25AHAIHHI 【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键