1、2021 年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷 一、选择题（共有一、选择题（共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列四个实数中，是负数的是（ ） A（3） B （2）2 C|4| D 2一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（ ） A三棱锥 B四棱锥 C长方体 D圆锥 3如图，直线 mn，1130，则2 的度数是（ ） A130 B70 C65 D50 4校篮球队有 13 名队员，队员的年龄统计情况如下： 年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 1 2 3 6 1 则这 13 名队员年龄的众数和中位数分别是（
2、） A1 和 2 B1 和 3 C15 和 14 D15 和 15 5如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1 的度数是（ ） A22 B32 C34 D68 6ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，则四边形 DECB 与ABC 的面积之比是（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D3：4 7如图，在长为 32 米、宽为 12 米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为 300 平方米，则可列方程为（ ） A321232x12x300 B（32x）（12x）+x2300 C（32x）（12x）300 D2（32x+12x）300 8如图，有规律
3、的“心电”图形由图形 M 不断向右重复组成图形 M 分为两条曲线和两条线段：曲线 AB是二次函数 y2x2+8x+2 图象的一部分，该二次函数顶点是 B，与 y 轴交于点 A；曲线 BC 是反比例函数图象的一部分； 线段 CD 是直线 yx1 的一部分； 线段 DA1是直线 y2x+b 的一部分 若点 P （m，n），K（2021，k）是“心电”图形上的两点，则 nk 的最大值是（ ） A6 B7 C8 D10 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9若有意义，则字母 x 的取值范围是 10嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地
4、球的速度接近第二宇宙速度，即 112000 米/秒，该速度 112000 用科学记数法表示为 11计算一组数据的方差，列出方差公式 s2（x12）2+（x22）2+（x102）2，则这组数据的平均数是 12在一个不透明的袋子中有 6 个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，每次从袋子中摸出一个球记录颜色后再放回，经过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在 0.25，则袋子中白球的个数是 13已知多边形内角和与外角和的和是 2160，则这个多边形的边数是 14已知扇形的弧长为 4，半径为 8，则此扇形的圆心角为 度 15若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有实数根，则 k 的取值范
5、围是 16 如图， 在O 中， 点 C 是的中点， 连接 OC 交弦 AB 于点 D， 若 OD3， DC2， 则 AB 的长是 17如图，点 E 是正方形 ABCD 边 CD 的中点，连接 BE，把BCE 沿 BE 翻折得到BFE，连接 DF，若DF1，则正方形 ABCD 的边长是 18如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B（4，0），点 M 是第二象限内的一个动点，连接 AM、OM、BM，且MAOMOC，则 BM 的最大值是 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分）分） 19（1）计算：（）1|2|+cos45； （2）化简：（1） 20
6、解不等式组，并写出它的最大整数解 21为了了解某校九年级学生体质健康情况，随机抽取了该校九年级人数 10%的学生进行测试，结果分为四个等级：A 优秀、B 良好、C 及格、D 不及格，并将结果绘制成不完整的统计图： （1）此次测试抽样调查了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图 C 选项圆心角的度数是 ； （4）请估计全校九年级学生中优秀等级的人数 222021 世界园艺博览会在扬州枣林湾举行，本次世园会共有 63 个展园，其中包括 25 个境内城市展园、15 个境外城市展园、13 个江苏城市展园以及 10 个企业展园 小明制作了 63 张反面完全一样正面是各个展园资料的卡片，洗匀
7、后反面朝上摆放 （1）“从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是 ； （2）从“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”4 张卡片中，随机抽取 2 张，请用画树状图或用表格的方法估计“抽出 2 张卡片是北京园和上海园”的概率 23随着世园会的开幕，“绿色城市，健康生活”的理念深入人心，某单位为了绿化环境计划种树 1200 棵树，实际劳动中每天植树数量比计划多 20%，结果提前 2 天完成任务，计划每天种多少棵树？ 24如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 AE、CF （1）探索四边形 AECF 的形状，并说明理由； （2）连接 BF，若 BF 平分ABC
8、，BF8，CF6，连接 EF，求四边形 ABEF 的面积 25如图，点 C、D 是以 AB 为直径O 上的两点，连接 DA 并延长，过点 C 作 CEDA，垂足为点 E，且ECAB （1）试判断 CE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 sinB，AE1，求 AD 的长 26数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这无关变量有时也有它的意义 （1）已知代数式 6x2+nxy+52（mx2+2x3y）1，其中 m、n 是常数，且代数式的值与字母 x 的取值无关，求 m、n 的值； （2） 在平面直角坐标系内， O 为
9、坐标原点， 直线 ykx2k+1 交 y 轴于点 A， 且不论 k 取任何非零实数，该直线始终经过一个定点 B，连接 OB 直接写出点 B 坐标 ； 若AOB 是以 OB 为腰的等腰三角形，求此时点 A 坐标 27【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角比如图 1 中，APC、BPD 是圆内角，所对的弧分别是、，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【问题解决】小明想到了将APC 转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角 解：连接 BC，OA，OC，OB，OD 如图 2，在PBC 中，APCPBC+PCB PBCAOC，PC
10、BBOD APCAOC+BOD（AOC+BOD） 即：APC 的度数（的度数+的度数） （1）如图 1，在O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若的度数是 60，的度数是 80，则APD 的度数是 【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？ （2）如图 3，点 P 是O 外一点，点 A、点 C 在圆上，连接 PA、PC，分别与O 相交于点 B、点 D，试探索APC 的度数与、度数之间的关系，并说明理由 【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题 （3）如图 4，平面直角坐标系内，点 A（，1）在O 上，点 B、点 C 是线段 OM 上的两个动点，且 ABAC，延
11、长 AB、AC 分别与O 相交于点 D、E，延长 DE 交 y 轴于点 F，试探究F 的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数 28如图，抛物线 yx2与直线 ykx+1 相交于两点 A（x1，y1）、B（x2，y2） （1）当 x22 时，求直线解析式； （2）在（1）的条件下，求 tanABO 的值； （3）在（1）的条件下，点 M（m，n）是抛物线第一象限内的动点，当 tanAMO时，直接写出此时 m 的取值范围 ； （4）求证：动点 P（y1，y2）在反比例函数图象上（提示：若 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c0 的两个根，则 x1+x2，x1x2） 参考答案参考答案 一、选
12、择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上）意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上） 1下列四个实数中，是负数的是（ ） A（3） B （2）2 C|4| D 【分析】根据相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念判断可得 解：A（3）3，是正数，不符合题意； B （2）24，是正数，不符合题意； C|4|4，是正数，不符合题意； D是负数，符合题意； 故选：D 2一个几何
13、体的展开图如图所示，则这个几何体是（ ） A三棱锥 B四棱锥 C长方体 D圆锥 【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点确定立体图形为三棱锥 解：观察图可得，这是个底面为三角形，侧面有三个三角形的展开图，则该几何体的顶点有 4 个，应该是三棱锥 故选：A 3如图，直线 mn，1130，则2 的度数是（ ） A130 B70 C65 D50 【分析】先两直线平行同位角相等即可求出3 的度数，然后根据邻补角的定义，即可求出2 的度数 解： mn， 13130， 2+3180， 2180318013050， 故选：D 4校篮球队有 13 名队员，队员的年龄统计情况如下： 年龄（岁） 1
14、2 13 14 15 16 人数 1 2 3 6 1 则这 13 名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A1 和 2 B1 和 3 C15 和 14 D15 和 15 【分析】根据中位数、众数的意义进行计算即可 解：这 13 名队员年龄出现次数最多的是 15 岁，共出现 6 次，因此众数是 15 岁 将这 13 名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的一个数是 15 岁，因此中位数是 15 岁， 故选：D 5如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1 的度数是（ ） A22 B32 C34 D68 【分析】由矩形的性质得到BCD90，求得ACD906822，根据线段垂直平分线的性质得到 AECE，根据
15、等腰三角形的性质即可得到结论 解：如图，四边形 ABCD 是矩形， BCD90， ACB68， ACD906822， 由作图得 EF 垂直平分 AC， AECE， 1ACE22， 故选：A 6ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，则四边形 DECB 与ABC 的面积之比是（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D3：4 【分析】由已知得ADEABC，且相似比为 1：2，可得，即知 解：如图： 点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ， 又AA， ADEABC， （）2， ， 故选：D 7如图，在长为 32 米、宽为 12 米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分
16、铺设草坪，要使得草坪的面积为 300 平方米，则可列方程为（ ） A321232x12x300 B（32x）（12x）+x2300 C（32x）（12x）300 D2（32x+12x）300 【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32x）米、宽（12x）米的矩形面积，结合草坪的面积为 300 平方米，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 解：道路的宽为 x 米， 铺设草坪的面积等于长为（32x）米、宽（12x）米的矩形面积 草坪的面积为 300 平方米， （32x）（12x）300 故选：C 8如图，有规律的“心电”图形由图形 M 不断向右重
17、复组成图形 M 分为两条曲线和两条线段：曲线 AB是二次函数 y2x2+8x+2 图象的一部分，该二次函数顶点是 B，与 y 轴交于点 A；曲线 BC 是反比例函数图象的一部分； 线段 CD 是直线 yx1 的一部分； 线段 DA1是直线 y2x+b 的一部分 若点 P （m，n），K（2021，k）是“心电”图形上的两点，则 nk 的最大值是（ ） A6 B7 C8 D10 【分析】先根据有规律的“心电”图形由图形 M 不断向右重复组成，且每 6 个单位为一组循环，确认 k4，再将二次函数配方得点 B 的坐标可知 n 的最大值是 10，可解答 解：当 x0 时，y2， A（0，2）， 由图可
18、知：A1（6，2）， 把 A1（6，2）代入 y2x+b 中得：26+b2， b14， y2x+14， 当 x12x+14 时，x5， 当 x5 时，y514， D1（5，4）， 有规律的“心电”图形由图形 M 不断向右重复组成，且每 6 个单位为一组循环， 202163365， k4， y2x2+8x+22（x2）2+10， B（2，10）， 点 P（m，n）是“心电”图形上的一点， n 的最大值是 10， nk 的最大值是 1046 故选：A 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9若有意义，则字母 x 的取值范围是
19、 x5 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 解：由题意得，x+50， 解得 x5 故答案为：x5 10嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即 112000 米/秒，该速度 112000 用科学记数法表示为 1.12105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 解：1120001.12105， 故答案为：1.12105 11计算一组数据的方差，列出方差公式
20、s2（x12）2+（x22）2+（x102）2，则这组数据的平均数是 2 【分析】根据方差的个数求出平均数即可 解：方差公式 s2（x12）2+（x22）2+（x102）2， 这组数据的平均数是 2， 故答案为：2 12在一个不透明的袋子中有 6 个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，每次从袋子中摸出一个球记录颜色后再放回，经过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在 0.25，则袋子中白球的个数是 2 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 解：设袋中白球的个数为 x， 根据题意，得：0.25， 解得 x2， 经检验 x2 是分式方程的
21、解， 所以袋中白球的个数是 2， 故答案为：2 13已知多边形内角和与外角和的和是 2160，则这个多边形的边数是 12 【分析】根据多边形的内角和公式（n2）180与外角和定理列式求解即可 解：设这个多边形的边数是 n， （n2）180+3602160， 解得 n12 故答案为：12 14已知扇形的弧长为 4，半径为 8，则此扇形的圆心角为 90 度 【分析】利用扇形的弧长公式计算即可 解：设扇形的圆心角为 n， 则， 解得，n90， 故答案为：90 15若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 k5 且 k1 【分析】根据一元二次方程有实数根可得
22、k10，且 b24ac164（k1）0，解之即可 解：一元二次方程（k1）x2+4x+10 有实数根， k10，且 b24ac164（k1）0， 解得：k5 且 k1， 故答案为：k5 且 k1 16 如图， 在O 中， 点 C 是的中点， 连接 OC 交弦 AB 于点 D， 若 OD3， DC2， 则 AB 的长是 8 【分析】连接 OA，如图，由于点 C 是弧 AB 的中点，根据垂径定理的推理得到 OCAB，ADBD，然后利用勾股定理计算出 AD，从而得到 AB 的长 解：连接 OA，如图： OD3，DC2， OAOCOD+DC3+25， 点 C 是的中点， OCAB， ADBD， 在 R
23、tAOD 中，AD4， AB2AD248 故答案为：8 17如图，点 E 是正方形 ABCD 边 CD 的中点，连接 BE，把BCE 沿 BE 翻折得到BFE，连接 DF，若DF1，则正方形 ABCD 的边长是 【分析】 由正方形的性质可得 DECECDBC， 由折叠的性质可得EFCEDE， BEFBEC，由外角的性质可得BECEDF，由锐角三角函数可求解 解：如图，连接 FC， 点 E 是正方形 ABCD 边 CD 的中点， DECECDBC， 把BCE 沿 BE 翻折得到BFE， EFCEDE，BEFBEC， DFC90， EFED， EFDEDF， FECEFD+EDFFEB+BEC，
24、BECEDF， tanEDFtanBEC， ， ， FC2， DC， 故答案为： 18如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B（4，0），点 M 是第二象限内的一个动点，连接 AM、OM、BM，且MAOMOC，则 BM 的最大值是 8 【分析】先证明AMO90，从而得点 M 在以 AO 为直径的半圆上，进而得当 BM 过 OA 的中点时，BM 的值最大，即可求解 解：MAOMOC， MOA+MAOMOC+MOA90， AMO90， 点 M 在以 AO 为直径的半圆上， 点 A（0，6）， OA 的中点坐标为（0，3）， 当 BM 过 OA 中点时，BM 最大，最大值8 故答案为：8
25、三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分）分） 19（1）计算：（）1|2|+cos45； （2）化简：（1） 【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 解：（1）原式42+ 42+1 3； （2）原式 20解不等式组，并写出它的最大整数解 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可 解：， 由得：x2， 由得：x3， 不等式组的解集是3x2， 它的最大整数解是 2 21为了了解某校九年级学生体
26、质健康情况，随机抽取了该校九年级人数 10%的学生进行测试，结果分为四个等级：A 优秀、B 良好、C 及格、D 不及格，并将结果绘制成不完整的统计图： （1）此次测试抽样调查了 60 名学生； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图 C 选项圆心角的度数是 72 ； （4）请估计全校九年级学生中优秀等级的人数 【分析】（1）根据 A 级的人数除以 A 级所占的百分比，可得答案； （2）根据圆周角乘以 A 及所占的比例，可得扇形的圆心角；根据抽测人数乘以 C 及所占的比例，可得答案； （3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以 D 级所占的比例，可得答案 解：（1）本次抽样测试的学生人数是
27、 3050%60（名）； 故答案为：60； （2）B 级的人数为 603012315 人， （3）36020%72， 故答案为：72； （4）3010%300（人）， 答：全校九年级学生中优秀等级的人数是 300 人 222021 世界园艺博览会在扬州枣林湾举行，本次世园会共有 63 个展园，其中包括 25 个境内城市展园、15 个境外城市展园、13 个江苏城市展园以及 10 个企业展园 小明制作了 63 张反面完全一样正面是各个展园资料的卡片，洗匀后反面朝上摆放 （1）“从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是 ； （2）从“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”4 张卡片中，随机抽取 2
28、张，请用画树状图或用表格的方法估计“抽出 2 张卡片是北京园和上海园”的概率 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）分别用 A，B，C，D 表示 4 张卡片，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可 解：（1）“从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是， 故答案为：； （2）用 A、B、C、D 分别表示“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”，画树状图如下， 因为共有 12 种等可能的情况数，其中“抽出 2 张卡片是北京园和上海园”的有 2 种结果， 所以“抽出 2 张卡片是北京园和上海园”的概率为 23随着世园会的开幕，“绿色城市，健康生活”的理念深入人心，某
29、单位为了绿化环境计划种树 1200 棵树，实际劳动中每天植树数量比计划多 20%，结果提前 2 天完成任务，计划每天种多少棵树？ 【分析】设计划每天种 x 棵树，则实际每天种（1+20%）x 棵树，由题意：某单位为了绿化环境计划种树1200 棵树，实际劳动中每天植树数量比计划多 20%，结果提前 2 天完成任务，列出分式方程，解方程即可 解：设计划每天种 x 棵树，则实际每天种（1+20%）x 棵树， 由题意得：2， 解得：x100， 经检验，x100 是原方程的解， 答：计划每天种 100 棵树 24如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 AE、CF
30、（1）探索四边形 AECF 的形状，并说明理由； （2）连接 BF，若 BF 平分ABC，BF8，CF6，连接 EF，求四边形 ABEF 的面积 【分析】（1）证出 AFEC，由平行四边形的判定可得出结论； （2）证明四边形 ABEF 为菱形，由菱形的面积公式可得出答案 解：（1）四边形 AECF 为平行四边形， 理由如下： 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC， 点 E、F 分别是 BC、AD 的中点， AFDFBEEC， 又AFCE， 四边形 AECF 为平行四边形； （2）AFBE，AFBE， 四边形 ABEF 为平行四边形， 又BF 平分ABC， ABFEBF， AFB
31、E， AFBEBF， ABFAFB， ABAF， 四边形 ABEF 为菱形， 四边形 AECF 为平行四边形， AECF6， 四边形 ABEF 的面积24 25如图，点 C、D 是以 AB 为直径O 上的两点，连接 DA 并延长，过点 C 作 CEDA，垂足为点 E，且ECAB （1）试判断 CE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 sinB，AE1，求 AD 的长 【分析】 （1）连接 CO，根据等腰三角形的性质得到BCOB，根据圆周角定理得到ACB90，求得ECO90，于是得到结论； （2） 连接 BD， 根据三角函数的定义得到B30， 求得BAD60， 根据圆周角定理得到D90，求
32、得ABD30，根据直角三角形的性质即可得到结论 解：（1）CE 与O 相切， 理由：连接 CO， OCOB， BCOB， ECAB， BCOECA， AB 是O 的直径， ACB90， ACO+BCO90， ACO+ECA90， ECO90， CE 与O 相切； （2）连接 BD， sinB， B30， ECAB30， EACB90， EACCAB60， BAD60， AB 是O 的直径， D90， ABD30， AE1， AC2AE2， AB2AC4， ADAB2 26数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这无关变量
33、有时也有它的意义 （1）已知代数式 6x2+nxy+52（mx2+2x3y）1，其中 m、n 是常数，且代数式的值与字母 x 的取值无关，求 m、n 的值； （2） 在平面直角坐标系内， O 为坐标原点， 直线 ykx2k+1 交 y 轴于点 A， 且不论 k 取任何非零实数，该直线始终经过一个定点 B，连接 OB 直接写出点 B 坐标 （2，1） ； 若AOB 是以 OB 为腰的等腰三角形，求此时点 A 坐标 【分析】（1）将 6x2+nxy+52（mx2+2x3y）1 化简得（62m）x2+（n4）x+5y+4，根据 m、n是常数，且代数式的值与字母 x 的取值无关，可得 62m0，n40
34、，据此求解即可； （2）根据经过定点与 k 值无关可得 k 的系数等于 0，可得点的坐标； 以 OB 为半径，点 O 为圆心，作O 交 y 轴于 A1、A2两点，以 OB 为半径，点 B 为圆心，作O 交于y 轴于点 A3， 则A1OB， A2OB， A3OB 是以 OB 为腰的等腰三角形， 据此分别求出点 A 的坐标即可 解：（1）6x2+nxy+52（mx2+2x3y）1 6x2+nxy+5+2mx24x+6y1 （62m）x2+（n4）x+5y+4， m、n 是常数，且代数式的值与字母 x 的取值无关， 62m0，n40， m3，n4， （2）ykx2k+1（x2）k+1，且不论 k 取
35、任何非零实数，该直线始终经过一个定点 B， 点 B（2，1）， 故答案为：（2，1）； 如图，以 OB 为半径，点 O 为圆心，作O 交 y 轴于 A1、A2两点， B（2，1）， OB， OA1OA2OB， A1OB，A2OB 是以 OB 为腰的等腰三角形， A1（0，），A2（0，）， 点 B 为圆心，作O 交于 y 轴于点 A3， A3OB 是以 OB 为腰的等腰三角形，且A3OB 关于直线 x1 对称， A13（0，2）， 综上所述，若AOB 是以 OB 为腰的等腰三角形，此时点 A 的坐标是1（0，）或（0，）或（0，2）， 27【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后
36、，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角比如图 1 中，APC、BPD 是圆内角，所对的弧分别是、，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【问题解决】小明想到了将APC 转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角 解：连接 BC，OA，OC，OB，OD 如图 2，在PBC 中，APCPBC+PCB PBCAOC，PCBBOD APCAOC+BOD（AOC+BOD） 即：APC 的度数（的度数+的度数） （1）如图 1，在O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若的度数是 60，的度数是 80，则APD 的度数是 110 【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角
37、的大小呢？ （2）如图 3，点 P 是O 外一点，点 A、点 C 在圆上，连接 PA、PC，分别与O 相交于点 B、点 D，试探索APC 的度数与、度数之间的关系，并说明理由 【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题 （3）如图 4，平面直角坐标系内，点 A（，1）在O 上，点 B、点 C 是线段 OM 上的两个动点，且 ABAC，延长 AB、AC 分别与O 相交于点 D、E，延长 DE 交 y 轴于点 F，试探究F 的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数 【分析】（1）根据题意得出APC（的度数+的度数）70，再根据邻补角的定义及得解； （2）连接 BC，OA，OC，OB，OD，根据三
38、角形的外角性质得到APCABCPCB，再根据圆周角定理即圆心角、弧的关系即可得解； （3）连接 OA，根据题意得出ABCACB，利用（1）（2）的结论可推出F 的度数（的度数的度数）（AON 的度数AOM 的度数），由 A（，1），可推出AOP30，AON120，AOM60，即可得解 解：（1）的度数是 60，的度数是 80， APC（的度数+的度数）（60+80）70， APD180APC110， 故答案为：110； （2）APC 的度数（的度数的度数），理由如下： 如图 3，连接 BC，OA，OC，OB，OD， APCABCPCB，ABCAOC，PCBBOD， APCAOCBOD（AOCB
39、OD）， 即APC 的度数（的度数的度数）； （3）F 的度数不变，F30，理由如下： 如图 4，连接 OA， ABAC， ABCACB， （的度数+的度数）（的度数+的度数）， 的度数+的度数的度数+的度数， 的度数的度数的度数的度数， F 的度数（的度数的度数）， F 的度数（的度数的度数）（AON 的度数AOM 的度数）， A（，1）， tanAOP， AOP30， AON90+30120，AOM903060， F（12060）30 28如图，抛物线 yx2与直线 ykx+1 相交于两点 A（x1，y1）、B（x2，y2） （1）当 x22 时，求直线解析式； （2）在（1）的条件下，求
40、 tanABO 的值； （3）在（1）的条件下，点 M（m，n）是抛物线第一象限内的动点，当 tanAMO时，直接写出此时 m 的取值范围 m2 ； （4）求证：动点 P（y1，y2）在反比例函数图象上（提示：若 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c0 的两个根，则 x1+x2，x1x2） 【分析】（1）将 x22 代入抛物线解析式求得点 B 的坐标，再利用待定系数法即可求得 k 值； （2）利用勾股定理的逆定理判定ABO 为直角三角形，根据正切的意义即可得出结论； （3）利用（2）中的结论可知点 M 在点 B 的右上方的抛物线上，由此可得 m 的取值范围； （4）将抛物线 yx2与直线
41、 ykx+1 联立得到方程 x2kx10，利用提示的信息得到 x1+x2k，x1x21，通过计算 y1y2即可得出结论 解：（1）当 x22 时，y224， B（2，4） 抛物线 yx2与直线 ykx+1 相交于两点 A、B， 2k+14 解得：k 直线解析式为：yx+1 （2）过点 A 作 ACx 轴于点 C，过点 B 作 BDx 轴于点 D，过点 A 作 AEBD 于点 E，如图， 则四边形 ACDE 为矩形， ACDE，AECD 抛物线 yx2与直线 ykx+1 相交于两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）， 解得：， A（，），B（2，4） AC，OC，OD2，BD4 BDAC，AE
42、CDOD+OC，BEBDDE ， AO2AC2+OC2， OB2OD2+BD222+4220， AB2AO2+BO2 ABO 为直角三角形，AOB90 tanABO （3）tanABO，tanAMO， 又在 090之间，正切值随着角度的增大而增大， AMOABO 点 M 在点 B 的右上方的抛物线上 点 M（m，n）是抛物线第一象限内的动点， m2 故答案为：m2 （4）证明：抛物线 yx2与直线 ykx+1 相交于两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）， x2kx+1 即：x2kx10 x1，x2是该方程的两根 x1+x2k，x1x21 A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线 yx2上， ， 1， 动点 P（y1，y2）在反比例函数图象上
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