1、2021 年河南省洛阳市中考数学二模试卷年河南省洛阳市中考数学二模试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列各数中，绝对值为的数是（ ） A B C1 D1 22021 年 2 月 19 日 9：00 时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球 2.05 亿千米，其中 2.05 亿千米用科学记数法表示为（ ） A2.05108米 B2.051011米 C20.51010米 D20.51011米 3如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若12，3125，则4 的度数是（ ） A65 B60 C55 D75 4下面运算结果为 a6（a0）的是（ ） A
2、a3+a3 Ba8a2 Ca2a3 D（a2）3 5小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）： 他准备在“看课外书，体育活动，看电视，踢足球，看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ） A B C D 6如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ） A只有 B只有 C只有 D都正确 7对于一元二次方程 x25x+c0 来说，当 c时，方程有两个相等的实数根，若将 c 的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D只有一个实
3、数根 8公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作代数学中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为 x 正方形 ABCD，再分别以 BC，CD 为边作另一边长为 5 的长方形，最后得到四边形 AIFH 是面积为 64 的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程（ ）的解 Ax2+10 x25 Bx2+10 x64 Cx2+10 x39 Dx2+10 x99 9二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： x 1 2 0 1 2 yax2+bx+c t m 2 2 n 且当 x时，与其对应的函数值 y0
4、有以下结论： abc0；2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+ct 的两个根；a；m+n，其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 10如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A（5，0），C（5，10），点 F 是 BC 的中点，CD 与 y 轴交于点 E，AF 与 BE 交于点 G，将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2021 次旋转结束时，点G 的坐标为（ ） A（4，3） B（3，4） C（4，3） D（3，4） 二、填空题：（每题二、填空题：（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11写一个介于与+1 之间的无理数是 12如图所示，点 C
5、 位于点 A、B 之间（不与 A、B 重合），点 C 表示 12x，则 x 的取值范围是 13如图，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为 4 的概率是 14如图，扇形 OAB 的半径 OA2 厘米，圆心角AOB45，点 C 是的中点，点 D、E 分别是半径OA、OB 上的点，且 ODOE，CDCE，CDCE，则图中阴影的面积为 平方厘米 15如图，点 M、N 分别是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的中点，且 AB4 厘米，AD8 厘米，点 P 是线段BN 上的一个动点， 且不与端点 B、 N 重合， 把四边形 ABPM
6、沿直线 MP 折叠， 点 A、 B 落在 A、 B处，当ANC 是等腰三角形时，线段 BP 的长为 厘米 三、解答题：（共三、解答题：（共 8 大题，满分大题，满分 75 分）分） 16先化简，再求值：（x+y），其中 y4，x 的值从 64 的平方根或立方根中选取一个合适的数 17今年 3 月中旬，我校对九年级全体学生进行了中招体考模拟测试，并从甲、乙两班中各随机抽取 20 名学生成绩进行整理分析，下面给出了部分信息： 甲班 20 名学生体育成绩：33，35，36，39，40，41，42，43，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，50，50 乙班 20 名学生体育成绩
7、中得分大于等于 40 且小于 45 的数据是：40，43，41，44，42，41 （一）整理数据：按如下分段整理样本数据并绘制表格： 体育测试成绩 x（分） 30 x35 35x40 40 x45 45x50 等级 D C B A 甲班人数 1 3 a c 乙班人数 2 b 6 d （二）分析数据：甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 43.8 45.5 n 24.85 乙班 42.5 m 45 22.34 （三）描述数据：甲、乙班被抽取学生体育成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）a ，b ，m ； （2）求甲班学生体育测试成绩的众数 n 的
8、值，并说出这个数据的实际意义 （3）学校九年级学生共 1200 人，估计全年级体育成绩优秀（x45）的学生人数是多少？ 18 张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头 （如图） ， 完全开启后， 把手 AM 与水平线的夹角为 37，此时把手端点 A、出水口点 B 和落水点 C 在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图，其相关数据为AM10cm，MD6cm，DE22cm，EH38cm，求 EC 的长（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin37，cos37，tan37，1.73） 19第 39 届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息： 每个大盘的批发价比每个小盘
9、多 120 元； 一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘； 每套组合瓷盘的批发价为 320 元. 根据以上信息： （1）求每个大盘与每个小盘的批发价； （2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的 5 倍还多 18 个，并且大盘和小盘的总数不超过 320 个，该商户计划将一半的大盘成套销售，每套 500 元，其余按每个大盘 300 元，每个小盘 80 元零售设该商户购进大盘 x 个 试用含 x 的关系式表示出该商户计划获取的销售额； 请帮助他设计一种获取销售额最大的方案并求出最大销售额 20如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的半圆 O 交边 AB 于点 D，AC 切半圆 O 于点 C，点
10、G是上不与点 C、D 重合的任意一点，连接 BG，CD 交于点 E，连接 CG 并延长，交 AB 于点 H （1）求证：； （2）若 AC4，且点 G 是的中点，则 DE 的长为 ； 当四边形 CODG 是菱形时，则GBD 21抛物线 yax2+bx+3 顶点为点 D（1，4），与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上的一个动点 （1）求 a 和 b 的值； （2）是否存在点 P，使得以 P、D、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于 45？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由 22小凡同学在学习圆的知识中遇到以下问题： 如图，点 P 是O 的弦 AB
11、上的一点，且 AP4cm，BP2cm，直径 MN 经过点 P，点 C是上一动点，圆的另一条弦 CD 经过点 P，连接 BD，当BPD 是等腰三角形时，求线段PC 的长度 小凡发现本题很难用推理计算的方法解决，于是尝试利用构造函数的思路进行探究，请将下面的探究过程补充完整： （1）线段 BP2cm，而线段 BD、PD 的长度和点 C 的位置有关现根据点 C 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 PC、PD、BD 的长度，得到下表的几组对应值 位置编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PC/cm 2.00 2.33 2.50 2.75 3.00 3.33 3.50 3.75 4
12、.00 4.39 4.52 PD/cm 4.00 3.44 3.20 2.91 a 2.40 2.29 2.13 b 2.10 1.79 BD/cm 6.00 5.40 5.12 4.48 4.25 3.78 3.52 3.18 2.82 2.25 1.62 操作中发现： 考虑测量有一定误差，发现线段 PC、PD 的长度满足一定规律，根据这种规律，可知上表中 a、b 的值是：a ，b 写出中线段 PC、PD 长度所满足规律的具体内容，并简要说明理由 （2）将线段 PC 的长度作为自变量 x，BP 和 BD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yBP和 yBD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了
13、函数 yBP的图象，如图所示请在同一个坐标系画出函数 yBD的图象； （3）根据解决问题的需要，继续在同一坐标系中画出所需要的图象，请结合图象直接写出：当BPD为等腰三角形时，线段 PC 长度的近似值（结果保留一位小数） 23（1）问题提出：如图，在矩形 ABCD 中，ABAD，点 E 为边 BC 上一点，连接 AE，过点 E 作对角线 AC 的垂线， 垂足为 F， 点 M 为 AE 的中点， 连接 MB、 MF、 BF 可知MBF 的形状为 （2）深入探究：如图，将CEF 在平面内绕点 C 顺时针旋转，请判断MBF 的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长 EF 到 E，使 EFEF，延长
14、AB 到 A，使 ABAB，连接 CE，AE，AE，构造全等三角形进行证明） （3）拓展延伸：如果 AD3，CE2，在CEF 旋转过程中，当点 A，E，F 在同一条直线上时，请直接写出 MF 的长 参考答案参考答案 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列各数中，绝对值为的数是（ ） A B C1 D1 【分析】根据绝对值的定义解决此题 解：A根据绝对值的定义，那么 A 不符合题意 B根据绝对值的定义，那么 B 不符合题意 C根据绝对值的定义，那么 C 不符合题意 D根据绝对值的定义，那么 D 符合题意 故选：D 22021 年 2 月 19 日 9：00
15、 时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球 2.05 亿千米，其中 2.05 亿千米用科学记数法表示为（ ） A2.05108米 B2.051011米 C20.51010米 D20.51011米 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 解：2.05 亿千米205000000 千米205000000000 米2.051011米 故选：B 3如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若12，31
16、25，则4 的度数是（ ） A65 B60 C55 D75 【分析】首先证明 ab，推出45，求出5 即可 解：12， ab， 45， 5180355， 455， 故选：C 4下面运算结果为 a6（a0）的是（ ） Aa3+a3 Ba8a2 Ca2a3 D（a2）3 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可 解：A、a3+a32a3，故 A 不符合题意； B、a8a2a6，故 B 符合题意； C、a2a3a5，故 C 不符合题意； D、（a2）3a6，故 D 不符合题意； 故选：B 5小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查
17、问卷（不完整）： 他准备在“看课外书，体育活动，看电视，踢足球，看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ） A B C D 【分析】利用调查问卷内容要全面且不能重复，进而得出答案 解：看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球， 的选项重复， 故选取合理的是 故选：A 6如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ） A只有 B只有 C只有 D都正确 【分析】直接利用正方体的平面展开图的特点得出答案 解：选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是： 故选：A
18、7对于一元二次方程 x25x+c0 来说，当 c时，方程有两个相等的实数根，若将 c 的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D只有一个实数根 【分析】根据根的判别式即可求出答案 解：由题意可知：254c， 当 c时， 254c0， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：C 8公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作代数学中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为 x 正方形 ABCD，再分别以 BC，CD 为边作另一边长为 5 的长方形，最后得到四边形 AIFH 是面积为 64 的正方形，如图所示，花拉子
19、米寻找的是下列哪个一元二次方程（ ）的解 Ax2+10 x25 Bx2+10 x64 Cx2+10 x39 Dx2+10 x99 【分析】根据正方形的面积得出方程，再整理即可 解：四边形 AIFH 是面积为 64 的正方形， （x+5）264， 整理得：x2+10 x39， 故选：C 9二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： x 1 2 0 1 2 yax2+bx+c t m 2 2 n 且当 x时，与其对应的函数值 y0有以下结论： abc0；2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+ct 的两个根；a；m+n，其中，正确
20、结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】当 x0 时，c2，当 x1 时，a+b0，即可判断；x是对称轴，x2 时 ym，则 x3 时，ym，故2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+cm 的两个根，即可判断；由 ab，可知 yax2ax+2，由 x时，y0，即可判断；m+n8a+4，即可得到 m+n，即可判断 解：当 x0 时，c2， 当 x1 时，a+b+22， a+b0，ab， abc0， 正确； x是对称轴， x2 时 ym，则 x3 时，ym， 2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+cm 的两个根； 错误； ab， yax2ax+2， x时，y0， 则 a（
21、2+20， a2， a， 正确； 当 x2 时，ym， 则 a（2）2+2a+2m， m6a+2， 当 x2 时，yn， 则 a（2）2+（2）a+2n， n2a+2， m+n8a+4， a， 又a， ， m+n， 错误； 故选：C 10如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A（5，0），C（5，10），点 F 是 BC 的中点，CD 与 y 轴交于点 E，AF 与 BE 交于点 G，将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2021 次旋转结束时，点G 的坐标为（ ） A（4，3） B（3，4） C（4，3） D（3，4） 【分析】根据正方形的性质得到 ABBCCD10，
22、CABF90，根据全等三角形的性质得到BAFCBE，根据余角的性质得到BGF90，过 G 作 GHAB 于 H，根据相似三角形的性质得到 BH2，根据勾股定理得到 HG3，求得 G（3，4），找出规律即可得到结论 解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCD10，CABF90， 点 F 是 BC 的中点，CD 与 y 轴交于点 E， CEBF5， ABFBCE（SAS）， BAFCBE， BAF+BFA90， FBG+BFG90， BGF90， BEAF， AF5， BG2， 过 G 作 GHAB 于 H， BHGAGB90， HBGABG， ABGGBH， ， BG2BHAB， BH2，
23、HG4， G（3，4）， 将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针每次旋转 90， 第一次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（4，3）， 第二次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（3，4）， 第三次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（4，3）， 第四次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（3，4）， ， 20214505+1， 每 4 次一个循环，第 2021 次旋转结束时，相当于正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转 1 次， 第 2021 次旋转结束时，点 G 的坐标为（4，3） 故选：C 二、填空题：（每题二、填空题：（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11写一个介于与+1 之间的无理数
24、是 【分析】估算，+1，的大小即可得出答案 解：1.421.96，1.522.25， 1.41.5， 2.4+12.5， 224，2.425.76， 22.4， 介于与+1 之间的无理数可以是， 故答案为： 12如图所示，点 C 位于点 A、B 之间（不与 A、B 重合），点 C 表示 12x，则 x 的取值范围是 x0 【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出 x 的范围 解：根据题意得：112x2， 解得：x0， 则 x 的范围是x0， 故答案为：x0 13如图，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为 4 的概率是
25、 【分析】列举出所有情况，看指针所指区域内的数字之和为 4 的情况数占总情况数的多少即可 解：如图，把第一个中“2”平均分成两部分， 用树状图表示如下： 共有 6 种情况，和为 4 的情况数有 2 种，所以概率为； 故答案为 14如图，扇形 OAB 的半径 OA2 厘米，圆心角AOB45，点 C 是的中点，点 D、E 分别是半径OA、OB 上的点，且 ODOE，CDCE，CDCE，则图中阴影的面积为 （4+2） 平方厘米 【分析】如图，连接 OC，DE 交于点 T，在 OT 上取一点 J，使得 OJEJ解直角三角形求出 DE，根据S阴S扇形AOBS四边形EODC，求解即可 解：如图，连接 OC
26、，DE 交于点 T，在 OT 上取一点 J，使得 OJEJ ， BOCCOAAOB22.5， OEOD，CECF， OC 垂直平分线段 DE， ETDT， ECD90， CTETDT， 设 CTETTDxcm， EJJO， EOJOEJ22.5， EJTEOJ+OEJ45， ETTJDTCTx（cm），OJEJx（cm）， 2x+x2， x2， DE（42）cm， S阴S扇形AOBS四边形EODC2（42）（4+2）cm2 故答案为：（4+2） 15如图，点 M、N 分别是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的中点，且 AB4 厘米，AD8 厘米，点 P 是线段BN 上的一个动点， 且不与端点
27、 B、 N 重合， 把四边形 ABPM 沿直线 MP 折叠， 点 A、 B 落在 A、 B处，当ANC 是等腰三角形时，线段 BP 的长为 （44）或（4） 厘米 【分析】由题意可知，AMAMAD4 厘米，CNBCAD4 厘米，分三种情况：当 ACCN4 厘米时；当 ANCNMNAM4 厘米时；当 ANAC 时，分别求解即可 解：M、N 分别是矩形 ABCD 的对边 AD、BC 的中点，把四边形 ABPM 沿直线 MP 折叠，点 A、B 落在 A、B处， 由题意可知，AMAMAD4 厘米，CNBCAD4 厘米， 当 ACCN4 厘米时，AMAC， CDABMN4 厘米， 四边形 MNCD 内不
28、可能存在点 A使 AMAC4，故舍弃； 当 ANCNMNAM4 厘米时，则AMN 为等边三角形， AMA90+60150， AMPAMP75， 连接 BM，过 P 作 PQBM 于点 Q， AMB45 BMP754530， PQBM，PBM45， BQQP， 设 BQQPa 厘米，则 QMa 厘米， BQ+QMBMAB，即 a+a4， a22， BPa（44）厘米； 当 ANAC 时，连接 AD， ANAC， 点 A在 NC 的垂直平分銭上， MDCN， ADAMAMDM， ADM 为等边三角形， AMD60， AMN30，AMA18060120， 由折叠得，AMPAMA60， NMP30，
29、NPMN厘米， BPBNNP（4）厘米 綜上所述，BP 的长为（44）厘米或（4）厘米 故答案为：（44）或（4） 三、解答题：（共三、解答题：（共 8 大题，满分大题，满分 75 分）分） 16先化简，再求值：（x+y），其中 y4，x 的值从 64 的平方根或立方根中选取一个合适的数 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取使得原分式有意义的 x、y 的值代入化简后的式子即可 【解答】解（x+y） x（x+y） x2xy， 64 的平方根是8，64 的立方根是 4， x 的值可以是8 或 4， y4，x+y0，x2y0， x4，x8， x8，y4 时， 当 x8 时，原式
30、x2xy828（4）64+3232 17今年 3 月中旬，我校对九年级全体学生进行了中招体考模拟测试，并从甲、乙两班中各随机抽取 20 名学生成绩进行整理分析，下面给出了部分信息： 甲班 20 名学生体育成绩：33，35，36，39，40，41，42，43，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，50，50 乙班 20 名学生体育成绩中得分大于等于 40 且小于 45 的数据是：40，43，41，44，42，41 （一）整理数据：按如下分段整理样本数据并绘制表格： 体育测试成绩 x（分） 30 x35 35x40 40 x45 45x50 等级 D C B A 甲班人数 1
31、 3 a c 乙班人数 2 b 6 d （二）分析数据：甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 43.8 45.5 n 24.85 乙班 42.5 m 45 22.34 （三）描述数据：甲、乙班被抽取学生体育成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）a 7 ，b 6 ，m 41 ； （2）求甲班学生体育测试成绩的众数 n 的值，并说出这个数据的实际意义 （3）学校九年级学生共 1200 人，估计全年级体育成绩优秀（x45）的学生人数是多少？ 【分析】（1）根据表中数据可得 a、b、m 的值； （2）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此判断即可；
32、 （3）利用样本估计总体思想求解可得 【解答】（1）甲班成绩在 40 x45 有：40，41，42，43，44，45，45，共 7 个，故 a7； b20（50%20%）6； 共有 20 名学生，处在第 10、11 位的两个数的平均数为（41+41）241，故 m41； 故答案为：7；6；41； （2）因为 48 出现的次数最多，所以 n48，说明甲班较多人体育成绩达到 48 分； （3）根据题意得：甲班体育成绩优秀（x45）的学生人数有 9 人，B 班体育成绩优秀（x45）的学生人数有 20（50%10%）8（人）， 1200570（人）， 答：全年级体育成绩优秀（x45）的学生人数约 57
33、0 人 18 张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头 （如图） ， 完全开启后， 把手 AM 与水平线的夹角为 37，此时把手端点 A、出水口点 B 和落水点 C 在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图，其相关数据为AM10cm，MD6cm，DE22cm，EH38cm，求 EC 的长（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin37，cos37，tan37，1.73） 【分析】过点 A 作 AGEH 于 G，过点 M 作 MNAG 于 N，根据正弦的定义求出 AN，根据余弦的定义求出 MN，再根据正切的定义求出 CG，计算即可 解：过点 A 作 AGEH 于 G，过点 M 作 MNAG 于 N，如
34、图所示， 则四边形 MEGN 为矩形， EGMN，NGMEMD+DE6+2228（cm）， 在 RtAMN 中，sinAMN，cosAMN， ANAMsin37106（cm），MNAMcos37108（cm）， EG8cm，AGAN+NG6+2834（cm）， ACG60， CG19.60（cm）， ECEG+CG8+19.6027.6（cm）， 答：EC 的长约为 27.6cm 19第 39 届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息： 每个大盘的批发价比每个小盘多 120 元； 一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘； 每套组合瓷盘的批发价为 320 元. 根
35、据以上信息： （1）求每个大盘与每个小盘的批发价； （2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的 5 倍还多 18 个，并且大盘和小盘的总数不超过 320 个，该商户计划将一半的大盘成套销售，每套 500 元，其余按每个大盘 300 元，每个小盘 80 元零售设该商户购进大盘 x 个 试用含 x 的关系式表示出该商户计划获取的销售额； 请帮助他设计一种获取销售额最大的方案并求出最大销售额 【分析】（1）设每个大盘的批发价是 a 元，则每个小盘的批发价是（a+120）元，然后根据一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘，每套组合瓷盘的批发价为 320 元，可以列出方程（a+120）+4a320，从而可以求
36、得每个大盘与每个小盘的批发价； （2）设该商户购进大盘 x 个，则该商户购进小盘的数量是（5x+18）个，销售额为 w 元，销售额单价乘数量，可以得到 w 与 x 的函数关系式； 根据大盘和小盘的总数不超过 320 个，可以得到关于 x 的不等式，从而可以求得 x 的取值范围，注意m 为整数，然后根据一次函数的性质，即可解答本题 解：（1）设每个大盘的批发价是 a 元，则每个小盘的批发价是（a+120）元， （a+120）+4a320， 解得，a40， a+120160， 答：每个大盘的批发价是 160 元，每个小盘的批发价是 40 元； （2）设该商户购进大盘 x 个，则该商户购进小盘的数量
37、是（5x+18）个，销售额为 w 元， w500+300+（5x+184）80403x+1440， 即该商户计划获取的销售额为（403x+1440）元； x+5x+18320， 解得，x50， x 为整数， x50 且 x 为整数， w403x+1440， 当 x50 时，w 取得最大值，此时 w20150，5x+18268， 答：当购买 50 个大盘，268 个小盘时可以获得最大销售额，最大销售额是 20150 元 20如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的半圆 O 交边 AB 于点 D，AC 切半圆 O 于点 C，点 G是上不与点 C、D 重合的任意一点，连接 BG，CD 交于点
38、 E，连接 CG 并延长，交 AB 于点 H （1）求证：； （2）若 AC4，且点 G 是的中点，则 DE 的长为 ； 当四边形 CODG 是菱形时，则GBD 30 【分析】（1）由 BC 为直径可知BDCCDH90，再圆周角定理可得DBGDCG，即可证明BDECDH，进而可得； （2）连接 OD，OG，由切线性质可得ACB90，由三角函数可得 BC 的长度，ABC 的度数，由G 是的中点及圆周角定理可求得DBG 和BCD 再根据三角函数即可求出 DE 的长； 由四边形 CODG 是菱形，可得 DGOD，由 ODOG，得出ODG 是等边三角形，进而可得DOG60，再由圆周角定理即可求得GBD
39、 的度数 【解答】（1）证明：BC 为直径， BDC90， CDH90， DBGDCG， BDECDH， ； （2）如图，连接 OD，OG， AC 切半圆 O 于点 C， ACB90， ACBC4， tanABC，BC， ABC60， COD2ABC120， G 是的中点， COGDOG60， BOD60，DBG30， BCD30， BDC90， BDBCcosABCcos60， DEBDtanDBGtan30， 故答案为：； 如图，连接 DG， 四边形 CODG 是菱形， DGOD， ODOG， DGODOG， ODG 是等边三角形， DOG60， GBDDOG30， 故答案为：30 21抛
40、物线 yax2+bx+3 顶点为点 D（1，4），与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上的一个动点 （1）求 a 和 b 的值； （2）是否存在点 P，使得以 P、D、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于 45？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由 【分析】（1）令 x0 可得 C 的坐标，根据顶点坐标（1，4）设抛物线的解析式为：ya（x1）2+4，把 C（0，3）代入可得结论； （2）分两种情况：P 在 x 轴上方时，如图 1，PDB+DBP45，根据等腰直角三角形的性质可得点 P 的坐标；当 P 在 x 轴的下方时，如图 2，BDP+BPD45
41、，证明BDFPDB，列比例式可得结论 解：（1）抛物线 yax2+bx+3， C（0，3）， 设抛物线的解析式为：ya（x1）2+4， 把 C（0，3）代入得：3a（01）2+4， 解得：a1， 抛物线的解析式为：y（x1）2+4x2+2x+3， b2； （2）存在， 当 y0 时，x2+2x+30， 解得：x13，x21， 分两种情况： P 在 x 轴上方时，如图 1，PDB+DBP45， EPBPDB+DBP45，BEP90， BEP 是等腰直角三角形， BEPE312， P（1，2）； 当 P 在 x 轴的下方时，如图 2，BDP+BPD45， 在 DE 上取一点 F，使 BEEF，连接
42、 BF， BDF+DBF45， DBFBPD， BDFPDB， ，即， PD10， EP1046， P（1，6）， 综上，点 P 的坐标为（1，2）或（1，6） 22小凡同学在学习圆的知识中遇到以下问题： 如图，点 P 是O 的弦 AB 上的一点，且 AP4cm，BP2cm，直径 MN 经过点 P，点 C是上一动点，圆的另一条弦 CD 经过点 P，连接 BD，当BPD 是等腰三角形时，求线段PC 的长度 小凡发现本题很难用推理计算的方法解决，于是尝试利用构造函数的思路进行探究，请将下面的探究过程补充完整： （1）线段 BP2cm，而线段 BD、PD 的长度和点 C 的位置有关现根据点 C 在上
43、的不同位置，画出相应的图形，测量线段 PC、PD、BD 的长度，得到下表的几组对应值 位置编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PC/cm 2.00 2.33 2.50 2.75 3.00 3.33 3.50 3.75 4.00 4.39 4.52 PD/cm 4.00 3.44 3.20 2.91 a 2.40 2.29 2.13 b 2.10 1.79 BD/cm 6.00 5.40 5.12 4.48 4.25 3.78 3.52 3.18 2.82 2.25 1.62 操作中发现： 考虑测量有一定误差，发现线段 PC、PD 的长度满足一定规律，根据这种规律，可知上表中
44、a、b 的值是：a 2.67 ，b 2 写出中线段 PC、PD 长度所满足规律的具体内容，并简要说明理由 （2）将线段 PC 的长度作为自变量 x，BP 和 BD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yBP和 yBD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yBP的图象，如图所示请在同一个坐标系画出函数 yBD的图象； （3）根据解决问题的需要，继续在同一坐标系中画出所需要的图象，请结合图象直接写出：当BPD为等腰三角形时，线段 PC 长度的近似值（结果保留一位小数） 【分析】（1）根据表格中的数据，推测 PCPD8，进而即可求解；连接 AC，先证明BDPCAP，从而可得，进而即可得到答案；
45、（2）利用描点法画出 yBD的图象即可； （3）在同一个坐标系中画出 yPD的图象，观察三个函数的交点的横坐标，即可得到答案 解：（1）当 PC2.00cm，PD4.00cm 时，则 PCPD8；当 PC2.33cm，PD3.44cm 时，则 PCPD8， 推测 PCPD8， 当 PC3.00cm 时，PD2.67cm，当 PC4cm 时，PD2cm， 即 a2.67，b2， 故答案为：2.67，2； PCPD8，理由如下： 连接 AC， ACPBDP，CAPBDP， BDPCAP， ， 即 CPDPAPBP248； （2）函数 yBD图象如下： （3）由 PCPD8，可得 yPD，在同一坐标
46、系中画出 yPD的图象， 若BPD 为等腰三角形，BPDP 时，PCx4， 若BPD 为等腰三角形，BPBD 时，PCx4.4， 若BPD 为等腰三角形，DPBD 时，PCx4.5 23（1）问题提出：如图，在矩形 ABCD 中，ABAD，点 E 为边 BC 上一点，连接 AE，过点 E 作对角线 AC 的垂线，垂足为 F，点 M 为 AE 的中点，连接 MB、MF、BF可知MBF 的形状为 等边三角形 （2）深入探究：如图，将CEF 在平面内绕点 C 顺时针旋转，请判断MBF 的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长 EF 到 E，使 EFEF，延长 AB 到 A，使 ABAB，连接 CE，
47、AE，AE，构造全等三角形进行证明） （3）拓展延伸：如果 AD3，CE2，在CEF 旋转过程中，当点 A，E，F 在同一条直线上时，请直接写出 MF 的长 【分析】（1）由锐角三角函数可求BAC30，由直角三角形的性质可得 MBAMME，MFAMME，可得 MFMB，MAFMFA，MABMBA，由外角的性质可得BMF60，可求解； （2）由“SAS”可证ACEACE，可得 AEAE，CAECAE，由三角形中位线定理可证 MFMB，EMFEAE，AMBAEA，可得结论； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理的可求解 解：（1）MBF 是等边三角形，理由如下， 四边形 ABCD 是
48、矩形， ADBC，ABCD， tanBAC， BAC30， 点 M 为 AE 的中点，EFAC，ABC90， MBAMME，MFAMME， MFMB，MAFMFA，MABMBA， BMFBME+FME2MAF+2MAB2BAC60， MBF 是等边三角形； （2）MBF 的形状没有变化，理由如下： 如图 2， 延长 EF 到 E， 使 EFEF， 延长 AB 到 A， 使 ABAB， 连接 CE， AE， AE， AC， 如图，BAC+AFE+ABE+BEF360， BEF150， CEFBAC30， 如图，EFEF，CFE90， ECCE， CEECEE30， ECE120， 同理可得 AC
49、AC，ACA120， ACAECE， ECAECA， ACEACE（SAS）， AEAE，CAECAE， 点 M 是 AE 的中点，EFEF，ABAB， AE2MF，AEMF，AE2MB，MBAE， MFMB，EMFEAE，AMBAEA， EAE+AEA180AAEEAA180（AAC+EAC+EAA）180（AAC+CAE+EAA）180（30+30）120， EMF+AMB120， FMB60， BMF 是等边三角形； （3）如图，当点 E 在线段 AF 上时， 如图中，ADBC3，CE2，BACCEF30，ABCCFE90， AC6，CF1，EF， 如图AF， AE， 点 M 是 AE 的中点， ME， MFME+EF； 当点 F 在线段 AE 上时， 同理可求 AF， AE+， 点 M 是 AE 的中点， ME， MFMEEF； 综上所述：MF或
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