1、20202021 学年江苏省南通市崇川区八年级下学年江苏省南通市崇川区八年级下期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B. 买一张电影票，座位号是 5的倍数 C. 一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题 D. 从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球 2. 点 M（4，
2、5）关于原点对称的点的坐标为（ ） A. （4，5） B. （4，5） C. （4，5） D. （5，4） 3. 校运动会跳绳比赛中，进入决赛圈的 8 名同学跳绳次数如下： 175 178 175 180 172 178 180 178；那么，这组数据的众数为（ ） A. 172 B. 175 C. 178 D. 180 4. 将方程 x26x+60变形为（x+m）2n 的形式，结果正确的是（ ） A. （x3）215 B. （x3）23 C. （x3）20 D. （x3）23 5. 顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 6
3、. 我国南宋数学家杨辉所著田亩比类乘除算法中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为 828 平方步，宽比长少 13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为 x步，根据题意，可列方程为（ ） A. x（x13）828 B. x（x+13）828 C. 12x（x13）828 D. 12x（x+13）828 7. 在一个不透明的盒子中装有 m个除颜色外完全相同的球，这 m 个球中只有 4 个红球若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1个球记下颜色后再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 25%左右，则 m 的值大约为（ ） A.
4、 10 B. 12 C. 16 D. 20 8. 已知关于 x的一次函数 y （k2+1） x5的图象经过点 A （2， a） ， B （3， b） ， 则 a， b的大小关系为 （ ） A. ab B. ab C. ab D. ab 9. 如图， 四边形 ABCD 是菱形， 对角线 AC， BD交于点 O， E是边 AD的中点， 过点 E作 EFBD， EGAC，点 F，G 为垂足，若 AC=10，BD=24，则 FG的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 10. 如图 1，在矩形 ABCD的边 AD 上取一点 E，连接 BE点 M，N 同时以 1cm/s 的速度从点
5、B 出发，分别沿折线 B-E-D-C 和线段 BC向点 C匀速运动连接 MN，DN，设点 M运动的时间为 t s，BMN 的面积为 S cm2，两点运动过程中，S与 t 的函数关系如图 2 所示，则当点 M 在线段 ED 上，且 ND 平分MNC时，t的值等于（ ） A. 2+25 B. 4+25 C. 1425 D. 1225 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位小题，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）置上） 11. 在函数12yx中，自变量 x 的取值范围是_ 12. 王红的平时测验成绩是 80 分
6、，期中考试成绩是 85 分，期末考试成绩是 90 分若按平时、期中、期末之比为 1：2：7 计算总评成绩，则他的总评成绩是_分 13. 为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科 3 位骨干医师中（含有甲）抽调 2人组成则甲一定会被抽调到防控小组的概率是_ 14. 在平面直角坐标系中，将点（3，3）绕原点顺时针旋转 135得到的点的坐标是 _ 15. 如图，一次函数 yx2与 y2x+m 的图象相交于点 P（n，4） ，则关于 x的不等式组 2x+mx20 的解集为 _ 16. 如图， 在ABCDY中，BE，CF分别是ABC和BCD的平分线，BE，CF分别与AD
7、相交于点E，F，5AB，8BC ，则EF _ 17. 若 x1，x2是一元二次方程 x25x20060的两个实数根，则代数式 x122x1+3x2的值等于 _ 18. 如图，在正方形 ABCD中，AB=4，AC与 BD相交于点 O，M是 AO的中点，P，Q 为对角线 BD 上的两点，若 PQ=2，则 PM+CQ 的最小值为 _ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）过程或演算步骤） 19 解方程： （1）x24x30； （2） （x3）2+2x（x3）0
8、20 如图，直线 l1：y1=-2x+6 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，直线 l2过点 C（-5，0） ，与直线 l1交于点 D（a，8） ，与 y轴交于点 E （1）求直线 l2的解析式； （2）求BDE 的面积 21. 如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O过点 A作 AE/BD，过点 D 作 DE/AC交 AE于点E （1）求证：四边形 AODE是矩形； （2）若 AB=6，ABC=60 ，求四边形 AODE 的面积 22. 如图，用一块长为 100cm，宽为 60cm的矩形纸片制作一个无盖的盒子，若在纸片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为 x
9、cm （1）底面长 AB cm，宽 BC cm（用含 x 的代数式表示） ； （2）当作成盒子的底面积为 3200cm2时，求该盒子的底面长和宽 23. 某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有 A，B，C 三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车 请你运用所学概率知识解决下列问题： （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）这两人中，谁乘坐到 A 车的可能性大？请说明理由 24. 八一中学为普及抗疫防疫知识，在七、八年级举行了次防疫知识竞赛，为了解这两个年级学生的竞赛成绩，分别
10、从两个年级各随机抽取了 20名学生的成绩，进行整理、描述和分析，给出了如下信息 各年级成绩分布如表： 年级 0 x49 50 x59 60 x69 70 x79 80 x89 90 x100 七 1 4 6 2 4 3 八 4 4 3 2 5 2 （注：成绩在 60分以下为不合格，80 分及以上为优秀） 其中七年级成绩在 60 x69 一组的是：62，63，65，66，68，69 七八年级成绩的平均数、中位数、方差、合格率、优秀率等如表： 年级 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 七 66 8 a 83.5 85% 35% 八 64.3 63 125.6 70% b 根据以上信息，回答下列问
11、题： （1）表中，a ，b ； （2）小明的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小明的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小明是 年级的学生（填“七”或“八”） ； （3）请推断出哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由（至少从三个不同的角度说明） 25. 【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与 x 轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”若点 P（1，0） ，则点 P的“友好线”可记为 yk（x1） 【理解运用】 （1）已知点 A 的“友好线”可记为 ykx3k+3，则点 A 的坐标为 ； （2）若点 B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1） ，求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】
12、 （3）已知点 M在点 Q的“友好线”yk（x+2）1上，点 N 在直线 y13x+2，若 M（a，m） ，N（a，n） ，且当3a3 时，mn，请直接确定 k 的取值范围 26. 如图，正方形 ABCD的顶点 C 处有一等腰直角三角形 CEP，PEC90 ，连接 AP，BE （1）若点 E在 BC上时，如图 1，线段 AP和 BE 之间的数量关系是 ； （2） 若将图 1 中的CEP顺时针旋转使 P点落在 CD上， 如图 2， 则 （1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在（2）基础上延长 AP，BE交于 F点，若 DPPC2，求 BF的长 2020202
13、1 学年江苏省南通市崇川区八年级下期末数学试卷学年江苏省南通市崇川区八年级下期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B. 买一张电影票，座位号是 5的倍数 C. 一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题 D. 从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球 【答案】D 【解析】 【分析】必
14、然事件就是一定发生事件，即发生的概率是 1 的事件，依据事件发生的可能性的大小进行判断即可 【详解】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，为随机事件，不合题意； B、买一张电影票，座位号是 5的倍数，为随机事件，不合题意； C、一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题，为随机事件，不合题意； D、从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球，属于必然事件，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 2. 点
15、 M（4，5）关于原点对称的点的坐标为（ ） A. （4，5） B. （4，5） C. （4，5） D. （5，4） 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两个点关于原点对称时， 它们的坐标符号相反，即点 P （x，y） 关于原点 O 的对称点是 P （-x，-y） ，进而得出答案 【详解】解：点（4，5）关于原点对称的点的坐标为： （-4，-5） 故选：A 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键 3. 校运动会跳绳比赛中，进入决赛圈的 8 名同学跳绳次数如下： 175 178 175 180 172 178 180 178；那么，这组数据的众数为（
16、） A. 172 B. 175 C. 178 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义进行判断即可 【详解】解：这 8名同学跳绳次数出现最多的是 178 次，因此众数是 178， 故选：C 【点睛】本题考查众数，理解在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数是正确判断的前提 4. 将方程 x26x+60变形为（x+m）2n 的形式，结果正确的是（ ） A. （x3）215 B. （x3）23 C. （x3）20 D. （x3）23 【答案】D 【解析】 【分析】利用配方法求解即可 【详解】解：x2-6x+6=0， x2-6x+9-3=0， （x-3）2=3， 故选：D 【点
17、睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为 1，然后两边加上一次项系数一半平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解 5. 顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，根据三角形中位线定理可得12EFGHAC，12FGEHBD，再根据矩形的对角线相等可得ACBD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答 【详解】解：如图，连接AC、BD， EQ、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、
18、BC、CD、AD边上的中点， 12EFGHAC，12FGEHBD（三角形的中位线等于第三边的一半） ， Q矩形ABCD的对角线ACBD， EFGHFGEH， 四边形EFGH是菱形 故选：D 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键 6. 我国南宋数学家杨辉所著田亩比类乘除算法中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为 828 平方步，宽比长少 13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为 x步，根据题意，可列方程为（ ） A. x（x13）82
19、8 B. x（x+13）828 C. 12x（x13）828 D. 12x（x+13）828 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+13）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【详解】解：矩形的宽为 x步，且宽比长少 12 步， 矩形的长为（x+13）步 依题意，得：x（x+13）=828 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 7. 在一个不透明的盒子中装有 m个除颜色外完全相同的球，这 m 个球中只有 4 个红球若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1个球记下
20、颜色后再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 25%左右，则 m 的值大约为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解 【详解】解：根据题意得： 4m 100%=25%， 解得：m=16， 答：m的值大约为 16 故选：C 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系 8. 已知关于 x的一次函数 y （k2+1） x5的图象经过点 A （2， a） ， B （3， b） ， 则 a，
21、b的大小关系为 （ ） A. ab B. ab C. ab D. ab 【答案】A 【解析】 【分析】由偶次方的非负性可得出 k 2 +10知该一次函数 y随 x的增大而增大，因为-23，所以 ab 【详解】解：k20， k2+10， y随 x的增大而增大 又-23， ab 故选：A 【点睛】 本题考查了一次函数的性质， 考核了学生对一次函数的性质基础应用， 属于基础题型 熟悉“k0，y 随 x 的增大而增大；k0，y随 x的增大而减小”以及“平方的非负性”是解题的关键 9. 如图， 四边形 ABCD 是菱形， 对角线 AC， BD交于点 O， E是边 AD的中点， 过点 E作 EFBD， E
22、GAC，点 F，G 为垂足，若 AC=10，BD=24，则 FG的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出 OA=OC=5，OB=OD=12，ACBD，根据勾股定理求出 AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 OE=6.5，证出四边形 EFOG 是矩形，得到 EO=GF 即可得出答案 【详解】解：连接 OE， 四边形 ABCD是菱形， OA=OC=5，OB=OD=12，ACBD， 在 RtAOD 中，AD=22AODO=13， 又E 是边 AD 的中点， OE=12AD=12 13=6.5， EFBD，EGAC，
23、ACBD， EFO=90 ，EGO=90 ，GOF=90 ， 四边形 EFOG为矩形， FG=OE=6.5 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键 10. 如图 1，在矩形 ABCD的边 AD 上取一点 E，连接 BE点 M，N 同时以 1cm/s 的速度从点 B 出发，分别沿折线 B-E-D-C 和线段 BC向点 C匀速运动连接 MN，DN，设点 M运动的时间为 t s，BMN 的面积为 S cm2，两点运动过程中，S与 t 的函数关系如图 2 所示，则当点 M 在线段 ED 上，且 ND 平分MN
24、C时，t的值等于（ ） A. 2+25 B. 4+25 C. 1425 D. 1225 【答案】D 【解析】 【分析】分析图像得出 BE 和 BC，求出 AB，作 EHBC于 H，作 EFMN，M1N2EF，作 DGM1N2于点 G，求出 EF 和 M1N2，在DM1N2中，利用面积法列出方程，求出 t值即可 【详解】解：由题意可得：点 M 与点 E 重合时，t=5，则 BE=5， 当 t=10 时，点 N 与点 C 重合，则 BC=10， 当 t=5时，S=10， 5102AB，解得：AB=4， 作 EHBC于 H，作 EFMN，M1N2EF，作 DGM1N2于点 G， 则 EH=AB=4，
25、BE=BF=5， EHB=90 ， BH=2254=3， HF=2， EF=22242 5， M1N2=2 5， 设当点 M运动到 M1时，N2D平分M1N2C， 则 DG=DC=4，M1D=10-AE-EM1=10-3-（t-5）=12-t， 在DM1N2中，1121122DMABM NDG， 即111242 5422t， 解得：122 5t ， 故选 D 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，矩形的性质，勾股定理，面积法，解题的关键是读懂图象，了解图象中每个点的实际含义 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位小题，不需写出解
26、答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）置上） 11. 在函数12yx中，自变量 x 的取值范围是_ 【答案】2x 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围 【详解】解：在函数12yx中， x+20， 解得：x-2， 故答案为：x-2. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 12. 王红的平时测验成绩是 80 分，期中考试成绩是 85 分，期末考试成绩
27、是 90 分若按平时、期中、期末之比为 1：2：7 计算总评成绩，则他的总评成绩是_分 【答案】88 【解析】 【分析】按 1：2：7 的比例算出小亮的学业成绩总评分即可 【详解】解：学业成绩总评分=80 10%+85 20%+90 70% =8+17+63 =88（分） 故答案为：88 【点睛】本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩=1：2：7 的含义就是分别占总数的 10%、20%、70% 13. 为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科 3 位骨干医师中（含有甲）抽调 2人组成则甲一定会被抽调到防控小组的概率是_ 【答案】23 【
28、解析】 【分析】画出树状图，共有 6个等可能的结果，甲一定会被抽调到防控小组的结果有 4 个，由概率公式即可求解 【详解】解：设内科 3位骨干医师分别即为甲、乙、丙， 画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果，甲一定会被抽调到防控小组的结果有 4个， 甲一定会被抽调到防控小组的概率=4263， 故答案为：23 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比 14. 在平面直角坐标系中，将点（3，3）绕原点顺时针旋转 135得到点的坐标是 _
29、 【答案】 （0，3 2） 【解析】 【分析】根据点的坐标特征可知点（3，3）在直线 y=x 上，即可得到此点绕原点顺时针旋转 135 得到的点在 y轴的负半轴上，根据勾股定理求得点（3，3）到原点的距离，即可求得旋转后的点的坐标 【详解】解：点（3，3）直线 y=x 上， 将点（3，3）绕原点顺时针旋转 135 得到的点在 y 轴的负半轴上， 22333 2， 旋转 135 得到的点的坐标是（0，3 2） ， 故答案为： （0，3 2） 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30 ，45 ，60
30、，90 ，180 15. 如图，一次函数 yx2与 y2x+m 的图象相交于点 P（n，4） ，则关于 x的不等式组 2x+mx20 的解集为 _ 【答案】-2x2 【解析】 【分析】先将点 P（n，-4）代入 y=-x-2，求出 n的值，再找出直线 y=2x+m落在 y=-x-2 的下方且都在 x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可 【详解】解：一次函数 y=-x-2 的图象过点 P（n，-4） ， -4=-n-2，解得 n=2， P（2，-4） ， 又y=-x-2 与 x 轴的交点是（-2，0） ， 关于 x的不等式 2x+m-x-20 的解集为-2x2 故答案为：-2x2 【点睛】本题
31、考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出 n的值，是解答本题的关键 16. 如图， 在ABCDY中，BE，CF分别是ABC和BCD的平分线，BE，CF分别与AD相交于点E，F，5AB，8BC ，则EF _ 【答案】2 【解析】 【分析】求出 AB=CD=5，AD=BC=8，AD/BC，根据平行线性质和角平分线性质求出ABEAEB ，推出 AB=AE，同理求出 DF=CD，利用线段和差进而得出 EF的长 【详解】解：如图： 在ABCDY中，AB=CD=5，AD=BC=8，AD/BC， AEBEBC， 又BE平分ABC， ABEEBC， ABEAEB ， AB=AE=5
32、， AD/BC， DFCFCB， 又CF 平分BCD， FCBFCD， DFCDCF， DF=DC=5， EF=AE+DF-AD=5+5-8=2 故答案为 2 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解题的关键 17. 若 x1，x2是一元二次方程 x25x20060的两个实数根，则代数式 x122x1+3x2的值等于 _ 【答案】2021 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系求解 【详解】解：x1，x2是一元二次方程 x2-5x-2006=0的两个实数根， x12-5x1-2006=0，x1+x2=5， x1
33、2-5x1=2006， 原式=x12-5x1+3x1+3x2=x12-5x1+3（x1+x2）=2006+15=2021， 故答案为：2021 【点睛】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） 的根与系数的关系： 若一元二次方程两个根为 x1， x2，则 x1+x2=ba，x1x2=ca 18. 如图，在正方形 ABCD中，AB=4，AC与 BD相交于点 O，M是 AO的中点，P，Q 为对角线 BD 上的两点，若 PQ=2，则 PM+CQ 的最小值为 _ 【答案】2 5 【解析】 【分析】如图，取 AD 的中点 T，连接 MT，CT交 BD 于点 Q，此时 MP+CQ的值最小，
34、证明四边形 PQTM是平行四边形，得到 PM=TQ，可推出 PM+CQ=CT，利用勾股定理求出 CT 即可 【详解】解：如图，取 AD的中点 T，连接 MT，CT 交 BD 于点 Q，此时 MP+CQ的值最小 四边形 ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=4， AC=BD=4 2， OD=OB=OA=OC=2 2， AM=OM，AT=DT， MT=12OD=2， MT=PQ=2， MTPQ， 四边形 PQTM是平行四边形， PM=TQ， PM+CQ=TQ+CQ=CT， CMT=90 ，MT=2，CM=3 2， CT=222 5MTCM， 故答案为：2 5 【点睛】本题考查正方形的性质，勾
35、股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）x24x30； （2） （x3）2+2x（x3）0 【答案】 （1）x1=27，x2=27； （2）x1=3，x2=1 【解析】 【分析】 （1）利用配方法解方程：将常数项-3 移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方； （2）利用“提取公因式法”
36、对等式的左边进行因式分解，将原等式转化为两因式之积为零的形式 【详解】解： （1）由原方程，得 x2-4x=3， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2-4x+4=7， 配方，得 （x-2）2=7， x-2=7， 解得，x1=27，x2=27； （2）由原方程，得 3（x-3） （x-1）=0， x-3=0或 x-1=0， 解得，x=3或 x=1 【点睛】 本题考查了解一元二次方程配方法、 因式分解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 20. 如图，直线 l1：y1=-2x+6 与 x 轴，y轴分别交于点 A，B，直
37、线 l2过点 C（-5，0） ，与直线 l1交于点 D（a，8） ，与 y轴交于点 E （1）求直线 l2的解析式； （2）求BDE 的面积 【答案】 （1）2210yx； （2）2 【解析】 【分析】 （1）由直线 l1求得 D 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 l2的解析式； （2）求得 B、E的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得 【详解】解：直线 l1过点 D（a，8） ， 8=-2a+6， a=-1， D（-1，8） ， 直线 l2过点 C（-5，0） ，D（-1，8） ， 508kbkb ，解得210kb， 直线 l2的解析式为 y=2x+10； （2）在 y=-2x+6中，
38、令 x=0，则 y=6， B（0，6） ， 在 y=2x+10中，令 x=0，则 y=10， E（0，10） ， BE=10-6=4， BDE的面积为12 4 1=2 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积等，求得交点坐标是解题的关键 21. 如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O过点 A作 AE/BD，过点 D 作 DE/AC交 AE于点E （1）求证：四边形 AODE是矩形； （2）若 AB=6，ABC=60 ，求四边形 AODE 的面积 【答案】 （1）见解析； （2）9 3 【解析】 【分析】
39、（1）先证四边形 AODE 是平行四边形，再由菱形的性质得 ACBD，则AOD=90 ，即可得出结论； （2）由菱形的性质得 OA=OC，OB=OD，ACBD，AB=BC，再证ABC是等边三角形，得 AC=AB=6，则OA=12AC=3，然后由勾股定理得 OD=OB=33，即可求解 【详解】 （1）证明：AEBD，DEAC， 四边形 AODE是平行四边形， 四边形 ABCD是菱形， ACBD， AOD=90 ， 平行四边形 AODE为矩形； （2）解：四边形 ABCD是菱形， OA=OC，OB=OD，ACBD，AB=BC， ABC=60 ， ABC是等边三角形， AC=AB=6， OA=12A
40、C=3， OD=OB=2222633 3ABOA， 由（1）可知，四边形 AODE 是矩形， 矩形 AODE 的面积=OA OD=3 33=93 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形 AODE 为矩形是解题的关键 22. 如图，用一块长为 100cm，宽为 60cm的矩形纸片制作一个无盖的盒子，若在纸片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为 x cm （1）底面的长 AB cm，宽 BC cm（用含 x的代数式表示） ； （2）当作成盒子的底面积为 3200cm2时，求该盒子的
41、底面长和宽 【答案】 （1） （100-2x） ， （60-2x） ； （2）底面长为 80cm，宽为 40cm 【解析】 【分析】 （1）利用矩形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出 AB 与 BC 的长即可； （2）根据（1）中求得的长与宽以及盒子的底面积为 3200cm2得出 x 的值，即可求出盒子的底面长与宽 【详解】解： （1）根据题意得， 底面的长 AB=（100-2x）cm，宽 BC=（60-2x）cm， 故答案为： （100-2x） ， （60-2x） ； （2）根据题意得， （100-2x） （60-2x）=3200， 整理得：x2-80 x+700=0，
42、解得：x1=10，x2=70（不符合题意，舍去） ， 100-2x=80，60-2x=40， 答：该盒子的底面长为 80cm，宽为 40cm 【点睛】本题考查了矩形面积公式的运用以及解一元二次方程，分别找出底面的长和宽是解题的关键 23. 某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有 A，B，C 三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车 请你运用所学概率知识解决下列问题： （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）这两人中，谁乘坐到 A 车的可能性大？请说明理由 【答案】 （1）见解
43、析； （2）相等，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）利用树状图表示所有可能出现的结果情况即可； （2）分别求出王会计、张会计乘坐 A车的概率，进而得出结论 【详解】解： （1）用树状图表示所有可能出现的结果如下： （2）王会计、张会计乘坐 A 车的可能性是相等的， 理由：王会计乘坐 A车的可能性为：13， 张会计乘坐 A 车的可能性为：2163， 因此王会计、张会计乘坐 A 车的可能性是相等的 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是求相应概率的关键 24. 八一中学为普及抗疫防疫知识，在七、八年级举行了次防疫知识竞赛，为了解这两个年级学生的竞赛
44、成绩，分别从两个年级各随机抽取了 20名学生的成绩，进行整理、描述和分析，给出了如下信息 各年级成绩分布如表： 年级 0 x49 50 x59 60 x69 70 x79 80 x89 90 x100 七 1 4 6 2 4 3 八 4 4 3 2 5 2 （注：成绩在 60分以下为不合格，80 分及以上为优秀） 其中七年级成绩在 60 x69 一组的是：62，63，65，66，68，69 七八年级成绩的平均数、中位数、方差、合格率、优秀率等如表： 年级 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 七 66.8 a 83.5 85% 35% 八 64.3 63 125.6 70% b 根据以上信息，
45、回答下列问题： （1）表中，a ，b ； （2）小明的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小明的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小明是 年级的学生（填“七”或“八”） ； （3）请推断出哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由（至少从三个不同的角度说明） 【答案】 （1）68.5，35%； （2）七； （3）七年级的竞赛成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据中位数的定义求出 a，再用优秀的人数除以总人数求出 b即可； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）从平均数、中位数和合格率上进行分析，即可得出七年级的竞赛成绩更好 【详解】解： （1）m=（68+69） 2=68.
46、5， n=（5+2） 20=35%， 故答案为：64，35%； （2）因为平均数会受到极端值的影响，七年级有 1个学生的成绩较差，使平均分较低，小明虽然高于平均成绩，仍可能排在后面，可以估计他是七年级学生， 故答案为：七； （3） 七年级学生成绩较好， 从平均数、 中位数和合格率上看， 七年级均较高， 因此七年级的竞赛成绩更好 【点睛】此题考查频数分布表、中位数、平均数、方差等知识，理解及格率、优秀率是解决问题的必要知识 25. 【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与 x 轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”若点 P（1，0） ，则点 P的“友好线”可记为 yk（x1） 【理解运用】
47、（1）已知点 A 的“友好线”可记为 ykx3k+3，则点 A 的坐标为 ； （2）若点 B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1） ，求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点 M在点 Q的“友好线”yk（x+2）1上，点 N 在直线 y13x+2，若 M（a，m） ，N（a，n） ，且当3a3 时，mn，请直接确定 k 的取值范围 【答案】 （1）(3, 3)； （2）1(3)22yx； （3）40k 或205k 【解析】 【分析】 （1）由33(3)3ykxkk x经过定点(3, 3)求解 （2）将(1,1)代入(3)2yk x求解 （3）先将3x 与3x代入123yx 求出
48、点坐标，再将所求点坐标代入(2) 1yk x求出k，结合图象求出取值范围 【详解】解： （1）33(3)3ykxkk xQ， 点A坐标为(3, 3) 故答案为：(3, 3) （2）由题意可得点B所在直线解析式为(3)2yk x， 将(1,1)代入(3)2yk x得122k ， 解得12k ， 该“友好线”的解析式为1(3)22yx （3）由题意得当33x 时，直线(2) 1yk x在直线123yx 下方， 把3x 代入123yx 得3y ，把3x代入123yx 得1y ， 直线123yx 经过点()3,3，(3,1)， 把()3,3代入(2) 1yk x得4k ， 把(3,1)代入(2) 1y
49、k x得51 1k ， 解得25k ， (2) 1yk xQ经过定点( 2, 1)，4k 时，如图， 25k 时，如图， 40k 或205k时满足题意 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题干的新定义函数，通过直线经过定点结合图象求解 26. 如图，正方形 ABCD的顶点 C 处有一等腰直角三角形 CEP，PEC90 ，连接 AP，BE （1）若点 E在 BC上时，如图 1，线段 AP和 BE 之间的数量关系是 ； （2） 若将图 1 中的CEP顺时针旋转使 P点落在 CD上， 如图 2， 则 （1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的
50、基础上延长 AP，BE 交于 F 点，若 DPPC2，求 BF的长 【答案】 （1）AP=2BE； （2）成立，理由见解析； （3）8 105 【解析】 【分析】 （1）首先说明 A，P，C三点共线，设正方形 ABCD 的边长为 1，CE=x，根据正方形和等腰直角三角形的性质求出 AP和 BE的长，即可判断； （2） 过点 B 作 BHBE， 且 BH=BE， 连接 AH， EH， 证明ABHBEC， 得到 AH=EC=PE， AHB=CEB，从而证明四边形 AHEP是平行四边形，同理可得 AP=EH=2BE； （3）过 B，D 分别作 AF的垂线，垂足为 K，M，证明ABKDAM，得到 BK
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