1、2021 年浙江省台州市路桥区中考数学一模试卷年浙江省台州市路桥区中考数学一模试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）选、错选，均不给分） 1比 2 小 3 的数是（ ） A1 B5 C1 D5 2 2021 年 2 月 25 日， 习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告， 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全面脱贫数据“9899 万”用科学记数法可表示为（ ） A98.99106 B9.
2、899107 C989.9105 D0.9899108 3甲、乙、丙、丁四名学生近 4 次数学测验成绩的平均数都是 110 分，方差分别是 S甲236，S乙224，S丙225.5，S丁26，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4下列计算中正确的是（ ） A2a23a6a3 B（2a2）36a6 C+ D3 5如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是（ ） A6 B7 C8 D9 6我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 3 匹小马能拉 1 片瓦，1 匹大马能拉 3 片瓦，求小马，大马各有多少匹若
3、设小马有 x 匹，大马有 y 匹，则下列方程组中正确的是（ ） A B C D 7已知点 A（2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，那么 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy3y1y2 8如图，在边长为 4 的正方形内部裁得一个扇形 BAC，若将该扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面半径为（ ） A1 B C D2 9甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从 A 地出发前往 B 地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发 5 分钟甲骑行 20 分钟后，乙以原速的 1.5 倍继续骑行，经过一段
4、时间，乙先到达 B 地，甲一直保持原速前往 B 地在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y（单位：m）与甲骑行的时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A甲的骑行速度是 250m/min BA，B 两地的总路程为 22.5km C乙出发 60min 后追上甲 D甲比乙晚 5min 到达 B 地 10如图 1 是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中AOB90，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图 2，若 IJ，则该“风车”的面积为（ ） A+1 B2 C4 D4 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5
5、 分，共分，共 30 分）分） 11因式分解：1x2 12如图，D，E，F 分别是等边ABC 三边的中点，AB4，则四边形 DECF 的周长为 13先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，则这枚硬币两次的结果相同的概率为 14对于实数 a，b（b0），定义运算“”如下：ab（1a）b例如：32（13）21，则不等式 x23 的解集为 15如图，在矩形 ABCD 中，将矩形沿着折痕 EF 折叠，点 A，B 落在 A，B上，AE 与边 CD 交于点G若点 C 恰好与 AB的中点重合，且 SBCF3SACG，则的值为 16如图，已知：RtABCRtCEF，ABCCEF90，A30，AC6现将CEF 绕点 C
6、逆时针旋转 度，线段 CF 与直线 AB 交于点 O，连接 OE则当 OEOB 时，线段 OA 的长为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，其中第小题，其中第 17-20 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22-23 题每题题每题 12 分，第分，第 24 题题14 分，共分，共 80 分）分） 17计算：20+tan45+|1| 18小汪解答“解分式方程：1”的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程 19如图是某款风筝的骨架示意图，测得 ABAC50cm，BAC110，ADAE，AFDE，求该风筝的最大翼展， 即求点 B 到
7、点 C 的距离 （结果取整数 参考数据： sin550.819， cos550.574， tan551.428） 20如图，在 56 的方格纸中，ABC 的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求画图 （1）在图 1 中画一个以 A，B，C，D 为顶点的平行四边形（非矩形）； （2）在图 2 中过点 C 作 CEAB，使点 E 在格点上； （3）在图 3 中作FBACBA，使点 F 在格点上，且不在直线 BC 上 21某校组织全校 1800 名学生参加建党“百年华诞”诗词诵读活动，并在活动之后举办诗词大赛为了解本次活动的持续效果，团委在活动启动初期，随机抽取 50 名学生调查“一周诗词背诵数量”
8、，绘得统计表大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词背诵数量”，绘得统计图请根据调查的信息，解答下列问题： （1）求活动初期被抽查的学生“一周诗词背诵数量”的中位数； （2）估计大赛后一个月，该校学生一周诗词背诵 6 首（含 6 首）以上的人数； （3）请你选择适当的统计量，从两个不同的角度分析相关数据，评价该校建党“百年华诞”诗词诵读系列活动的效果 一周诗词背诵数量统计表 一周诗词诵 背数量 3 首 4 首 5 首 6 首 7 首 8 首 人数 8 7 13 10 8 4 22如图 1，在O 中，点 H 是直径 AB 上的一点，过 H 点作弦 CDAB，点 E 是的中点，过点 E 作B
9、D 的平行线交 DC 延长线于点 F，连接 BE，交 CD 于点 G （1）求证：EF 是O 的切线； （2）求证：BD+EFDF； （3）如图 2，连接 DE，若k，则当 k 为何值时，线段 DEEF？ 23路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季已知每千克白虾的养殖成本为 8 元，在某上市周期的 70 天里，销售单价 p（元/千克）与时间第 t（天）之间的函数关系如下：p，日销售量 y（千克）与时间第 t（天）之间的函数关系如图所示 （1）求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式； （2）求第几天的日销售利润最大？
10、最大利润是多少元？ （3）在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 千克白虾，就捐赠 m（m8）元给公益事业在这前 40 天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围 24已知：在菱形 ABCD 中，ABC60AB6，点 P 为菱形内一点，且BPC60 （1）如图 1，当点 P 在菱形对角线 BD 上时，求 BP 的长； （2）如图 2，点 M 在线段 BP 上，点 N 在线段 CP 上，且 BMCN，连接 CM，MN，若CMN30，求 CM2+MN2的值； （3）如图 3，延长 CP 交 BA 延长线于点 E，连接 AP 并延长交 BC 延长线于
11、点 F 求证：EA BFEBAD； 判断 PE PF 是否有最大值？若有，请直接写出最大值；若没有，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）选、错选，均不给分） 1比 2 小 3 的数是（ ） A1 B5 C1 D5 【分析】根据有理数的减法法则计算即可 解：23 2+（3） 1， 故选：C 2 2021 年 2 月 25 日， 习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告， 我国脱贫攻坚战取得全面胜
12、利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全面脱贫数据“9899 万”用科学记数法可表示为（ ） A98.99106 B9.899107 C989.9105 D0.9899108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 解：9899 万989900009.899107 故选：B 3甲、乙、丙、丁四名学生近 4 次数学测验成绩的平均数都是 110 分，方差分别是 S甲236，S乙224，S丙225.5，S丁26，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙
13、C丙 D丁 【分析】根据方差的意义求解即可 解：S甲236，S乙224，S丙225.5，S丁26， S丁2S乙2S丙2S甲2， 这四名学生的数学成绩最稳定的是丁， 故选：D 4下列计算中正确的是（ ） A2a23a6a3 B（2a2）36a6 C+ D3 【分析】分别计算每个选项中的式子，可知（2a2）38a6，+不能合并同类项，3，即可求解 解：A.2a23a6a3，计算正确，符合题意； B（2a2）38a6，不符合题意； C.+不能合并同类项，不符合题意； D.3，不符合题意； 故选：A 5如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析
14、】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算 解：多边形的外角和是 360，根据题意得： 180（n2）3360 解得 n8 故选：C 6我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 3 匹小马能拉 1 片瓦，1 匹大马能拉 3 片瓦，求小马，大马各有多少匹若设小马有 x 匹，大马有 y 匹，则下列方程组中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据“3 匹小马能拉 1 片瓦，1 匹大马能拉 3 片瓦”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 解：根据题意可得：， 故选：C 7已知点 A（2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数
15、 y（k0）的图象上，那么 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy3y1y2 【分析】根据反比例函数的增减性，k0，函数图象位于二、四象限，又位于第二象限，则 y1最大，对B、C、两点由性质判断出 y2y3，由此得出答案 解：k0，反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而增大； 又B（1，y2）、C（2，y3）是双曲线上的两点，且 210，y2y30； 又点 A（2，y1）在第二象限，故 0y1， y2y3y1 故选：C 8如图，在边长为 4 的正方形内部裁得一个扇形 BAC，若将该扇形围成一个圆锥，则此圆锥的
16、底面半径为（ ） A1 B C D2 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得半径即可 解：设圆锥的底面半径为 r， 根据题意得：2r， 解得：r1， 故选：A 9甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从 A 地出发前往 B 地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发 5 分钟甲骑行 20 分钟后，乙以原速的 1.5 倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达 B 地，甲一直保持原速前往 B 地在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y（单位：m）与甲骑行的时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A甲的骑行速度是 250m/min BA，B 两地的总路程为
17、 22.5km C乙出发 60min 后追上甲 D甲比乙晚 5min 到达 B 地 【分析】根据函数与图象的关系以此计算即可判断 解：甲 5min 骑行 1250m，故速度为 12505250m/min， 故 A 正确； 设乙的速度为 xm/min，则有 2025015x2000， 解得：x200， 乙的速度为 200m/min， 甲骑行 20 分钟后，乙以原速的 1.5 倍，即 1.5200300m/min 继续骑行， 乙先到达 B 地， 由题意可得 AB 两地的总路程为 15200+（8520）30022500m22.5km， 故 B 正确； 乙出发 tmin 后追上甲， 则（t+5）25
18、015200+（t15）300， 解得 t55，即乙出发 55min 后追上甲， 故 C 错误 85min 甲的路程为 8525021250（m）， 甲比乙晚5 min 到达 B 地， 故 D 正确 故选：C 10如图 1 是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中AOB90，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图 2，若 IJ，则该“风车”的面积为（ ） A+1 B2 C4 D4 【分析】“风车”的面积为ABO 面积的 4 倍，求出AOB 的面积即可 解：连接 BH 由题意，四边形 IJKL 是正方形 IJ， 正方形 IJKL 的面积2， 四边形 IBOH 的面
19、积2， HI 垂直平分 AB， HAHB， OHOB，BOH90， HABHOH， SABH：SBOH， SAIHSIBH， SIBH：SBOH：2， SAHISIBHS四边形IBOH， SAOBSAIH+S四边形IBOH+， “风车”的面积4SAOB2 故选：D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11因式分解：1x2 （1x）（1+x） 【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解 解：1x2（1x）（1+x）， 故答案为：（1x）（1+x） 12如图，D，E，F 分别是等边ABC 三边的中点，AB4，则四边形 DE
20、CF 的周长为 8 【分析】根据三角形中位线定理求出 DF、DE，根据线段中点的概念求出 CF、CE，计算即可 解：ABC 为等边三角形，AB4， ACBCAB4， D，E，F 分别是等边ABC 三边的中点， DFBC2，ECBC2，DEAC2，FCAC2， 四边形 DECF 的周长2+2+2+28， 故答案为：8 13先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，则这枚硬币两次的结果相同的概率为 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果，其中这枚硬币两次的结果相同的结果有 2 种，然后根据概率公式求解 解：画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中这枚硬币两次的结果相同的结果有 2 种， 这枚硬币
21、两次的结果相同的概率为， 故答案为： 14对于实数 a，b（b0），定义运算“”如下：ab（1a）b例如：32（13）21，则不等式 x23 的解集为 x5 【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可 解：x23， （1x）23， 解得 x5 故答案为：x5 15如图，在矩形 ABCD 中，将矩形沿着折痕 EF 折叠，点 A，B 落在 A，B上，AE 与边 CD 交于点G若点 C 恰好与 AB的中点重合，且 SBCF3SACG，则的值为 1+ 【 分 析 】 首 先 得 出 A C B C ， 再 根 据 翻 折 的 性 质 得 出 FCB CGA ， 得 出，最后利用
22、勾股定理得出结果 解：点 C是 AB的中点， ACBC， 由翻折可得ABBCD90， DCACFB90FCB， FCBCGA， SBCF3SACG， ， 设 ACBCa， BFBFACa， 在 RtCBF 中， CF2a， ADBCBF+FCa+2a，ABAB2a， 1+ 故答案为：1+ 16如图，已知：RtABCRtCEF，ABCCEF90，A30，AC6现将CEF 绕点 C逆时针旋转度， 线段CF与直线AB交于点O， 连接OE 则当OEOB时， 线段OA的长为 3 【分析】过点 E 作 EHCF 于点 H，由ABCCEF，设 OFx，则 OC6x，根据勾股定理分别表示出 OB 和 OE 的
23、长度，然后列方程即可解决问题 解：过点 E 作 EHCF 于点 H， ABCCEF， CFAC6，A30， EFC90A60， 设 OFx，则 OC6x， 在 RtOCB 中， OB2OC2BC2（6x）29， 在 RtFEH 中， EHEF，FHEF， OHx， 在 RtOEH 中， OE2EH2+OH2（x）2+（）2， 又OEOB， （x）2+（）2（6x）29， 解得：x2， BO27， BO， AOABBO3， 故答案为：3 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，其中第小题，其中第 17-20 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22-23 题每
24、题题每题 12 分，第分，第 24 题题14 分，共分，共 80 分）分） 17计算：20+tan45+|1| 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案 解：原式1+1+1 1+ 18小汪解答“解分式方程：1”的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程 【分析】先方程两边都乘 x2 得出 2x+3（x2）（x1），求出方程的解，再进行检验即可 解：他解答过程中错误步骤的序号是， 正确的解答过程是： 1， 方程两边都乘 x2，得 2x+3（x2）（x1）， 去括号，得 2x+3x+2x+1， 移项，得
25、2xx+x132， 合并同类项，得 2x4， 系数化成 1，得 x2， 检验：当 x2 时，x20，所以 x2 是原方程的解， 即原方程的解是 x2 19如图是某款风筝的骨架示意图，测得 ABAC50cm，BAC110，ADAE，AFDE，求该风筝的最大翼展， 即求点 B 到点 C 的距离 （结果取整数 参考数据： sin550.819， cos550.574， tan551.428） 【分析】连接 BC 交 AF 于点 M，设 AFDE 于 N，可得BACDAE，再通过同位角得到 DEBC，利用锐角三角形函数可得答案 解：连接 BC 交 AF 于点 M，设 AFDE 于 N， ABAC，AD
26、AE，BACDAE， BACDAE， ADEABC， DEBC， AFBAND90， BAC110，ADAE，AFDE， BAF55， ，BF500.81941（cm） BC2BF82cm 20如图，在 56 的方格纸中，ABC 的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求画图 （1）在图 1 中画一个以 A，B，C，D 为顶点的平行四边形（非矩形）； （2）在图 2 中过点 C 作 CEAB，使点 E 在格点上； （3）在图 3 中作FBACBA，使点 F 在格点上，且不在直线 BC 上 【分析】（1）根据网格，以 BC 为对角线在图 1 中即可画一个以 A，B，C，D 为顶点的平行四边形（D为
27、格点）； （2）根据网格画 24 格对角线即可在图 2 中作直线 CEAB（E 为格点）； （3） 根据网格作 AB 的垂直平分线交 34 格对角线于点 G， 即可在图 3 中作FBACBA （F 为格点，且不在直线 BC 上） 解：（1）如图 1，四边形 ABDC 即为所求作的平行四边形； （2）如图 2，直线 CE 即为所求； （3）如图 3，FBACBA 21某校组织全校 1800 名学生参加建党“百年华诞”诗词诵读活动，并在活动之后举办诗词大赛为了解本次活动的持续效果，团委在活动启动初期，随机抽取 50 名学生调查“一周诗词背诵数量”，绘得统计表大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一
28、周诗词背诵数量”，绘得统计图请根据调查的信息，解答下列问题： （1）求活动初期被抽查的学生“一周诗词背诵数量”的中位数； （2）估计大赛后一个月，该校学生一周诗词背诵 6 首（含 6 首）以上的人数； （3）请你选择适当的统计量，从两个不同的角度分析相关数据，评价该校建党“百年华诞”诗词诵读系列活动的效果 一周诗词背诵数量统计表 一周诗词诵 背数量 3 首 4 首 5 首 6 首 7 首 8 首 人数 8 7 13 10 8 4 【分析】（1）根据中位数的定义可得答案； （2）用总人数乘以大赛后一个月该校学生一周诗词背诵 6 首（含 6 首）以上的人数所占的百分比即可； （3）根据活动初的平均
29、数、中位数与活动后的平均数、中位数进行比较，即可得出答案 解：（1）由统计表可得共 50 名学生，第 25 个和第 26 个都是 5 首，所以中位数是 5 首； （2）根据题意得：18001188（人）， 估计大赛后一个月该校学生一周诗词背 6 首（含 6 首）以上的人数为 1188 人 （3）活动初 50 名学生平均背诵首数为（38+47+513+610+78+84）5.3（首）， 活动 1 个月后 40 名学生平均背诵首数为（34+46+57+610+715+88）6（首）； 活动初学生一周诗词背诵数量中位数为 5； 活动一个月后学生一周诗词背诵数量中位数为 6 根据以上平均数与中位数的数
30、据分析，该校经典诗词背诵系列活动效果好 22如图 1，在O 中，点 H 是直径 AB 上的一点，过 H 点作弦 CDAB，点 E 是的中点，过点 E 作BD 的平行线交 DC 延长线于点 F，连接 BE，交 CD 于点 G （1）求证：EF 是O 的切线； （2）求证：BD+EFDF； （3）如图 2，连接 DE，若k，则当 k 为何值时，线段 DEEF？ 【分析】（1）连接 EO 并延长交 BD 于点 M，根据垂径定理可得 EMBD，再结合 EFBD 可得 OEEF，据此即可得解； （2）连接 ED，根据角度关系得出BGDBDEGBD，从而得到 BDDG，再根据 EFBD 得到FEGDBEB
31、GDFGE，即得出 EFFG，再根据线段直角的关系可得解； （3）先证出BGDBDE，即得k，设 BGa，则 BDka，BEk2a，根据 DEEF 证明得到 EGDG，再表示出 BE（k+1）a，得到 k2a（k+1）a，求出 k 的值即可 【解答】（1）证明：如图 1，连接 EO 并延长交 BD 于点 M， 点 E 是的中点，EM 过圆心， EMBD， EFBD， OEEF， EF 是O 的切线； （2）证明：如图，连接 ED， 点 E 是的中点， ， BDEDBE， CDAB， ， BDCBED， GBDDBE， BGDBDEGBD， BDGD， EFBD， FEGDBEBGDFGE， E
32、FFG， BD+EFGD+FGDF； （3）解：如图 2， BDCBED，GBDDBE， BGDBDE， k， 设 BGa，则 BDka，BEk2a， DEEF， FEDF， EFBD， FBDC， BEDBDC， EDFBED， EGDG， DGBDka， EGka，BEBG+EGa+ka（k+1）a， k2a（k+1）a， k或 k（舍去）， 当 k时，DEEF 23路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季已知每千克白虾的养殖成本为 8 元，在某上市周期的 70 天里，销售单价 p（元/千克）与时间第 t（天）之间
33、的函数关系如下：p，日销售量 y（千克）与时间第 t（天）之间的函数关系如图所示 （1）求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式； （2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 千克白虾，就捐赠 m（m8）元给公益事业在这前 40 天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围 【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得； （2）设日销售利润为 w 元，分 1t40 和 41t80 两种情况，根据“总利润每千克利润销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断； （3）依据（
34、2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由 1t40 且销售利润随时间 t 的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案 解：（1）设所求解析式为 ykx+b（k0）， 将（1，198）、（70，60）代入，得： ， 解得：， y2t+200（1t70，t 为整数）， 日销售量 y 与时间 t 的函数关系式 y2t+200； （2）设日销售利润为 w 元，则 w（p8）y， 在 1t40 时， w（t+208）（2t+200） （t26）2+2738， 0， 当 t26 时，wmax2738； 当 40t70 时， w（t+508）（2t+20） （t92）264， 10， 当 t92 时，w
35、 随 t 的增大而减小， 当 t41 时，w 最大，最大值（4192）2642537， 27382537， 第 26 天利润最大，最大利润为 2738 元； （3）设日销售利润为 w 元，根据题意，得： w（t+208m）（2t+200） t2+（26+2m）t+2400200m， 函数图象对称轴为直线 t2m+26， 0，w 随 t 的增大而增大，且 1t40，t 为整数， 2m+2639.5， 解得：m6.75， 又m8， 6.75m8 24已知：在菱形 ABCD 中，ABC60AB6，点 P 为菱形内一点，且BPC60 （1）如图 1，当点 P 在菱形对角线 BD 上时，求 BP 的长；
36、 （2）如图 2，点 M 在线段 BP 上，点 N 在线段 CP 上，且 BMCN，连接 CM，MN，若CMN30，求 CM2+MN2的值； （3）如图 3，延长 CP 交 BA 延长线于点 E，连接 AP 并延长交 BC 延长线于点 F 求证：EA BFEBAD； 判断 PE PF 是否有最大值？若有，请直接写出最大值；若没有，请说明理由 【分析】（1）根据菱形的性质可得PBCPBA30，BCAB，根据三角形内角和定理可得出PCB90，利用PBC 的余弦值即可得答案； （2）如图，连接 AM、AN、AC，根据菱形的性质可得ABC 是等边三角形，根据三角形内角和定理及角的和差关系可得ABMCA
37、N， 利用 SAS 可证明ABMCAN， 可得 AMAN， BAMCAN，进而可证明AMN 是等边三角形，可得 AMMN，AMN60，即可求出AMC90，利用勾股定理即可得答案； （3）如图，连接 AC、DE、DF，在 BP 上截取 PQPC，连接 CQ，可证明CPQ 是等边三角形，根据角的和差关系可得BCQACP，利用 SAS 可证明BCQACP，可得APCBQC120，即可证明ACEPCA，ACFAPC，进而可得ACECFA，根据相似三角形的性质可得，根据EADDCFABC60可得EADDCF，即可证明AEDCDF，根据角的和差关系可得AED+CDF+ADC180，即可证明 E、D、F 三
38、点在一条直线上，根据 ADBF可得AEDBEF，利用相似三角形的性质即可得答案； 根据角的和差关系可得EPBBPF120，利用相似三角形的性质可得ACPAFC，根据BCQACP，可得EBPAFC，即可证明PBEPFB，根据相似三角形的性质 PB2PEPF，根据APC+ABC180可得点 A、B、C、P 四点共圆，可得 PB 为点 A、B、C、P 四点所在圆的直径时增大，根据圆周角定理可得PCB90，利用BPC 的正弦值求出 PB 的长即可得答案 解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ABC60，AB6，点 P 在菱形对角线 BD 上， PBCPBA30，BCAB6， BPC60， PCB90，
39、BP； （2）如图，连接 AM、AN、AC， ABBC，ABC60， ABC 是等边三角形， ABAC，BACABCACB60， ABC+ACB120，即ABM+MBC+ACB120， BPC60， MBC+PCB120，即PBC+ACB+CAN120， ABMCAN， 在ABM 和CAN 中， ABMCAN，（SAS）， AMAN，BAMCAN， BAM+MACCAN+MAC， MANBAC60， AMN 是等边三角形， AMMN，AMN60， CMN30， AMC90， CM2+MN2CM2+AM2AC236； （3）如图，连接 AC、DE、DF，在 BP 上截取 PQPC，连接 CQ，
40、BPC60，PQPC， CPQ 是等边三角形， PCQPQC60，BQC120，QCPC， ACB60， PCQACB， BCQ+ACQACP+ACQ60， BCQACP， 在BCQ 和ACP 中， BCQACP（SAS）， APCBQC120， EACAPC120，ACEPCA， ACEPCA， ACFAPC120，CAFPAC， ACFAPC， ACECFA， ， ACADCD， ， BECD， EADDCFABC60， EADDCF， AEDCDF， EADADC60， ADE+AED+EADAED+CDF+ADC180， 点 E、D、F 在同一条直线上， ADBF， AEDBEF， ， EABFEBAD； PE PF 有最大值，最大值为 48，理由如下： APC120， FPCAPE60， BPC60， APB60， EPBBPF120， BCQ+CBQPQC60，EBP+CBQ60， EBPBCQ， ACFAPC， ACPAFC， BCQACP， EBPAFC， PBEPFB， ，即 PB2PEPF， APC+ABC180， 点 A、B、C、P 四点共圆， PB 为 A、B、C、P 四点所在圆的直径时，PEPF 有最大值， PEPF 有最大值时PCB90， BP， PEPF 的最大值为 BP248
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