1、月考数学试题一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i 是虚数单位，复数 对应的点位于（ ）31iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 若集合 ，集合 ，则 “ ”是“的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数 ，则 （ ）A. 在 上递增 B. 在 上递减 C.在 上递增 D.在 上递减4. 已知各项不为 O 的等差数列 满足： ，数列 是各项均为正值的等na061272anb比数列，且 ，则 等于（ ）7ab)t(104bA. B.
2、 C. D.335若实数 x，y 满足 ，则 的最小值为 （ ）10y23xyzA0 B1 C D96.如果函数 的图像关于直线 对称，那么 的最小值为（ ）xf2sin3xA. B. C. D.6427.“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著算法统综的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五,唯有中间三节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（注释四升五：4.5 升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数
3、学知识求得中间三节的容积为（ ）A. 3 升 B. 3.25 升 C.3.5 升 D. 3.75 升8.已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时 ，则（ ）A. B. C. D. 9. 用 表示 ，b 两个数中的最大数，设 ，那么山函 数,max)41(,max)(2f的图象与 X 轴、直线 和直线 所围成的封闭图形的面积是（ ）)(fy41x2xA. B. C. D.1235298571910 如图，过抛物线 (0)ypx的焦点 F的直线交抛物线于点 AB、 ，交其准线 l于点 C，若点 F是 AC的中点，且 4F，则线段 AB的长为（ ）A. 5 B. 6 C. 13D. 2011直线 与曲
4、线 有且仅有一个公共点，则b的取值范围是 A B或 C D12对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得 成立，则实数 的取xy20xyxeaea值范围为 ( )A. B. C. D. 10,2e1,2e1,2e1,2e二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为_14.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是 15.设集合 , ,从集合 中任取一个元素,则这个元素也1624|xA)3ln(|2xyxBA是集合 中元素的概率是 B16已知四面体 ABCD 的棱 AB=CD=3,AD=BC=4,BD=AC=5,则此四面体外接
5、球的表面积 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分17.（本题满分 12 分）为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民 25 人，女性市民 75 人进行调查，得到以下的 列联表：2支持 不支持 合计男性 20 5 25女性 40 35 75合计 60 40 100（1）根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取 4 位市民进行长期跟踪调
6、查，记被抽取的 4 位市民中持“支持”态度的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望。D CBAP附： .22()(nadbcK20(Pk0.15 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.63518.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面 为矩形，且 1P，2AB， 120,9P，（）平面 D与平面 是否垂直？并说明理由； （）求直线 C与平面 所成角的正弦值 19.（本题满分 12 分）已知 分别是 内角 的对边，且满足cba,ABC,.BAacbsinisni（1）求角 的大小；（2）设 ， 为 的面积，求 的最大值.3
7、SBScos3420.（本题满分 12 分）设函数 有两个极值点 ，且21fxaInx12x、 12x（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；af（II）证明：214Infx21.（本题满分 12 分）已知椭圆2:10xyCab的离心率为 ，且椭圆过点（1， ）223（1）求椭圆 C的方程；（2）设 P 是圆 上任一点，由 P 引椭圆两条切线 PA,PB.当切线斜率72yx在时，求证两条斜率的积为定值。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修 44：坐标系与参数方程】（本题满分 10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方
8、程为 (t 为参数），若以原点 为极点, 轴正tyx2半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 ，设 是圆 上任一点，连结并延长到 ，使 .OMQ2(1) 求点 轨迹的直角坐标方程；(2) 若直线 与点 轨迹相交于 两点，点 的直角坐标为 ，求 的值.23.【选修 45：不等式选讲】（本题满分 10 分）已知关于的不等式 的解集为 mx23R（1）求实数 的取值范围；m（2）已知 且 ，当 最大时，求 的最小值及此时实数0,cbacba223cba的值cb,赤峰二中月考数学理科答案1.B 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.C 9.A 10.C 11.B 12.A13.
9、14. 15. 16.4,2321517（）由列联表可得 024.56.752406)3(1)()( 22 dbcabnk而 P（ ）=0.02504.52所以有 97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. 5 分（2） 由 列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为 ，将频率视为概率，260315即从 A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为 .6 分由于总体容量很大，故 X 可视作服从二项分布，即 X：B(4, )，53所以 . 8 分332()()(0,12)5kkPC4,44Xkk从而 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P6259651625810 分X 的
10、数学期望为 12 分1234)(XE18【解析】（I）平面 PAD平面 B； 1 分zyxPA BCD证明：由题意得 ADB且 /C 又 BCP，则 3 分则 平面 , 5 分故平面 平面 6 分（）以点 A 为坐标原点，AB 所在的直线为轴建立空间直角坐标系如右图示，则 (0,1)D, 2C,31(,0)P可得35(,1)2CP, 7 分平面 ABCD 的单位法向量为 m， 9 分设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 ，则362cos()28|514CP11 分则6in8，即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值6812 分19（1） BcCBAacbsinisni根据正弦定理，知
11、 ，即bac bcac22由余弦定理，得 .又 ，所以 .12osb,0A3A（2）根据 ， 及正弦定理可得 ，32aA 42sinisinaCcBb.CcBbsin4,siCBAbcS sin3si4i21si CBBS coco34in3o3故当 ，即 时， 取得最大值 .3CB6CBScos343420【答案】：（）因为 ，设 ，2 1)1xax， （ 2(1)gxxa依题意知 得 ，所以 的取值范围是120 g12a10,)2（由 得 ，由 得 ，0x1x或 0x1x所以函数的单调递增区间为 和 ，单调递减区间 ，1,)（ 2,1,2x其中， 且 .12,aaxx0,（）证明：由（）知
12、 ，设 ，212211ln4aahfx1 11 lnlnl022221aaaha 所以 在 递减，又 在 处连续，所以 ，0,h2ln4h即 .21ln4fx21（1）23y； 设 圆 上 任 一22 240,2436)2)(36cos12,cos41),()(112 22tPBAt yxtyxyMQ得带 入 （把（ 的 方 程 为化 为 平 面 直 角 坐 标 系 下即点 坐 标设 23【解析】（1）因为 ，当 或 时取等号，令 ，两边同时平方可得 ，即 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 （2）由（1）知 ，由柯西不等式，可得，1)()32)(31( 22cbaba所以 ，当且仅当 且 时等号成立，6322cba c易得 时， 取得最小值为 1,1223ba16
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