1、 7.1 正切 专项练习一、单选题1（2021·广西百色·中考真题）如图，在O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N若OB10，AB16，则tanB等于（ ）ABCD2（2021·四川宜宾·中考真题）如图，在ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若ABAC10，BC12，则tanOBD的值是（ ） AB2CD3（2020·山东烟台·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处若AB3，BC5
2、，则tanDAE的值为（ ）ABCD4（2015·江苏扬州·中考真题）如图，若锐角ABC内接于O,点D在O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：；中，正确的结论为( )ABCD5（2021·浙江拱墅·二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AFBE，AE与DF交于点G，连接CG若CGBC，则AF：FB的比为（）A1：1B1：2C1：3D1：46（2021·上海静安·一模）如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（）ABCD7（2021·河南涧西·三模）如图，在菱形中，点是的中点，点是对角
3、线上一动点，设，图是关于的函数图像，且图像上最低点的坐标为，则菱形的边长为（ ）A2BCD48（2021·内蒙古·包头市第二十九中学三模）如图，已知菱形的对角线相交于点O，若，则的长是（ ）A1B2C3D49（2021·湖北荆门·模拟预测）如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，过点作的平行线交于点，若，则的长为（ ）A6BCD10（2021·辽宁营口·一模）如图，在矩形中，是边的中点，连接，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，若，则的长为（ ）A4B5C6D8二、填空题11（2015·甘肃天水·中考真题）如图，边长为
4、1的小正方形构成的网格中，半径为1的O在格点上，则AED的正切值为_12（2013·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AEAC,AE=1，连接BE，则tanE= .13（2020·江苏常州·中考真题）如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_14（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为若反比例函数的图象经过点，则_15（2021·北京西城·一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网
5、格线的交点，那么与的大小关系为：_（填“”“”或“”）16（2019·吉林长春·一模）如图，一块含有角的直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，的顶点在反比例函数的图象上，在反比例函数的图象上，则的值为_17（2021·福建省福州屏东中学二模）如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，则_18（2021·黑龙江南岗·模拟预测）在中，则的长为_19（2021·江苏溧阳·一模）如图，已知直线：，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，按此作法继续下去，则点的坐标为_20（2
6、021·广东天河·二模）如图，点E是矩形边上一点，于点F，若，则的长为_ 21（2021·浙江开化·一模）魏晋时期，伟大数学家刘徽利用图1通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理若图2中，则_22（2021·广东坪山·二模）在中，CD为AB边上中线，于点E，连接AE交BC于点F、若，则_三、解答题23（2021·广东·西南中学三模）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P连结DP并延长交AB于点E求证
7、：（1）DPAB；（2）DE为半圆O的切线；（3）连结OE，求tanBOE的值24（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）（阅读理解）设在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”例如：如图1，矩形中，若，则称为边的“和谐点”（解题运用）已知，点在矩形内部，且，（1）设是边的“和谐点”，则_边点的“和谐点”（填“是”或“不是”）；（2）设是边的“和谐点”，连接，当是直角三角形时，求的值；（3）如图2，若是边的“和谐点”，连接，求的最小值25（2021·湖北武汉·模拟预测）在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建
8、立如图所示的平面直角坐标系，ABC三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(5，3)，C(1，5)仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并回答下列问题：（1）直接写出ABC的形状；（2）作ABC的角平分线CE；（3）在边AB上找一个格点F，连接CF，使ACFAEC，直接写出F点坐标为 ；（4）根据上述作图，直接写出tanAEC的值为 26（2021·黑龙江建华·三模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC上一点，以OA为半径的O交AD于点E，交AC于点F，且（1）求证：直线CE是O的切线；（2）若，求O的半径27（2021·江苏如皋&
9、#183;二模）如图，在矩形ABCD中，P为CD边上一点，将沿AP翻折得到，的延长线交边AB于点M，过点B作交DC于点N（1）若，求证；判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（2）若，求的值参考答案1B【分析】根据尺规作图的作法，可得 垂直平分 ，在 中，利用勾股定理求出ON，即可解答【详解】解：根据尺规作图的作法，得： 垂直平分 ，即 ，AB16，在 中， ， ，故选：B【点拨】本题主要考查了尺规作图垂直平分线的作法和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作法和用勾股定理解直角三角形及求锐角三角函数值2A【分析】根据等腰三角形的性质，可得ADBC，BD=BC=6，再根据角平分线的性质
10、及三角的面积公式得，进而即可求解【详解】解：ABAC10，BC12， AD平分BAC，ADBC，BD=BC=6，AD=，过点O作OFAB，BE平分ABC，OF=OD， ，即：，解得：OD=3，tanOBD=，故选A【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键3D【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AFADBC=5，EFDE，在RtABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CEx，则DEEF3x，然后在RtECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解【详解】解：四边形ABCD为矩形
11、，ADBC5，ABCD3，矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，AFAD5，EFDE，在RtABF中，BF，CFBCBF541，设CEx，则DEEF3x在RtECF中，CE2+FC2EF2，x2+12（3x）2，解得x，DEEF3x，tanDAE，故选：D【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键4D【详解】试题分析：如图，连接BE，根据圆周角定理，可得C=AEB，AEB=D+DBE，AEBD，CD，根据锐角三角形函数的增减性，可得：sinCsinD，故正确；cosCcosD，故错误；tan
12、CtanD，故正确故选D 考点：圆周角定理5A【分析】作CHDF于点H，证明AGDDHC，可得AGDHGH，tanADG=由此可解决此问题【详解】解：作CHDF于点H，如图所示，在ADF和BAE中，ADF和BAE（SAS）ADFBAE，又BAEGAD90°，ADFGAD90°，即AGD90°又ADGCDG90°，HDCCDG90°，ADGHDC在AGD和DHC中，AGDDHC（AAS）DHAG又CGBC，BCDC，CGDCGHDH，AGDHGHtanADG=，tanADF=，AF=AB即F为AB中点，AF：FB1：1故选：A【点拨】本题考查了正
13、方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题关键6C【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案【详解】，而，故选：C【点拨】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键7D【分析】连接DP根据轴对称性质，由两点间线段最短可知D、P、E共线时PE+PB最小，然后根据Q点的坐标，得到PC和DE的长，再利用D=120°，可得ABD为等边三角形，利用锐角三角函数求出EB，得到AB的长即可【详解】解：、D关于直线AC对称，连接DP，（点E，D，P三点共线）的
14、值最小，四边形ABCD为菱形，DB为对角线，D=120°，ADB=CDB=，AD=AB，ABD为等边三角形，点E为AB中点，EDAB，EDB=30°，tanEDB=AB=2BE=4故选D【点拨】本题查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，以及最短路径和函数图象问题，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及最短路径和函数图象问题，是解题的关键8B【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD，OA=AC=3，BD=2OB再解RtOAB，根据tanBAC=，求出OB=1，那么BD=2【详解】解：四边形ABCD是菱形，AC=6，ACBD，OA=AC=3，B
15、D=2OB在RtOAB中，AOD=90°，tanBAC=，OB=1，BD=2故选：B【点拨】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键9B【分析】连接交于点，由题意证明垂直平分，由是等边三角形，得到，通过证明是等边三角形，可得，由勾股定理求得的长即可【详解】解：连接交于点，取中点，连接，如图，是等边三角形是等腰三角形，垂直平分是的中位线， 中，故选：B【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键10A【分析】由已知和折叠的性质折叠得CPD
16、=QBP，再利用三角函数解答即可；【详解】解：由折叠的性质可得，PB=PC=PQ，CPD=QPD，PBQ=PQB，QPC=2QBP，CPD=QBP，tanCPD=tanQBP= ，即 ，PC=2，BC=2PC=4故答案为：A【点拨】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，掌握求解的方法是解题的关键11【详解】解：根据圆周角定理可得AED=ABC，所以tanAED=tanABC=故答案为：【点拨】本题考查圆周角定理；锐角三角函数12【详解】如图，延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BGAC，垂足为G，四边形ABCD是正
17、方形，CAB=45°BAF=135°AEAC，BAE=135°BAF=BAE在BAF和BAE中，BAFBAE（SAS）E=F四边形ABCD是正方形，BGAC，G是AC的中点BG=AG=2在RtBGF中，即tanE=考点：正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，13【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、GCD=ECD=45°，进而说明ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答【详解】解：设BC=a，则AC=2a正方形EC=，ECD= 同理：CG=,GCD= 故答案为【点拨】本题考查了正方形的性质和正
18、切的定义，根据正方形的性质说明ECG是直角三角形是解答本题的关键14【分析】过点B作BDx轴于点D，根据BAOB于点B及图形旋转的性质求出BBD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论【详解】解：如图，过点B作BDx轴于点D，BAOB于点B，ABD90°线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB的位置，ABB60°，BBD90°60°30°点B的坐标为（1，1），OD BD1，BB2BD2，BD，ABBB2，故答案为：【点拨】本题考查的是坐标与图形变化旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义
19、得出A点坐标是解答此题的关键15【分析】根据已知条件转化为比较与的大小比较，根据正切的概念进行比较即可；【详解】如图所示，比较与的大小，即比较与的大小，【点拨】本题主要考查了利用正切的概念比较角的大小，准确结合平行线的性质求解是解题的关键16【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质和特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案【详解】解：过作于点，过作于点，如图：设点的坐标为，在反比例函数的图象上点在反比例函数的图象上故答案是：【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、
20、特殊的锐角三角函数值，能够求得是解题的关键17【分析】利用三角函数的定义求m的值【详解】解：由三角函数的定义得：故答案为：【点拨】本题考查三角函数的定义，利用定义得到关于m的方程是求解本题的关键185或7【分析】分情况讨论，当为锐角三角形或钝角三角形（为锐角或钝角）时，过点作垂线，根据三角函数求解即可【详解】解：过点作垂线当为锐角三角形时，如下图设，又，解得又当为钝角三角形时，如下图，又，解得又，故答案为：5或7【点拨】此题考查了勾股定理和三角函数的有关知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键，易错点是三角形不唯一，需要进行分类讨论19或【分析】先求出点B的坐标为（，1），得到OA=1，AB=，
21、求出AOB=60°，再求出得到，求出(0，4)；同理得到，（0，）；由此得到规律求出答案【详解】解：将y=1代入中得x=，B（，1），OA=1，AB=，tanAOB=，AOB=60°，A1BO=90°，(0，4)；，16，（0，）； ，点的坐标为或故答案为：或【点拨】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键206【分析】根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论【详解】解：在矩形中，故答案为6【点拨】本题考查了矩形的性质,三角函数的综合,熟练掌握矩形的性质,灵活选择三角函数计算是解题的关键
22、21【分析】由证明，再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，得到，接着根据同角的余角相等，解得，最后利用正切定义解题即可【详解】解：如图，故答案为：【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、正切、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键22【分析】取AF得中点G，连接DG，可得DG是三角形ABF的中位线，根据DBE=BCD，可得tanDBE=tanBCD，得CE=2BE=4DE，CF=4DG=2BF，然后根据勾股定理即可以求出BF的长，进而可得CF的长【详解】解：如图，取AF得中点G，连接DG，CD为AB边上中线，D为AB中点，BECD，ABC=BED=90
23、6;，BCD+BDE=DBE+BDE=90°，DBE=BCD，tanDBE=tanBCD，CE=2BE=4DE，CF=4DG=2BF，AB=3BF，EF=4EG，AG=FG=，再RtABF中，根据勾股定理，得解得BF=或（舍去）CF=2BF=，故答案为：【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题23（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由正方形和圆的性质可知DCAB，又DCDP，即ABDP；（2）通过SSS证明ODPOCD，得DPOC90°即可证明；（3）通过HL证明RtOBERtO
24、PE，得BOEPOE，由（2）知DOPDOC，可证DOE90°，从而BOEODC，求出tanODC即可得出答案【详解】证明（1）四边形ABCD是正方形，DCAB，又DCDP，DPAB，（2）连接DO，PO，四边形ABCD是正方形，C90°，在ODP与OCD中，ODPODC（SSS），DPOC90°，又OP是O的半径，DE为半圆O的切线（3）连接EO，四边形ABCD是正方形，ABO90°，DPO90°，EPO90°B，在RtOBE与RtOPE中，RtOBERtOPE（HL），BOEPOE，由（2）得ODPOCD，DOPDOC，BOE+D
25、OC90°，又DOC+CDO90°，BOECDO，点O是AB的中点，在RtCOD中，【点拨】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键24（1）是，理由见解析；（2）或；（3）【分析】（1）证明PABPDC，即可得证；（2）先得出P在AD和BC的垂直平分线上，过P作PEAD于E，PFAB于F，易证四边形PEAF为矩形，可得PF=3，根据PFAB，得出PF2=AF·（AB-AF），设AF=x，解得x1=1，x2=9，然后即可得出答案；（3）作PFAB于F，由（2）可知PF=2，可得tanPA
26、B·tanPBA=，设AF=x，则BF=5-x，可得AF·BF=（15-x）·x，可求出AF·BF的最大值，即可推出的最小值【详解】（1）是；连接PB，PCP是边AD的“和谐点”，PA=PD，PDA=PAD，CDA=BAD=90°，CDP=BAP，AP=DP，AB=CD，PABPDC（SAS），PB=PC；（2）P是BC的和谐点，P也是AD的和谐点，PB=PC，PA=PD，P在AD和BC的垂直平分线上，过P作PEAD于E，PFAB于F，PEA=PFA=90°，又四边形ABCD是矩形，BAD=90°，AD=BC=4，AB=CD
27、=5四边形PEAF为矩形，PF=AE，又PA=PD，PEAD，AE=AD=2，PF=2，又ABP为直角三角形，且P在矩形内部，只能APB=90°，PAB+PBA=90°又PFAB，PFA=PFB=90°，PAF+APF=90°，APF=PBF，PAFBPF，PF2=AF·BF，PF2=AF·（AB-AF），设AF=x，x(5-x)=4，x2-5x+4=0，(x-1)(x-4)=0，x1=1，x2=2，当AF=2时 PA=，AF=1时 PA=，AF的值为或；（3）作PFAB于F，由（2）可知PF=2，tanPAB=，tanPBA=，ta
28、nPAB·tanPBA=设AF=x，则BF=5-x，AF·BF=（5-x）·x=-x2+5x=-（x-）2+，当x=时，AF·BF有最大值，有最小值是，tanPAB·tanPBA的最小值是【点拨】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，正确理解和谐点的定义是解题关键25（1）ABC是直角三角形；（2）见解析；（3）(3，3)；（4）3【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可（2）取格点，连接交于点，线段即为所求（3）取点，连接即可（4）取格点，连接，由，推出，可得结论【详解】解：（1
29、）是直角三角形理由：，是直角三角形（2）如图，以为斜边作等腰直角，连接交于点，线段即为所求是等腰直角三角形，TCB=45°，ACB=90°，ECB=ECA=45°，CE平分ACB；（3）如图，取点，连接，点即为所求，故答案为CF为正方形的对角线，AFC=45°，ACF=180°-A-AFC=135°-A，AEC=180°-A-ACE=135°-A，ACFAEC，（4）取格点，连接，故答案为：3【点拨】本题考查作图复杂作图，勾股定理以及勾股定理的逆定理，直角三角形等知识，学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键26
30、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质及，证明即可；（2）过点O作于点H，由（1）的结论及求出，继而在中用勾股定理即可求得半径【详解】（1）证明：连接OE，矩形ABCD中，又OE为O半径CE过点E，直线CE是O的切线.（2）过点O作于点H，则，在中，【点拨】本题考查了矩形的性质，圆的切线的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键27（1）证明见解析；四边形是菱形，理由见解析；（2）【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据平角的定义即可得证；先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质、翻折的性
31、质可得，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据等腰三角形的定义可得，由此即可得四边形是菱形；（2）先根据翻折的性质、相似三角形的性质可得，设，从而可得，根据等腰三角形的定义可得，再根据菱形的性质可得，然后利用勾股定理可得的值，最后根据正切三角函数的定义即可得【详解】解：（1）四边形是矩形，在和中，；四边形是菱形，理由如下：，四边形是平行四边形，又，由翻折的性质得：，由（1）已证：，四边形是菱形；（2）由（1）已证：，由翻折的性质得：，由（1）已证：，设，则，由（1）已证：四边形是菱形，在中，【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形与折叠问题、菱形的判定与性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题关键
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